Fonction exponentielle/Croissances comparées

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Comparaison de e^x et x au voisinage de + ∞

La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb {R}$. On va montrer que quand $x$ tend vers $+\infty$, $\mathrm {e} ^{x}$ tend vers $+\infty$ plus vite que $x^{n}$, pour tout entier $n$.

Pour formaliser cela, on étudie la limite $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}$, qui est écrite sous la forme indéterminée : ${\frac {+\infty }{+\infty }}$.

Début d’un théorème

Croissances comparées en $+\infty$

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$.

Fin du théorème

Démonstration

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x>0$,

${\begin{aligned}{\sqrt[{n+1}]{e^{x}}}&=e^{x \over n+1}\\&\geq 1+{x \over n+1}\\&>{x \over n+1}\end{aligned}}$.

Donc $\mathrm {e} ^{x}>\left({\frac {x}{n+1}}\right)^{n+1}=C.x^{n+1}$ donc ${\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}>Cx$.

Puisque $C>0$, $\lim _{x\to +\infty }Cx=+\infty$ donc par comparaison, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$.

(Pour le cas $n=1$, une autre méthode est proposée en exercice.)

 

Comparaison de e^x et x au voisinage de - ∞

On en déduit la limite $\lim _{x\to -\infty }x^{n}\mathrm {e} ^{x}$, qui est écrite sous la forme indéterminée : $\pm \infty \times 0^{+}$.

Croissances comparées en $-\infty$

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \lim _{x\to -\infty }x^{n}\mathrm {e} ^{x}=0$.

Démonstration

Changement de variable : $y=-x$

Quand $x\to -\infty$, $y\to +\infty$ donc $\left|x^{n}\mathrm {e} ^{x}\right|={\frac {y^{n}}{\mathrm {e} ^{y}}}=1\left/{\frac {\mathrm {e} ^{y}}{y^{n}}}\right.\to 1\left/+\infty \right.=0^{+}$.

 

En résumé

Lorsque les limites en $\pm \infty$ d'un produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme donnent lieu à des formes indéterminées, on sait que l'exponentielle est prioritaire sur le polynôme. Ce sont donc ses limites respectives à prendre en compte et à appliquer dans les expressions.

Voir aussi : Fonction logarithme/Croissances comparées.