Utilisateur:RM77/Exos

Maths, exercices corrigés

Logique élémentaire

1. Soit $f,g:ℝ\to ℝ$ tq $\mathrm{\forall }(x,y),(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))=0$. Mq l'une au moins de ces fonctions est constante.
2. Soit $f:ℝ\to ℝ$ tq $f\circ f$ est croissante et $f\circ f\circ f$ est strictement décroissante. Mq f est strictement décroissante.
3. Montrer que si $f,g$ surjectives alors $g\circ f$ surjective.

   Montrer que si $g\circ f$ injective alors $f$ injective.

   Montrer que si $f,g$ injectives alors $g\circ f$ injective.

   Montrer que si $g\circ f$ surjective, alors $g$ surjective.

Correction Exo 1 : voir Implication et équivalence/Exercices/Contraposées

Correction Exo 2, réécrite dans Implication et équivalence/Exercices/Contraposées

On suppose que f n’est pas strictement décroissante.

• $\mathrm{\exists }(x,y)\in {ℝ}^2,\{\begin{array}{c}x<y\\ f(x)\le f(y)\end{array}$.
• $f\circ f$ est croissante, donc $(f\circ f)(f(x))\le (f\circ f)(f(y))$
• Donc $(f\circ f\circ f)(x)\le (f\circ f\circ f)(y)$
• Or, $f\circ f\circ f$ est strictement décroissante, donc $(f\circ f\circ f)(x)>(f\circ f\circ f)(y)$, ce qui est absurde.

f est strictement décroissante.

 

Correction Exo 3 (avec complément d'énoncé) : voir Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 3

Niveau 12, pour se mettre en condition

1. Trouver trois entiers non nuls $a,b,c$ (non nécessairement distincts) tels que :

   $\frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.

2. Déterminer tous les entiers $n\ge 1$ tels qu'il existe $n$ entiers non nuls $x_1,x_2,\dots ,x_n$ (non nécessairement distincts) vérifiant :

   $1=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\dots +\frac{1}{x_n^2}$.

Correction : voir Arithmétique, Exercice 12-5

Niveau 12.5, fonctions usuelles

1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln \cos x$.
   1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$.
   2. Expliquer pourquoi on peut réduire l'étude de $f$ à $I=]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$.
   3. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $I$.
   4. Étudier les variations de $f$.
2. Résoudre l'inéquation : $x^{\frac{1}{16}}\le 8x^{\frac{11}{16}}$.
3. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+1}{(x+2)e^x}$.
4. Calculer $\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{lim}\frac{\sin (x-\frac{\pi }{3})}{1-2\cos x}$.

Correction Exo 1, réécrite dans Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 4

• Df est l'union des intervalles de la forme In = ]-π/2 + 2kπ, +π/2 + 2kπ [ avec k entier relatif ;
• La fonction est périodique et se reproduit à l'identique sur chacun des In, donc en particulier sur I0 = I ;
• moins l'infini (limite de ln en 0) ;
• Pour tout x dans I, |cos(x)| <=1 donc ln(cos(x))<=0, donc la fonction est négative ou nulle. De plus, ln est croissante sur R, cos est croissante sur la partie négative de I, décroissante sur sa partie positive. Ainsi : f croît de moins l'infini (en x = -π/2) à 0 (en x = 0, tangente hoizontale) puis décroît jusqu'à moins l'infini (en x = +π/2). On obtient les variations de f en reproduisant ces variations sur tous les In.

 

Correction Exo 2 : voir Fonction exponentielle/Exercices/Fonction racine n-ième#Exercice 1

Réponse Exo 3 : $0$ (voir Fonction exponentielle/Croissances comparées)

Correction Exo 4. Pour une solution plus simple, voir Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination#Règle simple de L'Hôpital

$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{lim}\frac{\sin (x-\frac{\pi }{3})}{1-2\cos x}=\underset{u\to 0}{lim}\frac{\sin (u)}{1-2\cos (u+\frac{\pi }{3})}$

Soit $u\in ℝ$

$\begin{array}{cc}1-2\cos (u+\frac{\pi }{3})& =1-2(\cos (u)\frac{1}{2}-\sin (u)\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =1-\cos (u)+\sqrt{3}\sin (u)\\ \end{array}$

