Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité

Exercice 1

Soient $x_{1},...,x_{n}$ des réels positifs. Montrer que $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\leq n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$

Solution

$f:x\mapsto x^{2}$ est convexe et $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}=1$

Donc $f\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}f(x_{i})$

c'est-à-dire ${\frac {1}{n^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$,

d'où le résultat.

Remarque

C'est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb {R} ^{n}$.

 

Exercice 2

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement supérieurs à $1$. Montrer que $\ln {\left({\frac {a+b}{2}}\right)}\geq {\sqrt {\ln a\ln b}}$.

Solution

La fonction $\ln$ étant concave (car $\ln ''<0$), on a :

$(1)\quad \forall x,y>0\quad \ln {\left({\frac {x+y}{2}}\right)}\geq {\frac {\ln x+\ln y}{2}}=\ln {\sqrt {xy}}$,

dont on déduit l'inégalité arithmético-géométrique :

$(2)\quad \forall x,y>0\quad {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}$.

En appliquant $(1)$ à $x=a,y=b$ et $(2)$ à $x=\ln a,y=\ln b$, on conclut :

$\ln {\left({\frac {a+b}{2}}\right)}\geq {\frac {\ln a+\ln b}{2}}\geq {\sqrt {\ln a\ln b}}$.

 

Exercice 3

Soient $I,J$ des intervalles de ℝ, $f:I\to J$ une fonction convexe et $g:J\to \mathbb {R}$ une fonction convexe et croissante. Démontrer que $g\circ f$ est convexe.

Solution

Voir propriété 8 de Fonctions convexes/Définition et premières propriétés.

 

Exercice 4

Référence : Gérard Eguether, « Fonctions sous-additives », 1er avril 2011, proposition 6.

Soit $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ une fonction concave (c'est-à-dire telle que $-f$ est convexe) telle que $f(0)\geq 0$.

Montrer que $f$ est sous-additive, c'est-à-dire que (pour tous $x,y\in \mathbb {R} _{+}$) :

$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.

Solution

Il suffit de montrer que $\forall x,y\in \mathbb {R} _{+}\quad f(x+y)\leq f(x)+f(y)-f(0)$, et l'on peut supposer $0<x\leq y$. D'après la troisième et la première inégalité des pentes (inversées, puisque $f$ est concave), on a alors :

${\frac {f(x+y)-f(y)}{x}}\leq {\frac {f(y)-f(0)}{y}}\leq {\frac {f(x)-f(0)}{x}}$ donc $f(x+y)-f(y)\leq f(x)-f(0)$.

 

Exercice 5

Inspiré de : Michel Quercia, « Exercices sur les dérivées », 6 août 2016, exercice 66 (non corrigé, et qui énonce le même résultat principal mais avec une idée de preuve qui semble insuffisante).

Soit $f:I\to \mathbb {R}$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

1. Vérifier que si $f$ est strictement convexe ou strictement concave alors « le $c$ des accroissements finis est toujours unique », c'est-à-dire :

   $\forall a,b\in I\quad \exists !c\in \left]a,b\right[\quad {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$.

2. Réciproquement, on suppose maintenant que « le $c$ des accroissements finis est toujours unique ».
   1. Soient $T=\{\left(x,y,z\right)\in I^{3}\mid x<y<z\}$ et $F:T\to \mathbb {R} ,\ \left(x,y,z\right)\mapsto {\frac {f\left(z\right)-f\left(y\right)}{z-y}}-{\frac {f\left(y\right)-f\left(x\right)}{y-x}}$. Démontrer que $F$ est de signe constant.
   2. En déduire que $f$ est strictement convexe ou strictement concave.

Solution

1. Si $f'$ est strictement monotone alors elle est injective.
2. 1. La fonction $F$ est continue sur le connexe $T$ (qui est même connexe par arcs car convexe), et elle ne s'annule en aucun $\left(x,y,z\right)\in T$, sinon « le » $c\in \left]x,z\right[$ ne serait pas unique (il y en aurait au moins un dans $\left]x,y\right[$ et un dans $\left]y,z\right[$). Elle est donc de signe (strict) constant.
   2. $f$ est strictement convexe si $F>0$ et strictement concave si $F<0$.

 

Exercice 6

À l'aide du théorème de Darboux, démontrer que si une fonction convexe (sur un intervalle réel) est dérivable, alors sa dérivée est continue.

Solution

Si $f:I\to \mathbb {R}$ est convexe et dérivable alors $f'$ est croissante. D'après le théorème de la limite monotone, on a donc, pour tout point $x$ intérieur à $I$ :

$\sup _{x>y\in I}f'\left(y\right)=\lim _{x^{-}}f'\leq f'\left(x\right)\leq \lim _{x^{-}}f'=\inf _{x<y\in I}f'\left(y\right)$.

