Utilisateur:RM77/Exos

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Maths, exercices corrigés[modifier | modifier le wikicode]

Logique élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit tq . Mq l'une au moins de ces fonctions est constante.
  2. Soit tq est croissante et est strictement décroissante. Mq f est strictement décroissante.
  3. Montrer que si surjectives alors surjective.
    Montrer que si injective alors injective.
    Montrer que si injectives alors injective.
    Montrer que si surjective, alors surjective.

Correction Exo 1 : voir Implication et équivalence/Exercices/Contraposées

Correction Exo 3 (avec complément d'énoncé) : voir Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 3

Niveau 12, pour se mettre en condition[modifier | modifier le wikicode]

  1. Trouver trois entiers non nuls (non nécessairement distincts) tels que :
    .
  2. Déterminer tous les entiers tels qu'il existe entiers non nuls (non nécessairement distincts) vérifiant :
    .

Correction : voir Arithmétique, Exercice 12-5

Niveau 12.5, fonctions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit la fonction définie par .
    1. Déterminer l’ensemble de définition de .
    2. Expliquer pourquoi on peut réduire l'étude de à .
    3. Déterminer les limites de aux bornes de .
    4. Étudier les variations de .
  2. Résoudre l'inéquation : .
  3. Déterminer .
  4. Calculer .

Correction Exo 2 : voir Fonction exponentielle/Exercices/Fonction racine n-ième#Exercice 1

Réponse Exo 3 : (voir Fonction exponentielle/Croissances comparées)

Niveau 13 : divisibilité[modifier | modifier le wikicode]

  1. Mq
  2. Trouver les entiers tq soit premier.

Correction Exo 1 : voir Arithmétique, Exercice 2-9

Correction Exo 2 : voir Arithmétique, Exercice 12-4

Niveau 13, fonctions trigonométriques réciproques[modifier | modifier le wikicode]

  1. Résoudre
  2. Résoudre
  3. Résoudre

Correction Exo 2 : voir (de même) Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Résolution d'équations

Niveau 12.5, géométrie 2D[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit ABC un triangle équilatéral et M un point à l'intérieur de ABC. Montrer que la somme des distances de M aux trois côtés de ABC de dépend pas de M.
  2. Soient, dans le plan, un parallélogramme ABDC et un point P. La parallèle à (AB) menée par P coupe (AD) en E et (BC) en F ; la parallèle à (AD) menée par P coupe (AB) en G et (CD) en H. Montrer que les droites (EH), (FG) et (AC) sont concourantes ou parallèles.

Correction Exo 1 : voir Wikipédia : Théorème de Viviani

Correction Exo 2 : voir Vecteurs et repérage/Exercices/Parallélogramme

Niveau 13, arcs paramétrés[modifier | modifier le wikicode]

  1. → Ensemble de définition, étude des asymptotes, directions asymptotiques.
  2. → étude de

Correction Exo 1 : voir Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 4

Correction Exo 2 : voir http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard.Eguether/COURBE/PARAMETREE/000liste1/024para.pdf
Wikipédia possède un article à propos de « Courbe de Lissajous ».


Niveau 13, équa diffs et analyse[modifier | modifier le wikicode]

  1. Résoudre
  2. Cours : Redémontrer le théorème suivant Toute fonction admettant une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
  3. Soit continue en 0 telle que . Mq f est constante.
  4. Soit . Mq f est de classe et tracer sa courbe représentative.
  5. Soit P un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Mq si les racines de P sont toutes réelles et simples, alors il en est de même pour P'. (??? énoncé peut être incomplet)
    1. Soit . Étudier la suite des sinus itérés de a définie par
    2. En admettant que , mq la suite est convergente et donner sa limite.

Correction Exo 2 : voir Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre

Correction Exo 6 : voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 7

Niveau 14 : dérivées[modifier | modifier le wikicode]

  1. Donner la dérivée n-ième de
  2. Déterminer les fonctions dérivables tq .
  3. Soit continue sur [0,1] et dérivable en 0. On pose .
    1. On pose . Déterminer
    2. Mq :
    3. Mq (utiliser les ) puis en déduire
    4. Application : déterminer

Correction Exo 1 : voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité

Correction Exo 2 : voir Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité

Niveau 14 : convexité[modifier | modifier le wikicode]

  1. Mq
  2. Soit . Mq f convexe pour x>1, et en déduire .
  3. Démontrer Si g convexe, f convexe et croissante, alors convexe.
  4. Soient des réels positifs. Mq