Donc :

• $1-2\cos (u+\frac{\pi }{3})\underset{u\to 0}{\sim }\sqrt{3}u$
• $\sin (u)\underset{u\to 0}{\sim }u$

Finalement $\underset{u\to 0}{lim}\frac{\sin (u)}{1-2\cos (u+\frac{\pi }{3})}=\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{lim}\frac{\sin (x-\frac{\pi }{3})}{1-2\cos x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Niveau 13 : divisibilité

1. Mq $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },40^{n}n!|(5n)!$
2. Trouver les entiers $n$ tq $n^4+4$ soit premier.

Correction Exo 1 : voir Arithmétique, Exercice 2-9

Correction Exo 2 : voir Arithmétique, Exercice 12-4

Niveau 13, fonctions trigonométriques réciproques

1. Résoudre $(E_1):\arccos x=\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{1}{4}$
2. Résoudre $\arcsin (\tan x)=x$
3. Résoudre $(S):\{\begin{array}{c}\cosh x+\cosh y=\frac{35}{12}\\ \sinh x+\sinh y=\frac{25}{12}\end{array}$

Correction Exo 1, transférée dans Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Résolution d'équations

$\begin{array}{cc}\cos (\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{1}{4})& =\cos (\arcsin \frac{1}{3})\cos (\arccos \frac{1}{4})-\sin (\arcsin \frac{1}{3})\sin (\arccos \frac{1}{4})\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}-\frac{1}{3}\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{15}}{12}\end{array}$

La solution de (E) est alors $\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{15}}{12}$.

 

Correction Exo 2 : voir (de même) Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Résolution d'équations

Correction Exo 3, transférée dans Trigonométrie hyperbolique/Exercices/Exercices

Soit $(x,y)\in {ℝ}^2$

$\{\begin{array}{c}\cosh x+\cosh y=\frac{35}{12}\\ \sinh x+\sinh y=\frac{25}{12}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{e}^x+e^y=5\\ e^{-x}+e^{-y}=\frac{5}{6}\end{array}$

On pose $X=e^x$ et $Y=e^y$

$\begin{array}{cc}(S)& \iff \{\begin{array}{c}X+Y=5\\ \frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=\frac{5}{6}\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}X+Y=5\\ \frac{X+Y}{XY}=\frac{5}{6}\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}X+Y=5\\ XY=6\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}X=2\\ Y=3\end{array}\text{~ou~}\{\begin{array}{c}X=3\\ Y=2\end{array}\\ \end{array}$

L'ensemble des solutions de (S) est alors $\{(\ln (2),\ln (3)),(\ln (3),\ln (2))\}$.

 

Niveau 12.5, géométrie 2D

1. Soit ABC un triangle équilatéral et M un point à l'intérieur de ABC. Montrer que la somme des distances de M aux trois côtés de ABC de dépend pas de M.
2. Soient, dans le plan, un parallélogramme ABDC et un point P. La parallèle à (AB) menée par P coupe (AD) en E et (BC) en F ; la parallèle à (AD) menée par P coupe (AB) en G et (CD) en H. Montrer que les droites (EH), (FG) et (AC) sont concourantes ou parallèles.

Correction Exo 1 : voir Wikipédia : Théorème de Viviani

Correction Exo 2 : voir Vecteurs et repérage/Exercices/Parallélogramme

Niveau 13, arcs paramétrés

1. $\{\begin{array}{c}x(t)=t-\frac{1}{t}\\ y(t)=t-\frac{1}{2}\ln (2e^t-1)\end{array}$ → Ensemble de définition, étude des asymptotes, directions asymptotiques.
2. $f:t\mapsto (\cos t,\sin 2t),t\in [-\pi ,\pi ]$ → étude de $f$

Correction Exo 1 : voir Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 4

Correction Exo 2 : voir http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard.Eguether/COURBE/PARAMETREE/000liste1/024para.pdf

