Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité

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Dérivabilité
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Exercices no3
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Dérivabilité

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Inégalités
Exo suiv. :Formule de Simpson
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit

Montrer que est de classe C1.

Soit . Montrer que est C.

Soit pour tout . Montrer que est de classe C2 et donner et .

Exercice 2 : Généralisation du théorème de Rolle[modifier | modifier le wikicode]

Soient et une fonction dérivable qui possède en et une même limite (éventuellement infinie).

En utilisant soit l'exercice 1 de la série sur la continuité, soit l'exercice 3 de cette même série, montrer qu’il existe un réel tel que .

Application 1 : soient et deux polynômes réels, ayant une racine réelle , et vérifiant . Démontrer que a une racine réelle .

Application 2 : dans le plan euclidien , on donne un point avec . Une droite variable passant par coupe l'axe des en (sur la demi-droite des ) et l'axe des en (sur la demi-droite des ). Montrer qu'il y a une longueur minimale du segment , la calculer, et donner alors les positions de et .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Inspiré de Cristinel Mortici, « A converse of the mean value theorem made easy », International Journal of Mathematical Education, vol. 42, no 1, 2011, p. 89-91.

  1. Soient
    • la fonction définie par : et  ;
    • et les deux suites (convergeant vers ) définies par : et .
      Montrer que .
  2. Soient
    • une fonction dérivable en un point  ;
    • et deux suites convergeant vers telles que .
      Montrer que .
  1. Démontrer, sans la calculer, que la dérivée de la fonction ci-dessus n'est pas continue en .
  2. En déduire qu'il existe une fonction croissante et dérivable, telle que soit discontinue en et .
  3. Utiliser pour construire une fonction , croissante et dérivable sur , telle que les points de discontinuité de soient les entiers relatifs.

Soit, à nouveau, la fonction ci-dessus. Étudier l'existence et comparer les valeurs éventuelles de

.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit , de degré .

  1. Montrer que si est scindé à racines simples (c'est-à-dire s'il a racines réelles distinctes), alors est scindé à racines simples.
  2. Montrer que si est scindé (c'est-à-dire si la somme des ordres de multiplicité de ses racines réelles est ), alors est scindé.
  1. Montrer qu'un polynôme de la forme () possède au plus trois racines réelles distinctes.
  2. Généraliser ce résultat aux polynômes de la forme avec .

Soit un polynôme de degré . Montrer que le graphe de la fonction intersecte le graphe de la fonction exponentielle en au plus points.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit dérivable en 0. Pour , on pose .

  1. On pose . Déterminer .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que puis en déduire .
  4. Application : déterminer .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Donner la dérivée n-ième de .

Pour tout , soit (pour ). Démontrer par récurrence que , avec .

Soit . Donner une expression de (utiliser la décomposition de en éléments simples).

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction dérivable telle que . Montrer que est soit constante, soit l'application identité.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Calculer les dérivées et donner le domaine de définition des fonctions réelles de la variable réelle :

  1. (quelle relation existe-t-il entre et  ?)
  2. (quelle relation existe-t-il entre et  ?)
  3. (quelle relation existe-t-il entre et  ?)
  4. (quelle relation existe-t-il entre et  ? dessiner le graphe de ).

Calculer les dérivées des fonctions suivantes (sur le domaine où elles sont dérivables) :

.

Soit une fonction dérivable. Calculer les dérivées des fonctions , et .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer la dérivée de .
  2. Montrer que l'équation admet au moins une solution dans .

Soit . Démontrer que est un polynôme, et que possède une racine réelle .

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout , on pose .

  1. Montrer que est une bijection de sur .
  2. Soit (l'application réciproque de ). Calculer et .

Soit . Déterminer le plus grand intervalle contenant sur lequel admet une fonction réciproque dérivable. Précisez le domaine de définition de et calculer son ensemble image. Calculer .

On pose si et .

  1. Étudier la dérivabilité de .
  2. Montrer que est strictement croissante sur .
  3. Calculer .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Étudier les fonctions et . (Domaine de définition, tableau de variations, prolongement par continuité en , dérivabilité…).

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux fonctions continues sur , deux fois dérivables sur , telles que

et .

Montrer que

.

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout entier , on considère le polynôme

.
  1. Soit . Montrer que a une unique racine réelle positive, que l'on nommera .
  2. Montrer que la suite est croissante puis qu'elle converge, vers une limite que l'on notera .
  3. Montrer que est racine du polynôme . En déduire sa valeur.

Exercice 14[modifier | modifier le wikicode]

Soient , et tels que

.
  1. Soit . Montrer qu'il existe tel que
    .
  2. En déduire que si est continue en 0 alors .

Exercice 15[modifier | modifier le wikicode]

Soient , , et définie par : .

  1. Montrer que avec , il existe un unique réel dans , indépendant de et noté , tel que .
  2. Montrer que . En déduire .

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]