Leçons de niveau 12

Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination

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Lever une indétermination
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Exercices no3
Leçon : Limites d'une fonction

Ces exercices sont de niveau 12.

Exo préc. :Limites de fractions rationnelles
Exo suiv. :Sommaire
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Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination
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Factoriser[modifier | modifier le wikicode]

1. f est la fonction définie sur par pour tout .

a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers .
b. Démontrer que pour tout réel , .
c. En déduire la limite de f en .

2. g est la fonction définie sur par :

pour tout .
a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers .
b. Démontrer que pour tout réel x, .
c. En déduire la limite de f en .

Utiliser l’expression conjuguée[modifier | modifier le wikicode]

g est la fonction définie sur par :

.
  1. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers .
  2. Multiplier et diviser par son expression conjuguée .
  3. Démontrer que pour tout réel  :
    .
  4. En déduire la limite de g en .

Déterminer les limites en de :

  1.  ;
  2. .

Simplifier[modifier | modifier le wikicode]

ƒ est la fonction définie sur par pour tout .

  1. Quelle est la limite en 2 de la fonction  ? Peut-on donner directement la limite de ƒ en 2 ?
  2. Démontrer que pour tout réel x de D,
  3. En déduire la limite de ƒ en 2.

Reconnaître un taux de variation[modifier | modifier le wikicode]

g est la fonction définie sur par pour tout .

  1. Donner la limite en 0 de chacune des fonctions .
  2. Peut-on alors donner directement la limite de g en 0 ?
  3. Reconnaître que l’expression de est un taux de variation de la fonction cos. En déduire la limite de g en 0.

Règle simple de L'Hôpital[modifier | modifier le wikicode]

(Pour des généralisations à un niveau plus avancé, voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Théorèmes sur la dérivation.)

  1. Soient et deux fonctions définies sur et dérivables en . Démontrer que si et , alors .
  2. Appliquer cette règle pour calculer .