Niveau 13, équa diffs et analyse

1. Résoudre $(E):y^{\prime }+\frac{3x+4}{2x(x+1)}y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$
2. Cours : Redémontrer le théorème suivant Toute fonction admettant une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
3. Soit $f:ℝ\to ℝ$ continue en 0 telle que $\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)=f(2x)$. Mq f est constante.
4. Soit $f:[0,1]\to ℝ,x\mapsto \arcsin (1-x^3)$. Mq f est de classe $C^1$ et tracer sa courbe représentative.
5. Soit P un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Mq si les racines de P sont toutes réelles et simples, alors il en est de même pour P'. (??? énoncé peut être incomplet)
6. 1. Soit $a\in ]0,\pi [$. Étudier la suite des sinus itérés de a définie par $u_0=a;u_{n+1}=sin(u_n)$
   2. En admettant que $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$, mq la suite $(v_n)=\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}$ est convergente et donner sa limite.

Correction Exo 1, transférée dans Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre

L'équation homogène associée à (E) est $(H):y^{\prime }=-\frac{3x+4}{2x(x+1)}y$

$\begin{array}{cc}\int \frac{3x+4}{2x(x+1)}\mathrm{d}x& =\int \frac{2}{x}-\frac{1}{2(x+1)}\mathrm{d}x\\ & =2\ln (x)-\frac{1}{2}\ln x+1+\gamma \end{array}$

$\exp (-\int \frac{3x+4}{2x(x+1)}\mathrm{d}x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}$

${𝒮}_H=\{A\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}|A\in ℝ\}$

Solution particulière : Variation de la constante :

$f(x)=A(x)\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}$

$A^{\prime }(x)=\frac{x^2}{x+1}$

$A(x)=\ln (x+1)+\frac{x^2}{2}-x$

${𝒮}_E=\{(\ln (x+1)+\frac{x^2}{2}-x+C)\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}|A\in ℝ\}$

Restent à étudier les intervalles de validité et les recollements

 

Correction Exo 2 : voir Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre

Correction Exo 3, réécrite dans Mathématiques en terminale S/Devoir/Équations fonctionnelles, dérivation et suites

Soit $x\in ℝ$.

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right)$

f est continue en 0 donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(\frac{x}{2^n}\right)=f(0)$, donc $\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)=f(0)$.

Commentaire de Sharayanan (d · c · b · s) : mmh... pas tout à fait convaincu de cette affaire ! La première étape notamment... sauf si on corrige un tout petit détail (et là, ça marche )

C'est moche un clavier qui fourche. C'est vrai que x c’est mieux Xzapro4 5 février 2008 à 07:40 (UTC)

• Soit x un réel, alors f(x) = f(x/2) = ... = f(x/2ⁿ) pour tout entier naturel n (nul ou pas, d'ailleurs) par une récurrence triviale. Ainsi, par caractérisation séquentielle de la limite, f étant continue en 0, f(0) = lim en 0 de f(x/2ⁿ) = f(x). Conclusion, f est constante. Poil à la menthe. Sharayanan _(blabla) 4 février 2008 à 19:01 (UTC)

 

Correction Exo 4, transférée dans Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité

On a sans problème $f\in {𝒞}^1(]0,1])$. Le souci vient de la régularité en 0.

Soit $x\in ]0,1]$:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =-3x^2{\arcsin }^{\prime }(1-x^3)\\ =-3x^2\frac{1}{\sqrt{1-(1-x^3{)}^2}}\\ =-\frac{3x^2}{\sqrt{x^3(2-x^3)}}\\ \end{array}$

$f^{\prime }(x)\underset{x\to 0}{\sim }-\frac{3x^2}{\sqrt{2}{x}^{\frac{3}{2}}}\sim x\to 0\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{x}$

Donc f' a une limite finie en 0, donc $f\in {𝒞}^1([0,1])$

 

Correction Exo 5. Pour une version améliorée, voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité#Exercice 4

Le résultat de la première question est un classique (l'énoncé est complet). Ça doit se démontrer par récurrence. En voici une démonstration que je pense complète :

• Pour plus de simplicité, notons p la fonction polynôme associée à P et n = deg(P). Alors p est, au moins, de classe C¹ sur l’ensemble des réels.
• L'hypothèse n ≥ 2 a pour conséquence l’existence d'au moins deux zéros de p. Soit alors a₁ et a₂ deux zéros consécutifs de p. La restriction de p à l'intervalle $[a_1;a_2]$ est encore C¹ et $p(a_1)=p(a_2)=0$. On applique donc le théorème de Rolle : il existe un réel b dans l'intervalle ouvert tel que p’(b) = 0. En particulier, b n’est pas racine de P donc est nécessairement racine simple de P’.
• Enfin, on a n - 1 intervalles de la forme précédente, d'où autant de points d'annulation de p’. Il ne saurait y en avoir plus, car deg(P’) = n - 1 ≥ 1.

