Corps (mathématiques)/Exercices/Exemple de corps

Exercice 1

Soit $d$ un rationnel positif dont la racine carrée est irrationnelle. On note $E=\{a+b{\sqrt {d}}\mid (a,b)\in \mathbb {Q} ^{2}\}\subset \mathbb {R}$.

1. Vérifier que $E$ contient $\mathbb {Q}$.
2. Montrer que $+$ est une loi de composition interne sur $E$.
3. Montrer que $\times$ est une loi de composition interne sur $E$.
4. Montrer que pour tout $x\in E\setminus \{0\}$, son inverse $x^{-1}$ appartient à $E$.
5. En déduire que $(E,+,\times )$ est un corps.

Solution

1. $E$ contient tous les nombres de la forme $a+0{\sqrt {d}}$ avec $a\in \mathbb {Q}$.
2. Soit $x=a+b{\sqrt {d}}$ et $y=a'+b'{\sqrt {d}}$ deux éléments de $E$. On a $x+y=(a+a')+(b+b'){\sqrt {d}}\in E$. Il s'agit donc bien d'une loi de composition interne.
3. Soit $x=a+b{\sqrt {d}}$ et $y=a'+b'{\sqrt {d}}$ deux éléments de $E$. On a $x\times y=(aa'+dbb')+(ab'+a'b){\sqrt {d}}\in E$. Il s'agit donc bien d'une loi de composition interne.
4. Soit $x=a+b{\sqrt {d}}$ un élément non nul de $E$. On a $x^{-1}={\frac {1}{a+b{\sqrt {d}}}}={\dfrac {a-b{\sqrt {d}}}{a^{2}-db^{2}}}$. On a multiplié le numérateur et le dénominateur par $a-b{\sqrt {d}}$ qui est non nul car $a$ et $b$ sont rationnels mais pas ${\sqrt {d}}$.
5. D'après les trois questions précédentes, $\left(E,+\right)$ est un sous-groupe de $\left(\mathbb {R} ^{,}+\right)$ et $\left(E\setminus \{0\},\times \right)$ est un sous-groupe de $\left(\mathbb {R} ^{*},\times \right)$.

 

Exercice 2

Cet exercice généralise le précédent.

Soit $(K,+,\times )$ un corps commutatif. Pour $\lambda \in K$, on définit sur $K^{2}$ deux lois de composition internes $\oplus$ et $\otimes$ par :

$\forall (x,y,u,v)\in K^{4}\quad {\begin{cases}(x,y)\oplus (u,v)=(x+u,y+v)\\(x,y)\otimes (u,v)=(xu+\lambda yv,xv+yu).\end{cases}}$

1. Montrer que $(K^{2},\oplus ,\otimes )$ est un anneau commutatif.
2. Montrer que cet anneau est un corps si et seulement si $\lambda$ n'est pas un carré dans $K$.

Solution

1. Dans l'anneau (commutatif) de polynômes $K[X]$, on a : $(x+yX)(u+vX)=xu+(xv+yu)X+yvX^{2}\equiv (xu+\lambda yv)+(xv+yu)X{\bmod {X^{2}-\lambda }}$. D'après le théorème de factorisation, $(K^{2},\oplus ,\otimes )$ est donc canoniquement isomorphe à l'anneau quotient de $K[X]$ par l'idéal engendré par $X^{2}-\lambda$. Par transport de structure, c'est donc un anneau commutatif.
2. C'est un corps si et seulement si $X^{2}-\lambda$ est irréductible, c'est-à-dire si $\lambda$ n'est pas un carré dans $K$.