Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan

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La fonction arc tangente

Définition

La fonction tangente étant strictement croissante et continue sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$, et de limites infinies aux bornes, à chaque réel $b$ correspond un unique nombre $a$ de $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ tel que : $\tan (a)=b$

On note : $a=\arctan (b)$

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de $\arctan$ sur $ℝ$. Elle se déduit de celle de tangente par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.

Variations

Propriété

La fonction $\arctan$ est continue et strictement croissante sur $ℝ$.

Tableau de variation

x	$-\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$
$\arctan (x)$	$+\frac{\pi }{2}$ $\nearrow$ $-\frac{\pi }{2}$

Dérivée

Début d’un théorème

Théorème

La fonction $\arctan$ est dérivable sur $ℝ$ et :

$\mathrm{\forall }x\in ]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[{\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Fin du théorème

Somme de deux arctan

Début d’un théorème

Théorème

Si $xy\ne 1$,

$\arctan (x)+\arctan (y)=\arctan \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+k\pi$

où

$k=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }xy<1\\ 1& \text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }>0\\ -1& \text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }<0\end{array}$

Fin du théorème