Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 4

Exercice 7-1

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{\cos 3x}{1+\cos 2x}$.

Solution

$f$ est paire et $f(x+\pi )=-f(x)$ donc il suffit de l'étudier sur $[0,\frac{\pi }{2}[$.

Sur cet intervalle, $\cos$ est positive et décroissante donc $f=2\cos -\frac{3}{2\cos }$ est décroissante.

$f(0)=\frac{1}{2}$ et $\underset{{\frac{\pi }{2}}^{-}}{lim}f=-\mathrm{\infty }$.

Tracé sur Google

 

Exercice 7-2

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=6\sin x-3\cos 2x+2\sin 3x$.

Solution

$f$ est $2\pi$-périodique et $f(\pi -x)=f(x)$ donc il suffit de l'étudier sur $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

$f(x)=g(\sin x)$ avec $g(s)=6s-3(1-2s^2)+2(3s-4s^3)=-8s^3+6s^2+12s-3$.

$g^{\prime }(s)=-12(s-1)(s+\frac{1}{2})$ et sur l'intervalle d'étude, ${\sin }^{\prime }=\cos$ est positive, donc $f^{\prime }$ est du signe de $\sin x+\frac{1}{2}$. $f$ est donc décroissante sur $[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{6}]$ et croissante sur $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$.

$f(-\frac{\pi }{2})=g(-1)=-1$, $f(-\frac{\pi }{6})=g(-\frac{1}{2})=-\mathrm{6,5}$ et $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=g(1)=7$.

Tracé sur Google

 

Exercice 7-3

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$.

Solution

Les variations et la courbe de $f(x)=-\tan (x+\frac{\pi }{4})$ se déduisent de celles de $\tan$. Tracé sur Google

 

Exercice 7-4

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{1}{1+\cos 2x}-\tan x$.

Solution

$f(x)=g(\tan x)$ avec $g(t)=\frac{(t-1{)}^2}{2}$ donc il suffit d'étudier $f$ sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$.

$g^{\prime }(t)=t-1$ donc $f$ est décroissante sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}]$ et croissante sur $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}[$.

$\underset{-{\frac{\pi }{2}}^{+}}{lim}f=\underset{{\frac{\pi }{2}}^{-}}{lim}f=+\mathrm{\infty }$ et $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=g(1)=0$.

Tracé sur Google

 

Exercice 7-5

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\ln \cos x$.

Solution

$f$ est définie sur $]-\pi /2,\pi /2[+2\pi \mathbb{Z}$ et elle est $2\pi$-périodique et paire, donc il suffit de l'étudier sur $[0,\pi /2[$. Sur cet intervalle, $\cos$ est décroissante donc $f$ aussi (par croissance de $\ln$). $f(0)=0$ et $\underset{(\pi /2{)}^{-}}{lim}f=-\mathrm{\infty }$.

Tracé sur Google