Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées
Exercice 1
[modifier | modifier le wikicode]Soit un réel .
- Étudier et tracer la courbe paramétrée .
- Pour , on note et les points d'intersection de la tangente à cette courbe au point avec, respectivement, et . Calculer la distance .
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 1.
-
- On peut se limiter à par périodicité, puis se restreindre à car est le symétrique de par rapport à , puis à car est le symétrique de par rapport à , puis à car est le symétrique de par rapport à la droite .
- s'annule en et vaut en .
- et . Quand croît de à , décroît et croît.
- Au voisinage de , donc il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce à tangente horizontale.
- donc la tangente au point a pour équation : , soit . Par conséquent, et donc .
Exercice 2
[modifier | modifier le wikicode]Soit un réel .
- Un cercle , de rayon , roule sans glisser sur l'axe . On note le point de contact entre et et le centre du cercle ( et sont donc mobiles). est un point donné de (mobile, mais solidaire de ). Déterminer un paramétrage par de la courbe décrite par le point .
- Étudier et tracer la courbe paramétrée .
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 2.
- Quand augmente de , l'abscisse de et augmente de . Donc avec , c'est-à-dire
- .
-
- On peut se limiter à étudier la courbe pour car est le translaté de par , puis se restreindre à car est le symétrique de par rapport à .
- s'annule en et vaut (donc tangente horizontale) en .
- et . Quand croît de à , et croissent.
- Au voisinage de , donc il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce à tangente verticale.
Exercice 3
[modifier | modifier le wikicode]1. On considère
- .
Dans les deux cas suivants, établir le double tableau de variations et tracer la courbe associée :
- .
2. Étudier et tracer la courbe paramétrée
- .
En donner une équation cartésienne.
1. a) est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe . On peut donc restreindre à . Puis, est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe . On peut donc même restreindre à .
Sur cet intervalle, , d'où le tableau de variations suivant :
La tangente en a pour pente , et la tangente en est verticale (car ).
Courbe sous google.com (c'est à peu de chose près la lemniscate de Gerono).
1. b) http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 3.
2. http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 4.
donc , soit encore : .
Exercice 4
[modifier | modifier le wikicode]Construire les courbes paramétrées :
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Pour les questions 1 à 8, voir aussi http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 2.
- On étudie pour . Calculons les dérivées logarithmiques pour :
et
donc
et .
Par continuité, ces égalités sont encore vraies pour .
On en déduit le tableau de variations suivant :
Quand , donc au point limite , la tangente est horizontale.
Quand , donc la courbe a deux branches paraboliques de direction horizontale.
Quand , et donc la courbe a une asymptote d'équation .
Quand , et donc le point singulier est un point de rebroussement de première espèce à tangente verticale.
Il y a nécessairement un point d'inflexion sur la branche parabolique qui part du point limite. Calculons-le. La courbure s'annule lorsque les dérivées logarithmiques de et sont égales, c'est-à-dire soit, après simplification : donc . - . En calculant les limites aux bornes, on aboutit au tableau suivant :
Quand , donc asymptote d'équation .
Quand , et donc branche parabolique de direction .
Au point limite , la tangente a pour pente . - est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à la droite . On peut donc restreindre à .
Sur cet intervalle, ; ; , d'où le tableau de variations suivant :
Quand , et , d'où une branche parabolique de direction .
Quand , et , d'où une branche parabolique de direction . - est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à la droite . On peut donc restreindre à .
Sur cet intervalle, , d'où le tableau de variations suivant : - On étudie pour .
.
Il n'y a donc pas de point singulier, et au point , la tangente est horizontale.
La courbe coupe l'axe des abscisses en , avec une tangente de pente , et l'axe des ordonnées en , avec une tangente de pente .
donne un point limite à tangente de pente .
donne une asymptote horizontale.
La position de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe de , donc la courbe est au-dessus si et en dessous sinon.
donne deux branches paraboliques de direction verticale car .
La courbe s'auto-intersecte au point (). - , d'où le tableau suivant :
Quand , donc asymptote .
