Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité

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Convexité
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Exercices no9
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Convexité

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Développements limités
Exo suiv. :Sommaire
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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient des réels positifs. Montrer que

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux réels strictement supérieurs à . Montrer que .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient des intervalles de ℝ, une fonction convexe et une fonction convexe et croissante. Démontrer que est convexe.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Gérard Eguether, « Fonctions sous-additives », 01/04/2011, proposition 6.

Soit une fonction concave (c'est-à-dire telle que est convexe) telle que .

Montrer que est sous-additive, c'est-à-dire que (pour tous ) :

.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Inspiré de : Michel Quercia, « Exercices sur les dérivées », 06/08/2016, exercice 66 (non corrigé, et qui énonce le même résultat principal mais avec une idée de preuve qui semble insuffisante).

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

  1. Vérifier que si est strictement convexe ou strictement concave alors « le des accroissements finis est toujours unique », c'est-à-dire :
    .
  2. Réciproquement, on suppose maintenant que « le des accroissements finis est toujours unique ».
    1. Soient et . Démontrer que est de signe constant.
    2. En déduire que est strictement convexe ou strictement concave.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide du théorème de Darboux, démontrer que si une fonction convexe (sur un intervalle réel) est dérivable, alors sa dérivée est continue.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Josef Stoer et Christoph Witzgall, Convexity and Optimization in Finite Dimensions, vol. I, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (no 163), 1970 [lire en ligne], p. 172 , th. 4.9.11.

Une fonction (où est un intervalle réel) est dite quasi convexe si pour tous dans , .

  1. Vérifier que toute fonction convexe est quasi convexe.
  2. Vérifier que s'il existe dans deux intervalles complémentaires (l'un des deux pouvant être vide) tels que soit décroissante sur et croissante sur , alors est quasi convexe.
  3. On veut montrer la réciproque. On suppose donc que est quasi convexe. On pose et .
    1. Vérifier que est croissante sur .
    2. Montrer que pour tout et tout dans , on a et .
    3. Conclure.
  4. Donner un exemple de fonction quasi convexe et non convexe.
  5. On suppose maintenant que est convexe. En reprenant les notations de la question 3.2, montrer que sur , est strictement décroissante. Par changement de variable , en déduire qu'il existe dans deux intervalles complémentaires (l'un des deux pouvant être vide) tels que soit constante sur et strictement croissante sur .