Conclusion : nous avons montré que, lorsque P est un polynôme à coefficients réels, de degré supérieur ou égal à 2, dont les racines sont toutes réelles et simples, alors les racines de P’ sont toutes réelles et simples.

 

Correction Exo 6 : voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 7

Niveau 14 : dérivées

1. Donner la dérivée n-ième de $f:x\mapsto x^2(x+1{)}^n$
2. Déterminer les fonctions $f:ℝ\to ℝ$ dérivables tq $\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2,f(x+y)=f(x+f(y))$.
3. Soit $f:[0,1]\to ℝ$ continue sur [0,1] et dérivable en 0. On pose $u_n=\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right)-nf(0),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
   1. On pose $v_n=\frac{n(n+1)}{2n^2}{f}^{\prime }(0)$. Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n$
   2. Mq : $|u_n-v_n|\le \frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k|\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)-f(0)}{\frac{k}{n^2}}-f^{\prime }(0)|$
   3. Mq $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n-v_n)=0$ (utiliser les $ϵ$) puis en déduire $lim{u}_n$
   4. Application : déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\prod _{k=1}^n(1+\frac{k}{n^2})$

Correction Exo 1 : voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité

Correction Exo 2 : voir Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité

Correction Exo 3, transférée dans Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité et complétée là-bas

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=\frac{f^{\prime }(0)}{2}$

2. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

On remarque que $v_n=\frac{n(n+1)}{2}\frac{f^{\prime }(0)}{n^2}=\sum _{k=1}^{n}k\frac{f^{\prime }(0)}{n^2}$

Donc $\begin{array}{cc}{u}_n-v_n& =\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right)-nf(0)-\sum _{k=1}^{n}k\frac{f^{\prime }(0)}{n^2}\\ & =\sum _{k=1}^n(f\left(\frac{k}{n^2}\right)-k\frac{f^{\prime }(0)}{n^2}-f(0))\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}(\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)}{\frac{k}{n^2}}-f^{\prime }(0)-\frac{f(0)}{\frac{k}{n^2}})\\ \end{array}$

Donc, par l'inégalité triangulaire

$\begin{array}{cc}|u_n-v_n|& \le \sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}|\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)-f(0)}{\frac{k}{n^2}}-f^{\prime }(0)|\\ \end{array}$

D'où le résultat.

 

Niveau 14 : convexité

1. Mq $\ln \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\ge \sqrt{\ln x_1\ln x_2}$
2. Soit $f(x)=-\ln (\ln x)$. Mq f convexe pour x>1, et en déduire $\mathrm{\forall }a>1,\mathrm{\forall }b>1,\ln \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{\ln a\ln b}$.
3. Démontrer Si g convexe, f convexe et croissante, alors $f\circ g$ convexe.
4. Soient $x_1,\mathrm{...},x_n$ des réels positifs. Mq ${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2\le n\sum _{i=1}^n{x}_i^2$

Correction Exos 1 et 2 : voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité#Exercice 2

Pensée sur l'exo 1.

Inégalité de Jensen appliqué à ln (concave). ou plus simplement une inégalité de concavité obtenue en partant de la définition (la courbe est au dessus de toute ligne joignant deux de ses points).

