Fonction dérivée/Extremum local

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Extremum local

Maximum local

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I et x₀ un réel de I.

• ƒ(x₀) est un maximum local de ƒ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J contenant x₀ tel que

pour tout $x\in J\cap I$ : $f(x)\leq f(x_{0})$.

Définition

• On a une définition similaire pour un minimum local :

ƒ(x₀) est un minimum local de ƒ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J contenant x₀ tel que

pour tout $x\in J\cap I$ : $f(x)\geq f(x_{0})$.

• On rassemble maximum et minimum sous le qualificatif extremum.

Théorèmes

Début d’un théorème

Théorème

Soient ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I et x₀ un réel intérieur à I qui n'est pas une borne de I.

Si $f(x_{0})$ est un extremum local de ƒ, alors $f'(x_{0})=0$.

Fin du théorème

La réciproque de ce théorème est fausse, voir infra l'exemple de la fonction cube.

Début d’un théorème

Théorème

Soient ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I et x₀ un réel intérieur à I qui n'est pas une borne de I.

Si $f'$ s'annule en $x_{0}$ en changeant de signe, alors $f(x_{0})$ est un extremum local de f.

Fin du théorème

Exemple de la fonction cube

1. Énoncer une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une fonction ƒ dérivable sur I admette un extremum local en x₀ intérieur à I.
2. Énoncer la réciproque de ce théorème.
3. Démontrer que dans le cas de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto x^{3}$, cette réciproque est fausse.
4. Que « manque-t-il » à la fonction $f'$ pour que $f$ admette un extremum local en 0 ?

Solution

1. Énoncer une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une fonction ƒ dérivable sur I admette un extremum local en x₀ intérieur à I.

Pour qu'une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I admette un extremum local en un réel $x_{0}$ intérieur à I, il est nécessaire que $f'(x_{0})=0$. Cette condition n'est cependant pas suffisante.

2. Énoncer la réciproque de ce théorème.

La réciproque est « Si une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I vérifie en un réel x₀ intérieur à I l'égalité $f'(x_{0})=0$, alors ƒ admet un extremum local en x₀ »

3. Démontrer que dans le cas de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto x^{3}$, cette réciproque est fausse.

La fonction cube est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=3x^{2}$.

On a donc ƒ'(0) = 0.

Or, la fonction cube n'admet pas d'extremum local au point d'abscisse 0. En effet, la fonction cube est strictement croissante ! La réciproque énoncée en 2 est donc fausse.

4 Que « manque-t-il » à la fonction $f'$ pour que $f$ admette un extremum local en 0 ?

Il faudrait, pour avoir un extremum en 0, que le sens de variation de ƒ change en passant par 0. Or, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)\geq 0$.

Il « manque » donc à ƒ' un changement de signe.