Quand , donc asymptote .
est un point d'inflexion à tangente verticale.
On peut préciser la position de la courbe par rapport à ses asymptotes, soit par développement limité, soit par factorisation de polynômes :- Si :
- d.l. en posant avec : et ;
- factorisation : .
- Si :
- d.l. en posant avec : et ;
- factorisation : .
- Si :
- d.l. en posant avec : ;
- factorisation : .
- Si :
- On étudie pour .
donc le point est singulier (rebroussement de première espèce à tangente verticale car ), et deux autres points remarquables sont (tangente verticale), (tangente horizontale).
donne deux branches paraboliques de direction horizontale.
Quand , donne une asymptote .
La position de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe de , donc la courbe est en dessous si et au-dessus sinon (en particulier : au-dessus pour les deux points remarquables correspondant à et ). - .
Deux branches paraboliques de direction verticale quand .
Point singulier avec rebroussement de deuxième espèce pour , avec tangente .
La courbe repasse par ce point pour , avec tangente . - La courbe est définie pour non nul et .
, et est du signe de . En calculant les limites aux bornes, on aboutit au tableau suivant, avec :
La courbe a donc pour asymptotes l'axe des abscisses (quand , et ) et la verticale (quand , et ). La quatrième branche infinie est aussi asymtotique : quand , donc l'asymptote a pour équation et la courbe est au-dessus. - .
- Point singulier pour : .
. Donc rebroussement de première espèce, vecteur tangent . - Branches infinies quand : . Courbe en-dessous de l'asymptote quand et au-dessus quand .
- Branches infinies quand : donc branches paraboliques de direction verticale. Plus précisément, donc parabole asymptote , et courbe au-dessus quand et en dessous en .
- Point singulier pour : .
Exercice 5
[modifier | modifier le wikicode]Soit un réel .
- Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon et centrés sur .
- Étudier et tracer la courbe paramétrée .
- Cherchons les solutions sous la forme . Au point , la courbe est orthogonale au cercle (de centre et de rayon ) si et seulement si le vecteur dérivé est colinéaire au rayon , c'est-à-dire si . Or une primitive de est (cf. Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile#Exercice 2-10). Les courbes solutions sont donc :
- .
- On peut restreindre l'intervalle d'étude à par périodicité, puis à par symétrie par rapport à (via ), puis à par symétrie par rapport à (via ). , donc est asymptote. Sur , et , donc et sont croissantes et le vecteur s'annule pour donc le point est singulier. Pour étudier la courbe quand , posons avec . Ainsi, et donc est un point de rebroussement de première espèce, à demi-tangente verticale, dirigée vers le bas.
Voir aussi http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 5, ainsi que l'exercice 10 ci-dessous.
Exercice 6
[modifier | modifier le wikicode]En un point d'une courbe paramétrée, le rayon de courbure est donné par
et le centre de courbure est le point qui est à distance de ,
tel que la droite est normale à la tangente , et placé dans l'intérieur de la courbe.
La développée est l'ensemble des centres de courbure.
- Déterminer le rayon de courbure en tout point de :
- l'astroïde ;
- la cycloïde ;
- la lemniscate .
- Déterminer la développante de la cycloïde qui passe par le milieu d'une arche.
- Déterminer la développée de l'ellipse d'équation , dont la paramétrisation naturelle est donnée par
- .
- .
- Astroïde :
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
- Cycloïde : ,
- ,
- ,
- .
- Lemniscate
- ,
- ,
- ,
- ,
- . Remarque : .
- Astroïde :
- Prenons, comme origine de l'abscisse curviligne , le point (sommet de la première arche) et étudions la développante pour (donc et ). Elle est paramétrée par
- avec, puisque :
- et , donc
- .
- Par translation temporelle et spatiale, on retrouve donc la même cycloïde :
- .
-
- et un vecteur unitaire normal pointant vers l'intérieur est ,
- donc a pour coordonnées :
- ,
- .
- Ceci constitue une paramétrisation de la développée de l'ellipse.
