Trigonométrie hyperbolique/Exercices/Exercices
Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]
Résoudre le système :
Posons et . Par somme et différence des deux équations, on obtient :
Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]
Résoudre les équations :
- ;
- ;
- .
- Soit .
.
En posant , on obtient l'équation , dont la solution positive est .
Finalement, les solutions sont : et . - Soit (qui n'existe que si , et qui est alors positif ou nul).
. - donc , et .
Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]
- Exprimer les fonctions suivantes à l'aide de la fonction :
- ;
- .
- Résoudre :
- ;
- .
- et .
- .
Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]
Soit .
- Montrer que est bijective.
- Établir les égalités :
- .
- Montrer :
- .
- Par composition, est continue strictement croissante, impaire, et .
- Pour tout :
- ;
- .
- .
Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]
Trouver des relations simples entre les :
- ,
- ,
- ,
- .
, .
,
donc ,
donc ,
donc .
Vérification : posons :
,
donc .
donc .
, or .
- Si , donc donc .
- Si , donc donc .
Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]
Linéariser et donner .
.
et .
Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]
- Montrer que pour tous tels que , .
- En déduire : .
- En déduire une expression simple de .
- (se démontre par exemple à partir de ).
- Appliquer ce qui précède pour .
- .
Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]
Simplifier (utiliser ).
donc donc .
Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]
Étudier . En déduire le prolongement par continuité en de la fonction et montrer qu'on obtient une bijection de sur un intervalle à préciser.
donc .
Pour , avec .
et est du signe de , donc pour tout , , donc .
Quand , donc donc .
donc . (Le prolongement de) est donc une bijection de sur .
Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]
Montrer, directement puis à l'aide des dérivées :
- ().
Soient et :
- et donc ;
- et donc .
Par la seconde méthode : Pour ,
- ,
et en les deux fonctions sont continues et s'annulent.
Lien externe[modifier | modifier le wikicode]
« 126.02 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses » (sélectionner d'abord L1 Analyse, puis 122 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses)