Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Continuité

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Continuité
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Chapitre no 3
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Limites
Chap. suiv. :Dérivabilité

Exercices :

Continuité
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Fonctions d'une variable réelle/Continuité
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Définition et interprétation géométrique[modifier | modifier le wikicode]



Interprétation géométrique « naïve »:

Une fonction continue est une fonction dont on peut tracer le graphe sans lever le crayon.

Exemples et contre-exemples :

  • La fonction est continue sur .
  • La fonction est continue sur mais pas en 0 (tout simplement parce qu'elle n'y est pas définie !).
Graphe de la fonction partie entière.
  • La fonction partie entière n'est continue en aucun point de .
    On rappelle que cette fonction est définie par :
    .
    Elle a un graphique « en escalier » (voir illustration ci-contre) : par exemple, mais .

Remarque : Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction définie par

n'est continue qu'en zéro (du fait de la densité de dans , on ne peut tracer la courbe de ).

Prolongement par continuité[modifier | modifier le wikicode]



Exemple : On connaît la limite . Si la fonction est définie par , son prolongement par continuité en est donc :

Continuité et opérations[modifier | modifier le wikicode]

Les propriétés suivantes découlent directement des propriétés correspondantes pour les limites de fonctions (limites et opérations et limite d'une fonction composée).


Théorèmes sur les fonctions continues[modifier | modifier le wikicode]

Voici trois théorèmes importants sur les fonctions continues réelles (ils possèdent des généralisations en topologie).

Début d’un théorème


Fin du théorème


En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.


Début d’un théorème


Fin du théorème


En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.


La fonction atteint ses bornes en c et d.
Début d’un théorème


Fin du théorème


On dit aussi que réalise un homéomorphisme entre et . Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose sur le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans Alain Mézard et Charles Delorme, Cours de mathématiques supérieures, vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255.

Toute surjection monotone d'une partie de sur un intervalle est continue.