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Exercice : Étude d'une suite récurrente
Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Étudier, en fonction du paramètre réel
, la suite
définie par :

Solution
avec
du même signe que
donc la suite est de signe constant (le signe de
).
et
donc :
- si
, la suite est constamment nulle ;
- si
, la suite est croissante ; donc, ou bien elle tend vers
, ou bien elle converge, et dans ce second cas (comme
est continue) sa limite est nécessairement
(l'unique point fixe de
). Plus précisément :
- si
, puisque la suite est majorée (par
), elle converge,
- si
, puisque la suite est
, elle ne peut que tendre vers
.
En déduire, en fonction du paramètre réel
, le comportement de la suite
définie par :

On pose
.
- Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
,
.
- En déduire la limite de la suite
.
Soit
. Calculer la limite de la suite
définie par :
et
.
1. Soient
et
. Étudier la suite
définie par :
et
.
2. Soient
; qu'en déduit-on pour une suite
vérifiant
?
3. Et pour une suite
vérifiant
?
Solution
1. Soit
. Son seul point fixe (nécessairement positif) est
.
est continue et ne s'annule qu'en
, et elle est positive en
et négative en
. Elle est donc positive pour
et négative pour
.
Puisque
est strictement croissante et que
, les deux intervalles
et
sont stables par
.
La suite est par conséquent :
- constante si
;
- strictement croissante et majorée (par
) si
;
- strictement décroissante et minorée (par
) si
.
Elle est donc convergente dans tous les cas.
La fonction
étant continue, la limite de
ne peut être qu'un point fixe de
. Par conséquent,
.
2. Si
(ce qui suppose implicitement que
) alors, en posant
et
,
on a
et
.
On déduit donc de ce qui précède que
.
3. On se ramène à la question précédente en posant
.
3. Soient
et
. Étudier la suite
définie par :
et
.
Indication : on pourra montrer que
.
4. Soient
et
; qu'en déduit-on pour une suite
vérifiant
?
Solution
3. Considérons la fonction
.
Soient
et
. Alors, pour
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=b-y^{2}+y\\&=(1-t^{2})b+t{\sqrt {b}}\\&\geq {\sqrt {b}}\left(1-t^{2}+t\right)\\&={\sqrt {b}}\left[1+t(1-t)\right]\\&\geq {\sqrt {b}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cab9a717944f771e3c4ed5160a2ad5970e4c800)
En appliquant cela, pour
, à
et
, on en déduit :
,
ce qui, puisque
, prouve que la suite
converge.
La fonction
étant continue, la limite
de
ne peut être qu'un point fixe de
(appartenant donc à
). Par conséquent,
.
4. Si
(ce qui suppose implicitement que
, en particulier
et
, donc
) alors, en posant
et
,
on a
,
et
.
On déduit donc de ce qui précède que
.
Soient
et
un entier naturel impair. On suppose
et l'on définit la suite
par :
et
.
- Montrer que la fonction
est monotone.
- Étudier les variations de la fonction
, puis son signe. En déduire que
a un unique point fixe
, et préciser le signe de
selon la position de
par rapport à
.
- Déduire de la question 1 que
est du même côté de
que
.
- En déduire le comportement de la suite
, selon la position de
par rapport à
.
Solution
- Par translation de la variable,
est strictement croissante sur
, de même que la fonction racine p-ième.
s'annule en
et en
, d'où le tableau :

donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires,
(qui est bien continue) s'annule exactement une fois, en un point
.
Par croissance (stricte) de
,
est du même signe que
:

