Trigonométrie hyperbolique/Exercices/Exercices

Exercice 1-1

Résoudre le système :

$(S)~:~{\begin{cases}\cosh x+\cosh y={\frac {35}{12}}\\\sinh x+\sinh y={\frac {25}{12}}.\end{cases}}$

Solution

Posons $X=\mathrm {e} ^{x}$ et $Y=\mathrm {e} ^{y}$. Par somme et différence des deux équations, on obtient :

${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{y}=5\\\mathrm {e} ^{-x}+\mathrm {e} ^{-y}={\frac {5}{6}}\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}X+Y=5\\{\frac {1}{X}}+{\frac {1}{Y}}={\frac {5}{6}}\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}X+Y=5\\{\frac {X+Y}{XY}}={\frac {5}{6}}\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}X+Y=5\\XY=6\end{cases}}\\&\Leftrightarrow \{X,Y\}=\{2,3\}\\&\Leftrightarrow \{x,y\}=\{\ln 2,\ln 3\}.\end{aligned}}$

 

Exercice 1-2

Résoudre les équations :

1. $\operatorname {arsinh} x=\operatorname {argcoth} x$ ;
2. $\operatorname {arcosh} x=\operatorname {argcoth} x$.

Solution

1. Soit $y=\operatorname {arsinh} x$.
   $y=\operatorname {argcoth} x\Leftrightarrow \coth y=x\Leftrightarrow {\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{x}}=x\Leftrightarrow 1+x^{2}=x^{4}$.
   En posant $X=x^{2}$, on obtient l'équation $X^{2}-X-1=0$, dont la solution positive est $X={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.
   Finalement, les solutions sont : $x_{1}={\sqrt {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ et $x_{2}=-x_{1}$.
2. Soit $y=\operatorname {arcosh} x$ (qui n'existe que si $x\geq 1$, et qui est alors positif ou nul).
   $y=\operatorname {argcoth} x\Leftrightarrow \coth y=x\Leftrightarrow {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=x\Leftrightarrow x^{2}-1=1\Leftrightarrow x={\sqrt {2}}$.

 

Exercice 1-2

1. Exprimer les fonctions suivantes à l'aide de la fonction $\tanh$ :
   • $f(x)={\frac {\operatorname {e} ^{x}-1}{1+\operatorname {e} ^{x}}}$ ;
   • $g(x)={\frac {\operatorname {e} ^{x}}{1+\operatorname {e} ^{x}}}-{\frac {1}{2}}$.
2. Résoudre :
   • $f(x)={\frac {1}{2}}$ ;
   • $g(x)={\frac {1}{4}}$.

Solution

1. $f(x)=\tanh {\frac {x}{2}}$ et $g={\frac {1}{2}}f$.
2. $g(x)={\frac {1}{4}}\Leftrightarrow f(x)={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow {\frac {x}{2}}=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\ln {\frac {1+{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}\Leftrightarrow x=\ln 3$.