Leçons de niveau 13

Arithmétique/Exercices/Multiples et diviseurs

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Multiples et diviseurs
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Exercices no2
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Divisibilité et congruences dans Z

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Division euclidienne
Exo suiv. :Diviseurs communs
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Arithmétique/Exercices/Multiples et diviseurs
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

a est un entier relatif. Démontrer que a(a2 – 1) est un multiple de 6.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Trouver tous les couples d'entiers relatifs x et y dont la somme est un multiple du produit.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Trouver tous les entiers naturels x, y, z tels que :

.

Aide : Supposer que z est le plus grand. Prouver alors que xy ⩽ 12.

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

n est un entier, montrer que n(n6 – 1) est divisible par 7.

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

n est un entier, montrer que 32n – 2n est divisible par 7.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien, c'est-à-dire un triplet d'entiers vérifiant la relation de Pythagore a2 + b2 = c2. Montrer que :

  1. a ou b est divisible par 3 ;
  2. a, b ou c est divisible par 5 ;
  3. a ou b est divisible par 4.

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers relatifs. Démontrer que si a2 + b2 est divisible par 7, alors a est divisible par 7 et b est divisible par 7.

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que pour tout entier naturel impair n, la somme de n nombres consécutifs est un multiple de n.