 

Pensée sur l'exo 3. Pour une vraie correction, voir Propriété 8 de Fonctions convexes/Définition et premières propriétés

Si f et g sont 2 fois dérivables : $(f\circ g{)}^{″}=g^{″}.(f^{\prime }\circ g)+g{\text{'}}^2.(f^{″}\circ g)\ge 0$ grâce aux hypothèses de l'énoncé Sinon... c’est moins marrant

 

Correction Exo 4, transférée dans Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité

$f:x\mapsto x^2$ est convexe et $\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}=1$

Donc $f\left(\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{n}\right)\le \sum _{i=1}^n\frac{1}{n}f(x_i)$

ie $\frac{1}{n^2}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2\le \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2$

D'où le résultat

 

Niveau 14 : anneaux

1. Anneau booléen. Soit A un anneau tq $\mathrm{\forall }x\in A,x^2=x$
   1. Mq $\mathrm{\forall }x\in A,x+x=0$
   2. En déduire que A est commutatif.
2. A est un anneau tq $\mathrm{\forall }(a,b)\in A^2,\{\begin{array}{c}ab+ba=1\\ a^{2}b+b{a}^2=a\end{array}$. Montrer :
   1. $a^{2}b=b{a}^2$
   2. $2aba=a$
   3. que a est inversible d'inverse 2b
3. Soit A un anneau et $A^{\ast }$ l’ensemble des éléments inversibles de A. Mq $\mathrm{\forall }(x,y)\in A^2,1-xy\in A^{\ast }\iff 1-yx\in A^{\ast }$
4. $(A,+,.)$ est un anneau commutatif. On note $B=\{x\in A,x^2=x\}$
   1. Mq $\mathrm{\forall }x\in B,1-x\in B$
   2. Soit la lci $\circ$ définie par $\mathrm{\forall }x\in B,\mathrm{\forall }y\in B,x\circ y=x+y-2xy$. Mq $(B,\circ ,.)$ est un anneau commutatif unitaire.
5. Soit $\alpha$ l'une des racines complexes du polynôme $X^2+X+2$ (qu’il est inutile de calculer explicitement). On désique par $\mathbb{Z}[\alpha ]$ l’ensemble des nombres complexes de la forme $p+q\alpha$ où $(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2$.
   1. Mq $\mathbb{Z}[\alpha ]$ est un sous anneau de $ℂ$
   2. Calculer $\alpha +\overline{\alpha }$ et $\alpha \overline{\alpha }$
   3. Mq $\mathrm{\forall }z\in \mathbb{Z}[\alpha ],\overline{z}\in \mathbb{Z}[\alpha ]$
   4. Mq $\mathrm{\forall }z\in \mathbb{Z}[\alpha ],z\overline{z}\in \mathbb{N}$
   5. Mq l'élément $p+q\alpha$ est inversible dans $\mathbb{Z}[\alpha ]$ ssi $p^2+2q^2-pq=1$
   6. Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq $pq<0$
   7. Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq $pq>0$
   8. En déduire les éléments inversibles de $\mathbb{Z}[\alpha ]$

Correction Exo 1, transférée dans Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

1. Soit $x\in A$.

$\begin{array}{cc}1+x& =(1+x{)}^2\\ & =1+x+x+x^2\\ & =(1+x)+x+x\end{array}$

Donc $\mathrm{\forall }x\in A,x+x=0$

2. Soit $(x,y)\in A^2$

$\begin{array}{cc}x+y& =(x+y{)}^2\\ & =x^2+xy+yx+y^2\\ & =x+y+xy+yx\end{array}$

Donc $xy=-yx$. Or, d’après la question 1, $\mathrm{\forall }t\in A,t=-t$

Donc $\mathrm{\forall }(x,y)\in A^2,xy=yx$, donc A est commutatif.

Solution partielle Exo 2, réécrite et complétée (sous hypothèse plus faible) dans (de même) Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

on note (1) la première info, (2) la seconde.

a × (1) : a²b + aba = a donc a²b = a - aba

D'autre part,

(1) × a : aba + ba² = a donc ba² = a - aba

Ainsi, a²b = ba².

Sommons les deux équations précédentes :

a²b + ba² = 2a - 2aba = a (d'après 2)

donc 2aba = a.

Pour la dernière, ça semble découler de la précédente, mais je vois pas comment le faire proprement (et j’ai pas tellement envie de chercher ).

 

Correction Exo 3. Pour une solution plus simple, voir (de même) Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

• Attention : la manipulation qui suit est réservée au brouillon ! Dans le cas général, plusieurs éléments écrits dans les lignes qui suivent n'ont aucun sens, mais cette manipulation formelle a le bon goût de fournir une idée du résultat.

