Leçons de niveau 15

Fonctions convexes/Définition et premières propriétés

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Définition et premières propriétés
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Chapitre no 1
Leçon : Fonctions convexes
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Chap. suiv. :Fonctions convexes dérivables
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Fonctions convexes/Définition et premières propriétés
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Dans tout ce chapitre, et désignent des intervalles de ℝ.


Les inégalités de la définition sont connues sous les noms d’inégalité de convexité et d’inégalité de convexité stricte.

Ces définitions s’appliquent à des fonctions qui ne sont pas forcément dérivables. Dans le cas où la fonction est dérivable ou mieux admet une dérivée seconde, nous verrons que l’on peut trouver des caractérisations plus simples des fonctions convexes et une condition suffisante de convexité stricte.



Nous allons étudier maintenant quelques propriétés des fonctions convexes.


Il n’y a pas vraiment de démonstration à faire ici. Cette propriété n’est en fait que la traduction visuelle de la définition que nous avons donnée d’une fonction convexe.

Nous allons essayer de mieux voir ceci à travers les deux lemmes suivants :

Début d'un lemme


Fin du lemme
Début d'un lemme


Fin du lemme

Grâce aux deux lemmes qui précèdent et au schéma qui suit, nous comprenons maintenant mieux que la propriété 1 n’est que la traduction de la définition d’une fonction convexe.

Left


L'inégalité des pentes a été démontrée dans le chapitre « Convexité » de la leçon sur les fonctions d’une variable réelle.









Panneau d’avertissement Une fonction convexe sur un intervalle non ouvert peut être discontinue aux extrémités de cet intervalle. Par exemple, la fonction définie par

est convexe sur mais n’est pas continue en .







Le théorème suivant est démontré dans ce paragraphe car il s’applique à des fonctions convexes qui ne sont pas forcément dérivables. Mais compte tenu de l’importance de ce théorème, nous le reprendrons dans un chapitre spécialement consacré à ses applications.

Début d’un théorème


Fin du théorème






(L'expression « faiblement convexe » est empruntée à Emil Artin, The Gamma Function, Holt, Rinehart and Winston, 1964, 39 p. [lire en ligne], p. 5 .)