Correction Exos 1 et 2 : voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité#Exercice 2

Niveau 14 : anneaux[modifier | modifier le wikicode]

  1. Anneau booléen. Soit A un anneau tq
    1. Mq
    2. En déduire que A est commutatif.
  2. A est un anneau tq . Montrer :
    1. que a est inversible d'inverse 2b
  3. Soit A un anneau et l’ensemble des éléments inversibles de A. Mq
  4. est un anneau commutatif. On note
    1. Mq
    2. Soit la lci définie par . Mq est un anneau commutatif unitaire.
  5. Soit l'une des racines complexes du polynôme (qu’il est inutile de calculer explicitement). On désique par l’ensemble des nombres complexes de la forme .
    1. Mq est un sous anneau de
    2. Calculer et
    3. Mq
    4. Mq
    5. Mq l'élément est inversible dans ssi
    6. Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq
    7. Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq
    8. En déduire les éléments inversibles de

Correction Exos 4 et 5 (généralisé) : voir (de même) Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

Niveau 14 : corps[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit tq , et Mq est un corps pour les lois usuelles et ×.
  2. Soit un corps commutatif. Pour , on définit dans deux lci et par : .
    1. Mq est un anneau commutatif.
    2. On pose . Mq est un corps ssi
  3. Soit K un corps. Soit tq et . Mq :

Correction Exos 1 et 2 : voir Corps (mathématiques)/Exercices/Exemple de corps

Physique[modifier | modifier le wikicode]

Niveau 12.5, circuit RC parallèle[modifier | modifier le wikicode]

On charge un condensateur de 1 µF sous une tension de 10 V, puis on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance d'entrée R (en supposant le condensateur parfait : Rfuite=).

  1. Déterminer R, sachant qu'après 2 minutes, le voltmètre affiche une ddp de 2.3 V.
  2. On constate que la résistance R est du même ordre de grandeur que la résistance de fuite du condensateur sous 10 V et, 2 minutes plus tard, on branche le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. On mesure alors une ddp de 7.9 V. Déterminer la résistance de fuite Rfuite du condensateur et la résistance RV du voltmètre.

Correction & remarques[modifier | modifier le wikicode]

1. On suppose le condensateur linéaire et parfait, de capacité C = 1 µF constante (tout cela… n’est pas dit). Chargé à l'instant On note V la tension aux bornes du condensateur et du voltmètre (un dessin, absent, clarifierait tout cela).

En appliquant la méthode des nœuds (ou n’importe quelle méthode d'ailleurs) on montre que la tension V vérifie une bête équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants :

dont les solutions sont des exponentielles décroissantes de temps caractéristique τ = RC. On a ainsi :

avec V0 la tension du condensateur à l'origine (ici, 10 V). Notons maintenant V1 la tension mesurée après un temps Δt. On a :

donc :

d'où :

soit encore :

Le résultat recherché est finalement :


Ce qui donne une constante de temps τ = 81 s.

2. Alors là, on revient carrément sur les hypothèses de l'énoncé ! Il n'est plus question d'une résistance de fuite infinie, ce qui rend le tout encore un peu plus obscur. Voici mon interprétation des choses : puisque le voltmètre est branché très brièvement (il est dit « un court instant », dont on peut supputer qu’il est court devant RC), le courant qui passe par le voltmètre est négligeable et on n'en tient pas compte. Ainsi, la différence de potentiel mesurée correspond uniquement à la décharge du condensateur (fuite), de sorte que l'équation différentielle vérifiée par V est analogue à celle de la question 1 :

Si bien que la résistance de fuite est donnée par une relation similaire :


On vérifie notamment que cette résistance est du même ordre de grandeur que l'impédance d'entrée du voltmètre.

Maintenant, on peut rendre le tout un peu plus intéressant… Exemple, à la fin (ou au début) de l'exo, on peut expliquer que : les mémoires RAM (DRAM, SDRAM etc.) utilisent des condensateurs pour stocker temporairement des données. Seulement, aussi grande que soit leur résistance de fuite, il n’est pas possible de conserver l'information très longtemps. En pratique, on rafraîchit ces mémoires régulièrement, ce qui explique notamment qu'une fois l'ordinateur éteint (ce rafraîchissement ne se faisant plus) la mémoire RAM s'efface. Au bout de l'exo, on se rend compte que la période de rafraîchissement est en effet assez courte (moins de 2 minutes) malgré des condensateurs plutôt corrects (Rfuite > 1MΩ). Par exemple. Smiley souriant Sharayanan (blabla) 18 février 2008