Soit $(x,y)\in A^2$ tel que $1-xy\in A^{\ast }$ et $1-yx\in A^{\ast }$.

$\begin{array}{cc}(1-xy{)}^{-1}& =\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(xy{)}^n\\ & =1+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(xy{)}^n\\ & =1+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}x(yx{)}^{n-1}y\\ & =1+x(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(yx{)}^n)y\\ & =1+x(1-yx{)}^{-1}y\end{array}$

• Soit $(x,y)\in A^2$ tel que $1-yx\in A^{\ast }$.

$\begin{array}{cc}(1-xy)(1+x(1-yx{)}^{-1}y)& =1+x(1-yx{)}^{-1}y-xy-xyx(1-yx{)}^{-1}y\\ & =1+x(1-yx)(1-yx{)}^{-1}y-xy\\ & =1\\ \end{array}$

Donc $1+x(1-yx{)}^{-1}y$ est l'inverse de $1-xy$, ce qui assure que $1-xy\in A^{\ast }$.

• On peut montrer de même que, $\mathrm{\forall }(x,y)\in A^{\ast },1-xy\in A^{\ast }\Rightarrow 1-yx\in A^{\ast }$.

Finalement $\mathrm{\forall }(x,y)\in A^2,1-xy\in A^{\ast }\iff 1-yx\in A^{\ast }$

 

Correction Exos 4 et 5 (généralisé) : voir (de même) Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

Niveau 14 : corps

1. Soit $a\in {\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$ tq $\sqrt{a}\notin \mathbb{Q}$, et $\mathbb{Q}[\sqrt{a}]=\{r+r^{\prime }\sqrt{a},(r,r^{\prime })\in {\mathbb{Q}}^2\}$ Mq $\mathbb{Q}[\sqrt{a}]$ est un corps pour les lois usuelles $+$ et ×.
2. Soit $(K,+,\times )$ un corps commutatif. Pour $\lambda \in K$, on définit dans $K^2$ deux lci $\oplus$ et $\otimes$ par : $\mathrm{\forall }(x,y,u,v)\in K^4,\{\begin{array}{c}(x,y)\oplus (u,v)=(x+u,y+v)\\ (x,y)\otimes (u,v)=(xu+\lambda yv,xv+yu)\end{array}$.
   1. Mq $(K^2,\oplus ,\otimes )$ est un anneau commutatif.
   2. On pose $K=ℝ$. Mq $(K^2,\oplus ,\otimes )$ est un corps ssi $\lambda <0$
3. Soit K un corps. Soit $(a,b)\in (K-\{0\}{)}^2$ tq $a+b=1$ et $a^{-1}+b^{-1}=1$. Mq :
   1. $ab=ba=1$
   2. $a=a^2+1$
   3. $a^4+a^2+1=0$
   4. $a^6=1$

Correction Exos 1 et 2 : voir Corps (mathématiques)/Exercices/Exemple de corps

« Solution » (fausse) de l'exo 3. Voir plutôt l'énoncé et la correction de Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices#Exercice 8

Notons (1) et (2) les deux infos de l'énoncé.

Alors (2) : 1/a + 1/b = 1 = (a + b)/(ab) = 1/ab (d'après 1) donc ab = 1. De même, 1/a + 1/b = 1/b + 1/a = 1 = (b + a)/(ba) =1/ba donc ba = 1.

Faux car on ne peut pas réduire ainsi au même dénominateur avant de savoir que a et b commutent.

a × (1) : a² + ab = a or ab = 1 donc a² + 1 = a.

(a²+1)² = a² = a^4 + 2a² + 1 donc a^4 + a² + 1 = 0. (3)

(3) × a² : a^6 + a^4 + a² = 0 or d’après (3), a^4 + a² = -1, donc a^6 = 1.

Plus simplement : dès qu'on sait que $a^2=a-1$, on sait exprimer toutes les puissances de $a$ comme combinaisons linéaires de $1$ et $a$.