Exercice 7
[modifier | modifier le wikicode]1. Trouver les droites à la fois tangentes et normales à la courbe paramétrée .
Cherchons distincts et non nuls (on examinera à part le point singulier) tels que la tangente en soit normale en , c'est-à-dire tels que soit colinéaire à et orthogonal à .
donc la condition est :
et , ce qui équivaut (en simplifiant la première équation par ) à
et , ou encore :
et .
est la solution positive de l'équation , c'est-à-dire .
Variante : cherchons distincts et non nuls tels que la tangente en , d'équation , soit égale à la normale en , d'équation . Ces deux équations représentent la même droite si et seulement si les deux triplets de coefficients et sont proportionnels, c'est-à-dire (en simplifiant la deuxième équation par ) :
et , ou encore :
et .
est une racine positive du polynôme , donc .
Finalement, que ce soit par la première méthode ou par la variante, il y a donc deux solutions : avec , d'où , et les deux droites (symétriques par rapport à , comme la courbe) ont pour équation : .
Examinons maintenant le point singulier , (rebroussement de première espèce). La tangente et la normale ce point sont et , qui ne touchent la courbe qu'en ce point donc ne donnent pas de solution supplémentaire.
2. La normale en un point M de la parabole recoupe cette parabole en N. La parallèle en M à la tangente en N coupe en un point P la parallèle en N à la tangente en M. Déterminer le lieu de P et le tracer.
Notons respectivement , et les coordonnées de M, N et P.
N se déduit de M par :
- donc
- .
Puis P s'en déduit par :
soit
donc
- et
- .
Le lieu de P est donc la courbe d'équation
Exercice 8
[modifier | modifier le wikicode]L'orthoptique d'une courbe est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à , orthogonales. Soient . Déterminer l'orthoptique de :
- l'astroïde ;
- la courbe ;
- l'ellipse d'équation . (Indication : étant donné un point , chercher la condition sur pour que la droite passant par et de coefficient directeur soit tangente à l'ellipse.)
1°) http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 3, question 1 : .
2°) donc la tangente a pour pente .
- Cela est encore valable au point singulier car en posant , on trouve .
- Si , une tangente orthogonale aura pour pente . Calculons le point d'intersection des tangentes (orthogonales) aux points et , pour et .
- La première tangente a pour équation :
- , en posant pour simplifier les notations, donc .
- Le point d'intersection vérifie donc :
- avec comme nouveau paramètre . On a ainsi paramétré la courbe orthoptique.
3°) Une droite de pente passant par un point a pour équation donc un point de cette droite appartient à l'ellipse si et seulement si
- ,
- ce qui se réécrit
- .
- La droite est tangente à l'ellipse si cette équation en a une racine double, c'est-à-dire si son discriminant est nul.
- Donc .
- Lorsque , cette équation en a deux solutions complexes. Le point appartient alors à l'orthoptique de l'ellipse si et seulement si ces deux solutions ont pour produit (ce qui implique qu'elles sont réelles et distinctes), c'est-à-dire si , ou encore :
- .
- Lorsque , l'une des deux tangentes à l'ellipse issues de est verticale, donc l'autre lui est orthogonale si et seulement si , ce qui, à nouveau, équivaut à .
- Lorsque , cette équation en a deux solutions complexes. Le point appartient alors à l'orthoptique de l'ellipse si et seulement si ces deux solutions ont pour produit (ce qui implique qu'elles sont réelles et distinctes), c'est-à-dire si , ou encore :
- L'orthoptique de l'ellipse est donc le cercle d'équation .
« Orthoptique », sur mathcurve.com
Exercice 9
[modifier | modifier le wikicode]Soit le cercle de centre et de rayon .
- Donner un paramétrage de la développante de passant par le point .
- Soit la translatée de par le vecteur . Justifier que :
- et sont tangentes ;
- le point de tangence appartient à l'axe vertical d'équation .
- la tangente est horizontale.
- Soit la courbe symétrique de par rapport à . Justifier que et sont tangentes.
