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Application linéaire : Définitions Application linéaire/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
K
{\displaystyle K}
espaces vectoriels .
Définition
Une
application
u
:
E
→
F
{\displaystyle u:E\to F}
est dite
linéaire si elle vérifie (pour tous vecteurs
x
{\displaystyle x}
et
y
{\displaystyle y}
de
E
{\displaystyle E}
et tout scalaire
λ
{\displaystyle \lambda }
) :
u
(
λ
x
)
=
λ
u
(
x
)
et
u
(
x
+
y
)
=
u
(
x
)
+
u
(
y
)
{\displaystyle u(\lambda x)=\lambda u(x)\quad {\text{et}}\quad u(x+y)=u(x)+u(y)}
ou encore, si elle vérifie :
u
(
λ
x
+
y
)
=
λ
u
(
x
)
+
u
(
y
)
{\displaystyle u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)}
.
L'ensemble des applications linéaires de
E dans
F (aussi appelées
homomorphismes ou
morphismes de
E vers
F ) est noté
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle \operatorname {L} \left(E,F\right)}
.
Début de l'exemple
Exemple : valeur en un point d'une fonction
On suppose dans cet exemple que
E
=
F
A
{\displaystyle E=F^{A}}
(l'espace vectoriel des applications d'un ensemble fixé
A
{\displaystyle A}
dans
F
{\displaystyle F}
) et que
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
.
Alors, l'application
u
:
E
→
F
f
↦
f
(
a
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}u&:&E&\rightarrow &F\\~&~&f&\mapsto &f(a)\end{array}}}
est linéaire. En effet :
∀
(
λ
,
f
,
g
)
∈
K
×
E
2
u
(
λ
f
+
g
)
=
(
λ
f
+
g
)
(
a
)
=
λ
f
(
a
)
+
g
(
a
)
=
λ
u
(
f
)
+
u
(
g
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,f,g)\in K\times E^{2}\quad u(\lambda f+g)&=(\lambda f+g)(a)\\&=\lambda f(a)+g(a)\\&=\lambda u(f)+u(g).\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Définition
On appelle :
endomorphisme de E toute application linéaire de E dans E ;isomorphisme de E vers F toute bijection linéaire de E dans F ;automorphisme de E tout endomorphisme bijectif de E , ou encore, tout isomorphisme de E dans E .forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K . Wikipedia-logo-v2.svg L'ensemble L(E , E ) des endomorphismes de E se note plus simplement L(E ).
L'ensemble des automorphismes de E s’appelle le groupe linéaire de E et se note GL(E ).
L'ensemble L(E , K ) des formes linéaires sur E se note plus simplement E * et porte le nom de dual de E . (dualité pour une étude plus détaillée.)
Début de l'exemple
Exemple d'endomorphisme : homothétie vectorielle
Wikipedia-logo-v2.svg Soit
k
∈
K
{\displaystyle k\in K}
h
:
E
→
E
x
↦
k
x
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}h&:&E&\rightarrow &E\\~&~&x&\mapsto &kx\end{array}}}
est linéaire car
∀
(
λ
,
x
,
y
)
∈
K
×
E
2
,
h
(
λ
x
+
y
)
=
k
(
λ
x
+
y
)
=
k
λ
x
+
k
y
=
λ
(
k
x
)
+
(
k
y
)
=
λ
h
(
x
)
+
h
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in K\times E^{2},~h(\lambda x+y)&=k(\lambda x+y)=k\lambda x+ky\\&=\lambda (kx)+(ky)\\&=\lambda h(x)+h(y)\end{aligned}}}
C'est donc un endomorphisme de
E , appelé « homothétie de rapport
k ». Si de plus
k ≠ 0,
h est un automorphisme de
E .
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple de forme linéaire : produit scalaire par un vecteur
On suppose dans cet exemple
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
et
E
=
R
n
{\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}
, muni de son
produit scalaire canonique.
Soit
e
∈
E
{\displaystyle e\in E}
p
:
E
→
R
x
↦
⟨
x
,
e
⟩
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}p&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e\rangle \end{array}}}
est linéaire. En effet :
∀
(
λ
,
x
,
y
)
∈
R
×
E
2
,
p
(
λ
x
+
y
)
=
⟨
λ
x
+
y
,
e
⟩
=
λ
⟨
x
,
e
⟩
+
⟨
y
,
e
⟩
=
λ
p
(
x
)
+
p
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in \mathbb {R} \times E^{2},~p(\lambda x+y)&=\langle \lambda x+y,e\rangle \\&=\lambda \langle x,e\rangle +\langle y,e\rangle \\&=\lambda p(x)+p(y)\end{aligned}}}
De plus,
p est à valeurs dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. C'est donc une forme linéaire sur
E .
