Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente

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Étude d'une suite récurrente
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Exercices no4
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Plan d'étude, représentation

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Récurrence linéaire d'ordre 2
Exo suiv. :Ensemble de Mandelbrot
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Étudier, en fonction du paramètre réel , la suite définie par :

En déduire, en fonction du paramètre réel , le comportement de la suite définie par :

On pose .

  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , .
  2. En déduire la limite de la suite .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer la limite de la suite définie par : et .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

1. Soient et . Étudier la suite définie par : et .

2. Soient  ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant  ?

3. Et pour une suite vérifiant  ?

3. Soient et . Étudier la suite définie par : et .

Indication : on pourra montrer que .

4. Soient et  ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant  ?

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et un entier naturel impair. On suppose et l'on définit la suite par :

et .
  1. Montrer que la fonction est monotone.
  2. Étudier les variations de la fonction , puis son signe. En déduire que a un unique point fixe , et préciser le signe de selon la position de par rapport à .
  3. Déduire de la question 1 que est du même côté de que .
  4. En déduire le comportement de la suite , selon la position de par rapport à .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient . On se propose d'étudier la suite définie par : et . Le cas étant immédiat et le cas se ramenant facilement au cas (en remplaçant par leurs opposés), on se limitera au cas .

Étudier la suite en distinguant trois cas : , et .

Indication : poser et étudier les variations puis le signe de .

Soient  ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant :  ?

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

1. Soient et . Étudier la suite définie par : et .

Indication : on pourra s'inspirer de la question 3 de l'exercice 3 ci-dessus.

2. Soient et  ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant : et  ?

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Étudier la suite des sinus itérés de , définie par .
  2. Montrer que la suite converge et donner sa limite.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Considérons la suite définie par récurrence par et .

  1. Préciser les variations de sur et en déduire que .
  2. Montrer que .
  3. Établir que n'a dans qu'un point fixe, qui sera noté .
  4. Montrer que pour tout , .
  5. En déduire que . Conclure.

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Considérons la fonction définie par

.

et la suite définie par récurrence par

et ,

pour un fixé arbitrairement.

  1. Démontrer que a un seul point fixe et le déterminer.
  2. Démontrer que l'image de est .
  3. Montrer que sur cet intervalle, .
  4. Qu'en déduit-on sur la suite  ?
  5. Démontrer que pour tout , .
  6. En déduire que pour tout , .

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel . Étudier, en fonction de , la suite définie par :

et .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Soit la suite définie par et ().

  1. Démontrer que () et .
  2. Quelle est la limite de cette suite ?

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction dérivable. Fixons un réel tel que et considérons la suite définie par , .

  1. On suppose que pour tout . Montrer que si et si .
    Indication : prouver d'abord les inégalités si et si .
  2. On suppose maintenant que pour tout , et . Montrer que la suite converge.

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Étudier la suite définie par et .
  2. Quelles sont les suites dont l'étude se ramène à celle de par homothétie-translation ?

Lien externe[modifier | modifier le wikicode]

« Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - suites récurrentes », sur bibmath.net