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Exercice : Pour les cracksArithmétique/Exercices/Pour les cracks », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résolvez, dans ℕ3 , l'équation :
a
b
+
a
c
+
b
c
=
a
b
c
{\displaystyle ab+ac+bc=abc}
Solution
Soit
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
une solution, avec
a
≤
b
≤
c
{\displaystyle a\leq b\leq c}
.
Si
a
=
0
{\displaystyle a=0}
alors
b
=
0
{\displaystyle b=0}
.
Si
a
>
0
{\displaystyle a>0}
alors
1
c
+
1
b
+
1
a
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{c}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{a}}=1}
, donc
1
>
1
a
≥
1
3
{\displaystyle 1>{\frac {1}{a}}\geq {\frac {1}{3}}}
, donc
a
=
2
{\displaystyle a=2}
ou
3
{\displaystyle 3}
.
Si
a
=
2
{\displaystyle a=2}
alors
1
c
+
1
b
=
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{c}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{2}}}
, donc
1
2
>
1
b
≥
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{2}}>{\frac {1}{b}}\geq {\frac {1}{4}}}
, donc
b
=
3
{\displaystyle b=3}
ou
4
{\displaystyle 4}
.
Si
a
=
3
{\displaystyle a=3}
alors
1
c
+
1
b
=
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{c}}+{\frac {1}{b}}={\frac {2}{3}}}
, donc
2
3
>
1
b
≥
1
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}>{\frac {1}{b}}\geq {\frac {1}{3}}}
, donc
b
=
3
{\displaystyle b=3}
.
Les solutions sont donc (à permutation près) :
(
0
,
0
,
c
)
{\displaystyle (0,0,c)}
,
(
2
,
3
,
6
)
{\displaystyle (2,3,6)}
,
(
2
,
4
,
4
)
{\displaystyle (2,4,4)}
et
(
3
,
3
,
3
)
{\displaystyle (3,3,3)}
.
Démontrer qu'un nombre impair, non divisible par 5, a un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 1 dans le système décimal.
Solution
Soit
m
{\displaystyle m}
un tel nombre, il s'agit de montrer qu'il existe deux entiers
j
,
k
>
0
{\displaystyle j,k>0}
tels que
k
m
=
10
j
−
1
9
{\displaystyle km={\frac {10^{j}-1}{9}}}
, autrement dit : qu'il existe
j
∈
N
∗
{\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{*}}
tel que
10
j
≡
1
mod
9
m
{\displaystyle 10^{j}\equiv 1\mod {9m}}
.
La suite des
10
n
mod
9
m
{\displaystyle 10^{n}\mod {9m}}
ne prend qu'un nombre fini de valeurs (appartenant à
{
0
,
1
,
…
,
9
m
−
1
}
{\displaystyle \{0,1,\dots ,9m-1\}}
) donc il existe
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
et
j
∈
N
∗
{\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{*}}
tels que
10
n
+
j
≡
10
n
mod
9
m
{\displaystyle 10^{n+j}\equiv 10^{n}\mod {9m}}
.
Or
10
{\displaystyle 10}
est premier avec
m
{\displaystyle m}
et
9
{\displaystyle 9}
donc avec
9
m
{\displaystyle 9m}
donc
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
l'est aussi, si bien qu'on peut simplifier et conclure :
10
j
≡
1
mod
9
m
{\displaystyle 10^{j}\equiv 1\mod {9m}}
.
Trouvez un entier naturel
n
{\displaystyle n}
qui a cinq diviseurs et tel que
n
−
16
{\displaystyle n-16}
soit le produit de deux nombres premiers.
Trouver tous les entiers
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
tels que
n
4
+
4
{\displaystyle n^{4}+4}
soit premier.
Solution
La plus petite solution est
n
=
1
{\displaystyle n=1}
. Montrons que c'est la seule. Pour tout entier
n
>
1
{\displaystyle n>1}
,
n
4
+
4
=
(
n
2
+
2
)
2
−
4
n
2
=
(
n
2
−
2
n
+
2
)
(
n
2
+
2
n
+
2
)
{\displaystyle n^{4}+4=(n^{2}+2)^{2}-4n^{2}=(n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)}
n'est pas premier (les deux facteurs sont
>
1
{\displaystyle >1}
).
Trouver trois entiers non nuls
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
(non nécessairement distincts) tels que :
1
4
=
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}}
.
Déterminer tous les entiers
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
tels qu'il existe
n
{\displaystyle n}
entiers non nuls
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
(non nécessairement distincts) vérifiant :
1
=
1
x
1
2
+
1
x
2
2
+
⋯
+
1
x
n
2
{\displaystyle 1={\frac {1}{x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{x_{2}^{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}^{2}}}}
.
Solution
Procédons comme dans l'exercice 12-1 ci-dessus. Soit
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
une solution avec, sans perte de généralité,
0
<
a
≤
b
≤
c
{\displaystyle 0<a\leq b\leq c}
. Alors,
1
4
>
1
a
2
≥
1
12
{\displaystyle {\frac {1}{4}}>{\frac {1}{a^{2}}}\geq {\frac {1}{12}}}
donc
a
=
3
{\displaystyle a=3}
. Puis,
1
b
2
+
1
c
2
=
1
4
−
1
9
=
5
36
{\displaystyle {\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}={\frac {5}{36}}}
donc
5
36
>
1
b
2
≥
5
72
{\displaystyle {\frac {5}{36}}>{\frac {1}{b^{2}}}\geq {\frac {5}{72}}}
donc
b
=
3
{\displaystyle b=3}
. La solution (unique) est donc :
1
4
=
1
3
2
+
1
3
2
+
1
6
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}}
.
Par la même méthode, on montre que
n
=
2
,
3
,
5
{\displaystyle n=2,3,5}
ne sont pas solutions.
1
=
1
1
2
{\displaystyle 1={\frac {1}{1^{2}}}}
donc
n
=
1
{\displaystyle n=1}
est solution. Si
n
{\displaystyle n}
est solution alors
n
+
3
{\displaystyle n+3}
aussi car on peut remplacer
1
x
n
2
{\displaystyle {\frac {1}{x_{n}^{2}}}}
par
1
(
2
x
n
)
2
+
1
(
2
x
n
)
2
+
1
(
2
x
n
)
2
+
1
(
2
x
n
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}+{\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}+{\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}+{\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}}
. Pour en déduire que 4 et tous les entiers à partir de 6 sont solutions, il suffit donc de vérifier que 6 et 8 sont solutions :
1
=
1
2
2
+
1
2
2
+
1
2
2
+
(
1
3
2
+
1
3
2
+
1
6
2
)
=
1
2
2
+
1
2
2
+
(
1
3
2
+
1
3
2
+
1
6
2
)
+
(
1
3
2
+
1
3
2
+
1
6
2
)
{\displaystyle 1={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\left({\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}\right)={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\left({\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}\right)+\left({\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}\right)}
. La réponse est finalement : tous les entiers (à partir de 1) sauf 2, 3 et 5.