Fin de l'exemple
Définition
Soit
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
. On appelle :
image de u l’ensemble
{
u
(
x
)
∣
x
∈
E
}
{\displaystyle \{u(x)\mid x\in E\}}
u ).noyau de u l’ensemble
{
x
∈
E
∣
u
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \{x\in E\mid u(x)=0\}}
u ).
Début de l'exemple
Exemple : produit scalaire par un vecteur de base
On suppose à nouveau
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
et
E
=
R
n
{\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}
, muni d'une base orthonormée
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}
, et l'on considère l'application linéaire
p
1
:
E
→
R
x
↦
⟨
x
,
e
1
⟩
.
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}p_{1}&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e_{1}\rangle .\end{array}}}
Son noyau est l’hyperplan des vecteurs orthogonaux à
e
1
{\displaystyle e_{1}}
Ker
(
p
1
)
=
{
x
∈
E
∣
⟨
x
,
e
1
⟩
=
0
}
=
Vect
{
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \operatorname {Ker} \left(p_{1}\right)=\{x\in E\mid \langle x,e_{1}\rangle =0\}=\operatorname {Vect} \left\{e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}
Son image est
I
m
(
p
1
)
=
R
{\displaystyle \mathrm {Im} \left(p_{1}\right)=\mathbb {R} }
Fin de l'exemple
Propriété
Soit
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
.
L'image réciproque par u d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;
L'image directe par u d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F .
'Démonstration'
Remarquons d'abord que
u
(
0
E
)
=
0
F
{\displaystyle u(0_{E})=0_{F}}
u
{\displaystyle u}
morphisme de groupes de
(
E
,
+
)
{\displaystyle (E,+)}
(
F
,
+
)
{\displaystyle (F,+)}
u
(
0
E
)
=
u
(
0
K
x
)
=
0
K
u
(
x
)
=
0
F
{\displaystyle u(0_{E})=u(0_{K}x)=0_{K}u(x)=0_{F}}
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
Soient
F
′
{\displaystyle F'}
F
{\displaystyle F}
E
′
=
u
−
1
(
F
′
)
{\displaystyle E'=u^{-1}(F')}
u
(
0
E
)
=
0
F
∈
F
′
{\displaystyle u(0_{E})=0_{F}\in F'}
0
E
∈
E
′
{\displaystyle 0_{E}\in E'}
Soit
(
λ
,
x
,
y
)
∈
K
×
E
′
2
{\displaystyle (\lambda ,x,y)\in K\times E'^{2}}
u
(
x
)
,
u
(
y
)
∈
F
′
{\displaystyle u(x),u(y)\in F'}
u
(
λ
x
+
y
)
=
λ
u
(
x
)
+
u
(
y
)
∈
F
′
{\displaystyle u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)\in F'}
λ
x
+
y
∈
E
′
{\displaystyle \lambda x+y\in E'}
Soient
E
′
{\displaystyle E'}
E
{\displaystyle E}
F
′
=
u
(
E
′
)
{\displaystyle F'=u(E')}
0
E
∈
E
′
{\displaystyle 0_{E}\in E'}
u
(
0
E
)
=
0
F
{\displaystyle u(0_{E})=0_{F}}
0
F
∈
F
′
{\displaystyle 0_{F}\in F'}
Soit
(
λ
,
x
,
y
)
∈
K
×
F
′
2
{\displaystyle (\lambda ,x,y)\in K\times F'^{2}}
a
,
b
∈
E
′
{\displaystyle a,b\in E'}
x
=
u
(
a
)
{\displaystyle x=u(a)}
y
=
u
(
b
)
{\displaystyle y=u(b)}
λ
a
+
b
∈
E
′
{\displaystyle \lambda a+b\in E'}
λ
x
+
y
=
u
(
λ
a
+
b
)
∈
F
′
{\displaystyle \lambda x+y=u(\lambda a+b)\in F'}
Corollaire
# Ker(
u ) est un sous-espace vectoriel de
E .
Im(u ) est un sous-espace vectoriel de F .
Voir le cours sur la dualité pour une étude plus détaillée.)