- Quel est l'intérêt mécanique de cette propriété ?
- .
- Ces trois conditions sont réunies en un point égal à un point si et seulement si :
- ;
- ;
- ,
- c'est-à-dire : et , . Le point de tangence est alors : .
- Ce point de tangence appartient à donc à , et la tangente en ce point à est la même que la tangente à , puisque cette dernière est horizontale donc égale à sa symétrique par rapport à .
- Cette propriété permet de réaliser des engrenages : voir l'article de Wikipédia.
Exercice 10
[modifier | modifier le wikicode]Soit un réel . On note :
- l'intersection de et de la tangente en ;
- le projeté orthogonal de sur .
- Trouver les courbes telles que ;
- Trouver les courbes telles que .
La tangente en a pour équation donc a pour abscisse .
1. donc ne s'annule pas, et l'on peut se restreindre aux courbes telles que (les courbes telles que seront leurs symétriques par rapport à ). Il est commode de choisir comme paramètre (donc ) car l'équation différentielle se simplifie alors en
- ,
dont la solution est : , ou encore :
- .
Il était dès le départ prévisible que l'ensemble des courbes solutions est invariant, en plus de la symétrie par rapport à déjà mentionnée, par translations horizontales et par symétries par rapport aux verticales, et il en sera de même dans la question suivante.
2. . On peut, comme dans la première question, supposer . Il est plus commode ici de choisir comme paramètre (donc, à nouveau, ) car l'équation différentielle devient ainsi
- ,
ce qui équivaut à
- .
On est dans le deuxième cas d'une intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré.
- Méthode avec la trigonométrie circulaire :
On peut poser donc ,
.
Or sur , une primitive de est (voir Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile#Exercice 2-10).
Donc et la solution est :
- ,
ou encore, en posant :
- .
On reconnaît ainsi la courbe étudiée dans l'exercice 5 (voir supra).
- Méthode avec la trigonométrie hyperbolique :
On peut poser ,
et la solution est :
.
Exercice 11
[modifier | modifier le wikicode]Tracer la courbe d'équation polaire .
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00113.pdf exercice 3, question 1.
Remarque : cette courbe est la trajectoire d'un point fixé à un cercle de diamètre qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre et de centre . En effet :
- ;
- .
Exercice 12
[modifier | modifier le wikicode]Soit une spirale logarithmique, c'est-à-dire une courbe d'équation polaire ().
- Soit . Que dire de l'angle entre et la tangente à en ? Montrer que cette propriété caractérise les spirales logarithmiques.
- Calculer l'abscisse curviligne le long de .
- En déduire qu'on peut former un engrenage avec deux spirales logarithmiques isométriques.
- Si l'on fait rouler une spirale logarithmique sur une droite, quelle est la trajectoire du centre ?
- donc l'angle est constant et non nul. Réciproquement, si avec pour un certain alors (avec ).
- donc (en convenant que l'abscisse curviligne est nulle au centre, c'est-à-dire pour si et pour si ).
- Si l'on enroule une spirale de caractéristique (autour de son centre) et qu'on déroule une spirale de même caractéristique (autour d'un autre centre) en gardant le contact en un point qui circule sur le segment qui joint leurs centres, alors les spirales restent tangentes (question 1) et sans glissement (question 2). Voir l'animation sur mathcurve.
- Faisons rouler la spirale par exemple sur l'axe , en plaçant au départ son centre en . Lorsque ce centre a pour abscisse , il a pour ordonnée sa distance au point de contact donc : le centre de la spirale se déplace sur une droite.
Exercice 13
[modifier | modifier le wikicode]On considère un point mobile de vitesse et d'accélération non colinéaires. On note , et l'abscisse curviligne ().
- Exprimer comme combinaison linéaire de et .
- En déduire que , et démontrer que .
- En déduire qu'il existe un vecteur unitaire et un réel (rayon de courbure) tels que .
- Exprimer comme combinaison linéaire de et .
- On pose (produit vectoriel). Démontrer que est une base orthonormée directe.
- .
- est donc non nul car sinon,