Leçons de niveau 12

Étude et tracé d'une fonction/Dérivée et sens de variation

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Dérivée et sens de variation
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Chapitre no 2
Leçon : Étude et tracé d'une fonction
Chap. préc. :Domaine de définition, limites et asymptotes
Chap. suiv. :Plan d'étude d'une fonction

Exercices :

Applications immédiates
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Étude et tracé d'une fonction/Dérivée et sens de variation
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Comme dans le chapitre précédent, nous n'allons pas dans ce chapitre refaire l'étude complète de la fonction dérivée. Nous supposerons que le lecteur a assimilé cette notion. Si besoin, il peut commencer par étudier la leçon « Dérivation » avant de poursuivre la lecture de ce chapitre. Nous nous contenterons ici de rappeler les principaux résultats et d'essayer de mieux comprendre tous les services que la fonction dérivée peut rendre dans l'étude d'une fonction et le tracé de sa courbe représentative.

Définition de la dérivée d'une fonction et principale propriété[modifier | modifier le wikicode]

Nous rappelons les définitions du nombre dérivé et de la fonction dérivée données dans les deux chapitres correspondants de la leçon « Dérivation » :


Le principal intérêt de la fonction dérivée est donné par le chapitre « Rapport entre dérivée et sens de variation » de la leçon « Dérivation » et résumé dans le théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Nous voyons que le calcul de la fonction dérivée est une excellente méthode de déterminer des intervalles sur lesquels la fonction ƒ est croissante et d'autres sur lesquels ƒ est décroissante.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Maximum et minimum[modifier | modifier le wikicode]


Nous sommes donc amenés à nous poser la question suivante :

Comment, à partir de l'observation de la dérivée, peut-on en déduire que l'on a un maximum ou un minimum local ?

Début d’un théorème
Fin du théorème


Panneau d’avertissement
  • La réciproque du troisième point est fausse. En effet, il se peut que la dérivée s’annule en un point. Mais si avant et après ce point le signe de la dérivée est le même, alors la fonction n'aura pas de maximum ou de minimum en ce point. Elle marquera juste un palier.
  • Les deux premiers points restent valables si, en x0, f est continue mais pas dérivable. Nous étudierons ce cas particulier dans un prochain chapitre.
  • Les deux premiers points restent valables si x0 est égal à a ou b, mais pas le troisième point.

Tangente à la courbe[modifier | modifier le wikicode]

Détermination tangente.png

Soit C, la courbe représentative d'une fonction f. Soit A un point de la courbe C. Soit x0, l'abscisse du point A.

Nous allons essayer de déterminer l'équation de la tangente à la courbe en A.

Soit D une droite passant par A et recoupant la courbe C en un point B d'abscisse x0+h.

Intuitivement nous admettrons que la tangente à la courbe en A est la droite limite obtenue en rapprochant indéfiniment le point B de A, ce qui revient à faire tendre h vers 0.

Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe en A, nous commencerons donc par établir l'équation de la droite (AB) et ensuite nous ferons tendre h vers 0.


Soit y = ax + b l'équation de la droite passant par A et B. Pour déterminer a et b, nous écrirons que la relation y = ax + b est vérifiée par les coordonnées des points A et B, on obtient :

Par soustraction membre à membre, nous en déduisons a :

Et en reportant a dans la deuxième équation, on obtient finalement :

En reportant les valeurs de a et b dans l'équation y = ax + b, nous obtenons :

.

L'équation de la tangente est obtenue en faisant tendre h vers 0. L'équation de la tangente en A est donc :

Mais en facteur de (x - x0), nous reconnaissons l'expression de la dérivée en x0. Si la fonction est dérivable en x0, l'équation de la tangente en A peut donc s'écrire :

Nous retiendrons :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Point d'inflexion[modifier | modifier le wikicode]

Un point d'inflexion.

Nous allons dire deux mots des points d'inflexion.


On définit la dérivée seconde d'une fonction f comme étant la dérivée de sa dérivée f'.

On a alors le théorème suivant permettant de trouver les abscisses des points d'inflexion :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Nous admettrons ce théorème qui n'est pas toujours au programme à ce niveau.