Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité

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Dérivabilité
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Exercices no3
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Dérivabilité

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Inégalités
Exo suiv. :Formule de Simpson
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit

Montrer que est de classe C1.

Exercice 2 : Généralisation du théorème de Rolle[modifier | modifier le wikicode]

Soient et une fonction dérivable qui possède en et une même limite (éventuellement infinie).

En utilisant soit l'exercice 1 de la série sur la continuité, soit l'exercice 3 de cette même série, montrer qu’il existe un réel tel que .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Inspiré de Cristinel Mortici, « A converse of the mean value theorem made easy », International Journal of Mathematical Education, vol. 42, no 1, 2011, p. 89-91.

  1. Soient
    • la fonction définie par : et  ;
    • et les deux suites (convergeant vers ) définies par : et .
      Montrer que .
  2. Soient
    • une fonction dérivable en un point  ;
    • et deux suites convergeant vers telles que .
      Montrer que .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit , de degré .

  1. Montrer que si est scindé à racines simples (c'est-à-dire s'il a racines réelles distinctes), alors est scindé à racines simples.
  2. Montrer que si est scindé (c'est-à-dire si la somme des ordres de multiplicité de ses racines réelles est ), alors est scindé.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit dérivable en 0. Pour , on pose .

  1. On pose . Déterminer .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que puis en déduire .
  4. Application : déterminer .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Donner la dérivée n-ième de .