- Si
alors
et si
alors
.
- Si
, la suite est constante. Si
alors, d'après la question précédente, la suite est majorée par
donc d'après la question 2, la suite est croissante (strictement). Par conséquent, elle converge. Par continuité de
, la limite de la suite est un point fixe de
. Donc
. De même, si
, la suite est minorée et décroissante et converge vers
.
Soient
. On se propose d'étudier la suite
définie par :
et
. Le cas
étant immédiat et le cas
se ramenant facilement au cas
(en remplaçant
par leurs opposés), on se limitera au cas
.
Étudier la suite
en distinguant trois cas :
,
et
.
Indication : poser
et étudier les variations puis le signe de
.
Cas 
C'est le cas particulier
de l'exercice précédent.
Cas 
Le seul changement par rapport au cas précédent est qu'à présent,
donc
a trois points fixes
, tels que
(et
puisque
).
Les quatre intervalles délimités par ces trois valeurs étant, comme précédemment, stables par
, on en déduit :
- si
,
est strictement croissante et tend vers
;
- si
,
est strictement décroissante et tend vers
;
- si
,
est strictement croissante et tend vers
;
- si
,
est strictement décroissante et tend vers
.
(Si
est égal à l'un des trois points fixes,
est évidemment constante.)
Cas 
Soient
; qu'en déduit-on pour une suite
vérifiant :
?
1. Soient
et
. Étudier la suite
définie par :
et
.
Indication : on pourra s'inspirer de la question 3 de l'exercice 3 ci-dessus.
2. Soient
et
; qu'en déduit-on pour une suite
vérifiant :
et
?
Solution
1. Considérons la fonction
.
Soient
et
. Alors, pour
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+xy+y^{2}&=(b-y^{3})^{2}+(b-y^{3})y+y^{2}\\&=b^{2}(1-t^{3})^{2}+b^{4/3}(1-t^{3})t+b^{2/3}t^{2}\\&\geq b^{2/3}\left[(1-t^{3})^{2}+(1-t^{3})t+t^{2}\right]\\&=b^{2/3}\left[1+t+t^{2}-2t^{3}-t^{4}+t^{6}\right]\\&=b^{2/3}\left[1+t(1-t)+t^{2}(1-t)^{2}+t^{2}(1-t^{2})^{2}\right]\\&\geq b^{2/3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd167b318e12e42bc07d72adb3e73ba09115d3ff)
En appliquant cela, pour
, à
et
, on en déduit :
,
ce qui, puisque
, prouve que la suite
converge.
La fonction
étant continue, la limite
de
ne peut être que le point fixe de
, c'est-à-dire la racine réelle de l'équation du troisième degré
.
2. En posant
et
, on obtient :
,
et
.
On déduit donc de ce qui précède que
, la racine réelle de
.
Soit
.
- Étudier la suite des sinus itérés de
, définie par
.
- Montrer que la suite
converge et donner sa limite.
Solution
- L'intervalle
est stable par la fonction sinus, donc
. De plus, on a
sur cet intervalle, donc
est strictement décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge vers un réel
. Par continuité de
, on a
donc
.
donc
.
Pour aller plus loin, voir Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Exercice 4-3.
Soient
et
. Considérons la suite définie par récurrence par
et
.
- Préciser les variations de
sur
et en déduire que
.
- Montrer que
.
- Établir que
n'a dans
qu'un point fixe, qui sera noté
.
- Montrer que pour tout
,
.
- En déduire que
. Conclure.
Considérons la fonction
définie par
.
et la suite
définie par récurrence par
et
,
pour un
fixé arbitrairement.
- Démontrer que
a un seul point fixe
et le déterminer.
- Démontrer que l'image de
est
.
- Montrer que sur cet intervalle,
.
- Qu'en déduit-on sur la suite
?
- Démontrer que pour tout
,
.
- En déduire que pour tout
,
.
Soit un réel
. Étudier, en fonction de
, la suite
définie par :
et
.
Solution
L'application
est bien définie sur l'intervalle
et
donc la suite est bien définie.
En tout point
, la dérivée de la fonction
est
donc quand
croît de
à
,
décroît (continûment) de
à
, en passant la valeur
en un certain
.
Comme
est croissante, elle laisse stables les deux sous-intervalles
et
.
Par conséquent :
- si
, la suite est
et croissante (puisque
sur
) donc convergente, et la limite ne peut être que
(l'unique point fixe de
) ;
- de même, si
, la suite est
et décroissante et converge vers
;
- si
, la suite est constante
Soit la suite
définie par
et
(
).
- Démontrer que (
)
et
.
- Quelle est la limite de cette suite ?
Soit
une fonction dérivable. Fixons un réel
tel que
et considérons la suite
définie par
,
.
- On suppose que
pour tout
. Montrer que
si
et
si
.
Indication : prouver d'abord les inégalités
si
et
si
.
- On suppose maintenant que pour tout
,
et
. Montrer que la suite
converge.
Soient
et
.
- Étudier la suite
définie par
et
.
- Quelles sont les suites
dont l'étude se ramène à celle de
par homothétie-translation ?
Solution
- Soit
. Alors,
s'annule pour
ou
et
est croissante sur
, donc
est stable par
, si bien que
et
est du signe de
. Ainsi, si
la suite
est décroissante et converge vers
, tandis que si
la suite
est croissante et converge vers
(si
la suite est constant).
- Les suites
telles que
(avec
sans perte de généralité) sont les suites telles que
et
, c'est-à-dire :
,
et
.
Leur comportement (monotonie, convergence) se déduit immédiatement de celui de
.
Soient
et
la suite définie par
et
. Étudier, en fonction de
, l'existence et la valeur de
.
Solution
Soit
.
a pour solutions
donc si
, la suite est constante.
Si
,
et comme
est croissante sur
, la suite est monotone.
donc la suite est décroissante si
(et
donc convergente, nécessairement vers
puisque
), et croissante si
.
Montrons que si
,
. Posons
:
. Si
,
et
, donc
.
est
si et seulement si
donc le cas
se ramène au cas
par décalage.
si et seulement si
et
donc le cas
se ramène de même au cas
, et les « cas limites »
,
se ramènent respectivement aux cas
.
Reste à étudier le cas
. Comme
,
, donc si
, la suite est croissante
donc converge vers
. Le dernier sous-cas
se ramène au précédent, puisqu'alors
.
« Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - suites récurrentes », sur bibmath.net