Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées

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Courbes paramétrées
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Exercices no7
Leçon : Calcul différentiel

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Examen
Exo suiv. :Courbes et surfaces dans ℝ3
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Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel .

  1. Étudier et tracer la courbe paramétrée .
  2. Pour , on note et les points d'intersection de la tangente à cette courbe au point avec, respectivement, et . Calculer la distance .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel .

  1. Un cercle , de rayon , roule sans glisser sur l'axe . On note le point de contact entre et et le centre du cercle ( et sont donc mobiles). est un point donné de (mobile, mais solidaire de ). Déterminer un paramétrage par de la courbe décrite par le point .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Étudier et tracer la courbe paramétrée .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Construire les courbes paramétrées :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8. .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel .

  1. Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon et centrés sur .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Rayon de courbure ».
Wikipédia possède un article à propos de « Développante ».
  1. Déterminer le rayon de courbure en tout point de :
    1. l'astroïde  ;
    2. la cycloïde  ;
    3. la lemniscate .
  2. Déterminer la développante de la cycloïde qui passe par le milieu d'une arche.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Trouver les droites à la fois tangentes et normales à la courbe paramétrée .

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

L'orthoptique d'une courbe est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à , orthogonales. Soient . Déterminer l'orthoptique de :

  1. l'astroïde  ;
  2. la courbe  ;
  3. l'ellipse d'équation .

Orthoptique sur mathcurve.com

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit le cercle de centre et de rayon .

  1. Donner un paramétrage de la développante de passant par le point .
  2. Soit la translatée de par le vecteur . Justifier que :
    • et sont tangentes ;
    • le point de tangence appartient à l'axe vertical d'équation .
    • la tangente est horizontale.
  3. Soit la courbe symétrique de par rapport à . Justifier que et sont tangentes.
  4. Quel est l'intérêt mécanique de cette propriété ?

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel . On note :

  • l'intersection de et de la tangente en  ;
  • le projeté orthogonal de sur .
  1. Trouver les courbes telles que  ;
  2. Trouver les courbes telles que .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Tracer la courbe d'équation polaire .

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Spirale logarithmique ».

Soit une spirale logarithmique, c'est-à-dire une courbe d'équation polaire ().

  1. Soit . Que dire de l'angle entre et la tangente à en  ? Montrer que cette propriété caractérise les spirales logarithmiques.
  2. Calculer l'abscisse curviligne le long de .
  3. En déduire qu'on peut former un engrenage avec deux spirales logarithmiques isométriques.
  4. Si l'on fait rouler une spirale logarithmique sur une droite, quelle est la trajectoire du centre ?