Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan

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La fonction arc tangente

Définition

La fonction tangente étant strictement croissante et continue sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, et de limites infinies aux bornes, à chaque réel $b$ correspond un unique nombre $a$ de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ tel que : $\tan(a)=b$

On note : $a=\arctan(b)$

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de $\arctan$ sur $\mathbb {R}$. Elle se déduit de celle de tangente par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.

Variations

Propriété

La fonction $\arctan$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb {R}$.

Tableau de variation

x	$-\infty$ $+\infty$
$\arctan(x)$	$+{\frac {\pi }{2}}$ $\nearrow$ $-{\frac {\pi }{2}}$

Dérivée

Début d’un théorème

Théorème

La fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et :

$\forall x\in \left]-\infty ,+\infty \right[\quad \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Fin du théorème

Somme de deux arctan

Début d’un théorème

Théorème

Si $xy\neq 1$,

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)+k\pi$

où

$k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0\end{cases}}$

Fin du théorème