De plus, $f'$ vérifie, comme toute fonction dérivée, la propriété des valeurs intermédiaires, donc tous les termes ci-dessus sont égaux, c'est-à-dire que $f'$ est continue au point $x$. De même, $f'$ est continue en les éventuels plus petit et plus grand éléments de $I$.

 

Exercice 7

Référence : Josef Stoer et Christoph Witzgall, Convexity and Optimization in Finite Dimensions, vol. I, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (n^o 163), 1970 [lire en ligne], p. 172 , th. 4.9.11.

Une fonction $f:I\to \mathbb {R}$ (où $I$ est un intervalle réel) est dite quasi convexe si pour tous $a<c<b$ dans $I$, $f\left(c\right)\leq \max \left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)$.

1. Vérifier que toute fonction convexe est quasi convexe.
2. Vérifier que s'il existe dans $I$ deux intervalles complémentaires $I_{1}<I_{2}$ (l'un des deux pouvant être vide) tels que $f$ soit décroissante sur $I_{1}$ et croissante sur $I_{2}$, alors $f$ est quasi convexe.
3. On veut montrer la réciproque. On suppose donc que $f$ est quasi convexe. On pose $I_{1}:=\{x\in I\mid \exists y\in I\ y>x{\text{ et }}f\left(y\right)<f\left(x\right)\}$ et $I_{2}:=I\setminus I_{1}$.
   1. Vérifier que $f$ est croissante sur $I_{2}$.
   2. Montrer que pour tout $x\in I_{1}$ et tout $z<x$ dans $I$, on a $f\left(z\right)\geq f\left(x\right)$ et $z\in I_{1}$.
   3. Conclure.
4. Donner un exemple de fonction quasi convexe et non convexe.
5. On suppose maintenant que $f$ est convexe. En reprenant les notations de la question 3.2, montrer que sur $I_{1}$, $f$ est strictement décroissante. Par changement de variable $t\mapsto -t$, en déduire qu'il existe dans $I_{2}$ deux intervalles complémentaires $I_{21}<I_{22}$ (l'un des deux pouvant être vide) tels que $f$ soit constante sur $I_{21}$ et strictement croissante sur $I_{22}$.

Solution

1. Si $f$ est convexe et si $a<b$ dans $I$ et $c\in \left]a,b\right[$, alors $c=ta+\left(1-t\right)b$ pour $t:={\frac {b-c}{b-a}}\in \left]0,1\right[$, et $f\left(c\right)\leq tf\left(a\right)+\left(1-t\right)f\left(b\right)\leq \max \left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)$.
2. Soient $a<c<b$ dans $I$. Si $c\in I_{1}$ alors $a\in I_{1}$ et $f\left(c\right)\leq f\left(a\right)$. Si $c\in I_{2}$ alors $b\in I_{2}$ et $f\left(c\right)\leq f\left(b\right)$.
3. 1. Par définition, pour tout $x\in I_{2}$ et tout $y>x$ dans $I$, $f\left(y\right)\geq f\left(x\right)$.
   2. Soit $x\in I_{1}$. Il existe donc $y>x$ dans $I$ tel que $f\left(y\right)<f\left(x\right)$. Pour tout $z\in I$ tel que $z<x$, on a alors $z<x<y$ donc $f\left(x\right)\leq \max \left(f\left(z\right),f\left(y\right)\right)$, si bien que $f\left(z\right)\geq f\left(x\right)>f\left(y\right)$.
   3. D'après la question précédente, $f$ est décroissante sur $I_{1}$, $I_{1}$ est un intervalle et $I_{1}<I_{2}$ (donc $I_{2}$ est aussi un intervalle).
4. N'importe quelle fonction monotone et non convexe, comme la fonction racine carrée sur $\mathbb {R} _{+}$ (qui est même strictement concave) ou la fonction partie entière sur $\mathbb {R}$ (qui est même discontinue).
5. Soient $z<x$ dans $I_{1}$. En affinant le raisonnement de la question 3.2, on a à présent (avec les mêmes notations) : $x=tz+\left(1-t\right)y$ avec $t\in \left]0,1\right[$, et $f\left(x\right)\leq tf\left(y\right)+\left(1-t\right)f\left(z\right)<f\left(z\right)$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $I_{1}$.
   En appliquant ce résultat à la fonction convexe $-I_{2}\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto f\left(-t\right)$, il existe donc dans $I_{2}$ deux intervalles complémentaires $I_{21}<I_{22}$ tels que $f$ soit décroissante sur $I_{21}$ et strictement croissante sur $I_{22}$. Sur $I_{21}$, $f$ est à la fois croissante et décroissante, donc constante.