Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Limites

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Limites
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Continuité
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Fonctions d'une variable réelle/Limites
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Remarque : Pour une compréhension intuitive de la notion de limite, voyez les premiers chapitres du cours Limites d'une fonction.

Soient une partie de , une fonction de dans , et un point adhérent à .

Les deux cas les plus fréquents de cette notion de topologie générale sont un intervalle réel ou (pour une suite)  ; il suffit, pour ces deux cas, de savoir que :
  • aucun point n'est adhérent à  ;
  • si est un intervalle non vide d'extrémités , l'ensemble des points de adhérents à est  ;
  • l'ensemble des points de adhérents à est .

Définitions formalisées[modifier | modifier le wikicode]

Limite finie en un point[modifier | modifier le wikicode]

LimitDefinition.png




En français, on pourrait dire que a pour limite en si, pour un intervalle choisi autour de aussi petit que l’on veut, il existe un intervalle de valeurs de autour de pour lequel tous les appartiennent à .

On note alors ou, de manière plus condensée,

Limite infinie en un point[modifier | modifier le wikicode]

Función xy discontinua 22.svg




En français, cela revient à dire que, aussi grand (ou petit) qu'on prenne un réel , en se rapprochant suffisamment de , on finit par dépasser la valeur de . prend ainsi des valeurs infiniment grandes (ou petites) au voisinage de .

On note :

  • ou si a pour limite en
  • ou si a pour limite en

Limite finie en l'infini[modifier | modifier le wikicode]

Arctan.svg




En français, tout intervalle ouvert contenant contient aussi toutes les valeurs pour suffisamment :

  • grand si a pour limite en . On note alors ou  ;
  • petit si a pour limite en . On note alors ou .

Limite infinie en l'infini[modifier | modifier le wikicode]

Función cuadrática 01.svg




En français, cela revient à dire que tout intervalle contient toutes les valeurs de pour suffisamment :

  • grand si a pour limite en . On note alors ou  ;
  • petit si a pour limite en . On note alors ou .
Función cuadrática 11.svg




En français, cela revient à dire que tout intervalle contient toutes les valeurs de pour suffisamment :

  • grand si a pour limite en . On note alors ou  ;
  • petit si a pour limite en . On note alors ou .

Limite « épointée » en un point[modifier | modifier le wikicode]

Función xy discontinua 11.svg




On la note alors .

On a donc :

  • si ,  ;
  • si , .

Limite « unilatérale » en un point[modifier | modifier le wikicode]




On définit de même la limite à droite en remplaçant par .

On note (lorsqu'elles existent) :

  • ou ou la limite à gauche ;
  • ou ou la limite à droite.

Théorèmes sur les limites[modifier | modifier le wikicode]

Premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]


C'est une conséquence immédiate de la propriété ci-dessous « Limites et relation d'ordre », appliquée à .

On va maintenant voir comment caractériser une limite de fonction à partir de limite de suite.



Limites et opérations[modifier | modifier le wikicode]


Ces propriétés sont aussi valables (et se démontrent de la même façon) pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes :

  • q + ∞ = ∞ pour q ≠ -∞
  • q × ∞ = ∞ si q > 0
  • q × ∞ = -∞ si q < 0
  • q / ∞ = 0 si q ≠ ± ∞.

Remarquons qu’il n'y a pas de règle générale pour le cas q/0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme 0/0, 0 × ∞ ∞-∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles.

Formes indéterminées[modifier | modifier le wikicode]

Il existe certaines formes de limite où il est n’est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes indéterminées (FI) :

  • Indétermination de la forme 0/0 quand le résultat obtenu donne 0/0
  • Indétermination de la forme ∞/∞ quand le résultat obtenu donne ∞/∞
  • Indétermination de la forme ∞ - ∞ quand le résultat obtenu donne ∞ - ∞
  • Indétermination de la forme 0 × ∞ qui se ramène aux deux premiers cas en remarquant qu'une multiplication par 0 équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par 0.

Règles opératoires pour lever l'indétermination :
Voici quelques règles opératoires pour lever les FI :

  • Fonctions polynomiales et rationnelles :

On a la règle "des monômes de plus haut degré" qui n'est valable qu'en l'infini:


(démonstration à faire) Exemples :
1/ Soit .Le monôme de plus haut degré est .
Alors
et de même : .
2/ Soit .Les monômes de plus hauts degrés sont et .
Alors .

  • Factorisation par le terme "le plus fort en l'infini" :
    (à faire)
  • Règle de L'Hospital :

Du nom du Marquis de L'Hospital, mathématicien français du XVIIe siècle, cette règle permet de simplifier les FI 0/0 ou ∞/∞ : voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

Limite d'une fonction composée[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Limites et relation d'ordre[modifier | modifier le wikicode]

Les trois théorèmes qui suivent sont valables mutatis mutandis pour . Ils se généralisent même à des fonctions définies sur une partie d'un espace topologique quelconque , avec adhérent à .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Par exemple (pour ou constante) :

  • si alors  ;
  • si alors .

En affaiblissant la contraposée du théorème, on en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités :


Par exemple (pour ou constante, et en remplaçant par ) :

  • si alors  ;
  • si alors .

Attention ! Ce corollaire devient faux si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.

Contre-exemple : est à valeurs strictement positives sur , mais .

Les deux théorèmes suivants sont très utiles dans la pratique :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Le nom de « théorème des gendarmes » vient de l'analogie suivante : les fonctions et jouent le rôle de deux gendarmes qui encadrent le bandit (la fonction ) et qui l'obligent à aller en prison (la limite ).

Dans les applications de ce théorème et du suivant, si les inégalités entre fonctions ne sont réalisées que sur une partie de , on peut toujours restreindre les fonctions à ce domaine plus petit, pourvu que y soit encore adhérent.

Exemple. En appliquant le théorème à

, encadrée sur par
et (car ),

on trouve, puisque et  :

.
Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemple : Soit .

Comme et comme , on en déduit que .

Théorème de la limite monotone[modifier | modifier le wikicode]

On utilise la convention suivante, pour une partie non vide de  :

  • si est non majorée, alors  ;
  • si est non minorée, alors .


Début d’un théorème


Fin du théorème


Cf. Ramis, Deschamps et Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, 1976, p. 119-120.

En particulier, une application monotone sur un intervalle possède une limite finie à gauche et et une limite finie à droite en tout point de cet intervalle, ainsi qu'une limite à droite en et une limite à gauche en .