Leçons de niveau 16

Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalité des accroissements finis généralisée

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Inégalité des accroissements finis généralisée
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Exercices no6
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Dérivabilité

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Théorème de Darboux
Exo suiv. :Calcul de limites
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalité des accroissements finis généralisée
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient f et g : [a, b] → ℝ (a < b), continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[, avec g' de signe constant.

  1. Démontrer que si f' ≥ 0 (resp. = 0), alors f(b) – f(a) ≥ 0 (resp. = 0) ;
  2. Démontrer que si g(b) = g(a) alors g' = 0 ;
  3. Soit J un intervalle réel tel que, pour tout x de ]a, b[, f'(x) ∈ g'(x)J. Démontrer que f(b) – f(a) ∈ (g(b) – g(a))J.
    Indication : On se ramènera d'abord au cas où g' est positive ou nulle mais non constamment nulle, et aux sous-cas où J est de la forme [α, +∞[ ou ]α, +∞[.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit f : [a, b] → ℝ (a < b), continue sur [a, b] et dérivable sur le complémentaire C d'une partie dénombrable D. Démontrer que si tous les f'(x) (pour xC) sont :

  1. > 0, alors f(b) ≥ f(a).
    Indication : soit un réel df(a) n'appartenant pas à f(D), noter c le plus grand élément du fermé F = {x ∈ [a, b] | f(x) ≥ d} et montrer que c = b ;
  2. > k (pour un certain réel k), alors (f(b) – f(a))/(b – a) ≥ k ;
  3. ≥ 0, alors f(b) ≥ f(a) ;
  4. ≥ 0, alors f est croissante ;
  5. nuls, alors f(b) = f(a) ;
  6. ≥ 0 mais non tous nuls, alors f(b) > f(a).
  7. Soit g : [a, b] → ℝ continue sur [a, b], dérivable sur C, et telle que tous les g'(x) (pour xC) sont de même signe, et soit J un intervalle réel tel que pour tout xC, f'(x) ∈ g'(x)J. Démontrer que f(b) – f(a) ∈ (g(b) – g(a))J.

Références[modifier | modifier le wikicode]