 

Physique

Niveau 12.5, circuit RC parallèle

On charge un condensateur de 1 µF sous une tension de 10 V, puis on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance d'entrée R (en supposant le condensateur parfait : R_fuite=$\mathrm{\infty }$).

1. Déterminer R, sachant qu'après 2 minutes, le voltmètre affiche une ddp de 2.3 V.
2. On constate que la résistance R est du même ordre de grandeur que la résistance de fuite du condensateur sous 10 V et, 2 minutes plus tard, on branche le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. On mesure alors une ddp de 7.9 V. Déterminer la résistance de fuite R_fuite du condensateur et la résistance R_V du voltmètre.

Correction & remarques

1. On suppose le condensateur linéaire et parfait, de capacité C = 1 µF constante (tout cela… n’est pas dit). Chargé à l'instant On note V la tension aux bornes du condensateur et du voltmètre (un dessin, absent, clarifierait tout cela).

En appliquant la méthode des nœuds (ou n’importe quelle méthode d'ailleurs) on montre que la tension V vérifie une bête équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants :

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{RC}V=0$

dont les solutions sont des exponentielles décroissantes de temps caractéristique τ = RC. On a ainsi :

$V\left(t\right)=V_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}$

avec V₀ la tension du condensateur à l'origine (ici, 10 V). Notons maintenant V₁ la tension mesurée après un temps Δt. On a :

$V\left(\mathrm{\Delta }t\right)=V_0{e}^{-\frac{\mathrm{\Delta }t}{\tau }}=V_1$

donc :

$e^{-\frac{\mathrm{\Delta }t}{\tau }}=\frac{V_1}{V_0}$

d'où :

$\frac{\mathrm{\Delta }t}{\tau }=-\ln \frac{V_1}{V_0}$

soit encore :

$\tau =\frac{\mathrm{\Delta }t}{\ln \frac{V_0}{V_1}}=RC$

Le résultat recherché est finalement :

$R=\frac{\mathrm{\Delta }t}{C\ln \frac{V_0}{V_1}}$
$R=\frac{2\cdot 60}{1\cdot 10^{-6}\ln \frac{10}{2,3}}=8,1\cdot 10^7\mathrm{\Omega }(\approx 10M\mathrm{\Omega })$

Ce qui donne une constante de temps τ = 81 s.

2. Alors là, on revient carrément sur les hypothèses de l'énoncé ! Il n'est plus question d'une résistance de fuite infinie, ce qui rend le tout encore un peu plus obscur. Voici mon interprétation des choses : puisque le voltmètre est branché très brièvement (il est dit « un court instant », dont on peut supputer qu’il est court devant RC), le courant qui passe par le voltmètre est négligeable et on n'en tient pas compte. Ainsi, la différence de potentiel mesurée correspond uniquement à la décharge du condensateur (fuite), de sorte que l'équation différentielle vérifiée par V est analogue à celle de la question 1 :

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{R_{fuite}C}V=0$

Si bien que la résistance de fuite est donnée par une relation similaire :

$R_{fuite}=\frac{\mathrm{\Delta }t}{C\ln \frac{V_0}{V_1}}$
$R_{fuite}=\frac{2\cdot 60}{1\cdot 10^{-6}\ln \frac{10}{7,9}}=5,0M\mathrm{\Omega }$

On vérifie notamment que cette résistance est du même ordre de grandeur que l'impédance d'entrée du voltmètre.

Maintenant, on peut rendre le tout un peu plus intéressant… Exemple, à la fin (ou au début) de l'exo, on peut expliquer que : les mémoires RAM (DRAM, SDRAM etc.) utilisent des condensateurs pour stocker temporairement des données. Seulement, aussi grande que soit leur résistance de fuite, il n’est pas possible de conserver l'information très longtemps. En pratique, on rafraîchit ces mémoires régulièrement, ce qui explique notamment qu'une fois l'ordinateur éteint (ce rafraîchissement ne se faisant plus) la mémoire RAM s'efface. Au bout de l'exo, on se rend compte que la période de rafraîchissement est en effet assez courte (moins de 2 minutes) malgré des condensateurs plutôt corrects (R_fuite > 1MΩ). Par exemple. Sharayanan _(blabla) 18 février 2008