Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Développements limités

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Développements limités
Icône de la faculté
Chapitre no 6
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Relations de comparaison
Chap. suiv. :Convexité

Exercices :

Développements limités
Fiche :Développements limités
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions d'une variable réelle : Développements limités
Fonctions d'une variable réelle/Développements limités
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans tout ce chapitre, est une fonction définie sur un intervalle et continue en un point et est un entier naturel.

Définition[modifier | modifier le wikicode]



La fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0.

L'idée à retenir est qu'un développement limité est une approximation polynomiale au voisinage du point où il est effectué : l'image le montre bien.

Formules de Taylor[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Taylor ».

Nous exposons ici trois formules de Taylor :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque
Pour démontrer ce théorème, on utilise celui d'intégration terme à terme (voir infra). Ces deux théorèmes se généralisent aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

La formule de Taylor-Young est à usage local (du fait de la présence du ).

Les autres formules de Taylor sont à usage global.

Elles permettent notamment de préciser la valeur du « reste » de la formule de Taylor-Young :

Début d’un théorème


Fin du théorème


La formule de Taylor-Lagrange et son corollaire immédiat, l'inégalité de Taylor-Lagrange, sont des généralisations respectives du théorème des accroissements finis et de l'inégalité des accroissements finis (voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

Début d’un théorème


Fin du théorème

(Si , on a un énoncé analogue en remplaçant par et par .)




Développements limités des fonctions usuelles en zéro[modifier | modifier le wikicode]

On a alors les développements limités des fonctions usuelles, directement (ou presque) avec la formule de Taylor-Young :

  • le développement limité à l’ordre d'une fonction polynomiale est la troncature de cette fonction à l’ordre  ;

  • avec et (si , c’est un polynôme…) ;
    • Cas particulier :  :

      et .

Remarque : On trouvera parfois dans d'autres sources des listes (beaucoup) plus longues de développements limités à connaître. Cependant, ceux présentés ci-dessus suffisent dans la pratique ; les exemples ci-dessous montrent comment obtenir d'autres développements limités à partir de ceux-ci.

Propriétés des développements limités[modifier | modifier le wikicode]

Somme et produit[modifier | modifier le wikicode]


Dérivation et intégration terme à terme[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque
Ce théorème d'« intégration » (plus exactement : de primitivation) terme à terme s'étend aux fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre : voir Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Développement limité.

Pourquoi ne peut-on pas dériver un développement limité terme à terme comme on peut le faire pour une primitive ?

Pour comprendre, on peut prendre l'exemple classique de , prolongée par . Cette fonction admet un développement limité d'ordre en mais n'a pas de limite en donc pas de développement limité en (même à l'ordre ).

L'idée est qu'en dérivant, on « perd (au moins un peu) la régularité » de la fonction (si est de classe , alors est de classe ) et rien n'assure que si admet un développement limité à l'ordre alors en admet un, même à l'ordre .

Par contre, on « gagne en régularité » en intégrant donc on peut être sûr de l’existence du développement limité de .

Composition[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Les exemples qui suivent illustrent quelques méthodes de calcul des développements limités souvent utilisées et montrent comment, grâce à ces propriétés, on peut obtenir de nouveaux développements limités .

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Voyez aussi les exercices sur les développements limités.

Applications : calculs de limites et étude locale d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

La limite d'une fonction en un point est égale à celle de son développement limité en .

Mais il y a nettement mieux : le développement limité donne une « vision » du comportement de la fonction au voisinage du point . En particulier, pour trouver une équation de tangente (ou d'asymptote , voir le paragraphe suivant) en à la courbe de la fonction, il suffit de prendre les termes de degré et du développement limité.
Le signe des termes d'ordre supérieur donne la position de la courbe par rapport à cette tangente (ou asymptote).

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Développements limités généralisés[modifier | modifier le wikicode]

Ce sont des développements limités en ou en . On les déduit de ceux en par un changement de variable .