Leçons de niveau 14

Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

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Exercices
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Exercices no1
Leçon : Anneau (mathématiques)

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Étude de l'anneau Z8
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Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit A un anneau tel que .

  1. Montrer que .
  2. En déduire que A est commutatif.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un anneau et tels que soit inversible. Montrer que est inversible.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.

  1. Dans l'anneau de polynômes A[X], montrer que le seul idéal principal contenant a et X est l'anneau A[X] tout entier.
  2. Montrer que si l'idéal (X, a) est égal à A[X] alors a est inversible.
  3. En déduire que si a n'est pas inversible alors l'idéal (X, a) n'est pas principal.
  4. En déduire que si A n'est pas un corps alors l'anneau A[X] n'est pas principal.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide d'éléments et pour tout élément non nul  :

  • existe si et seulement si existe ;
  • dans ce cas, .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un anneau (commutatif, intègre) à PGCD, c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls et possèdent toujours un ppcm, noté , donc aussi un pgcd, . On note la relation d'association (deux éléments sont associés si l'un est produit de l'autre par un inversible).

On rappelle que le pgcd vérifie : .

On va démontrer, pour tous éléments non nuls , et  :

.

  Montrer que le membre de gauche est associé à et celui de droite à .

  Vérifier que et sont associés, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes.

  A-t-on également

 ?

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux éléments d'un anneau, tels que :

  •  ;
  • .

Montrer que :

  1. est inversible, d'inverse .

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux éléments inversibles d'un anneau, tels que et . Montrer que :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit un anneau commutatif. On note .

  1. Vérifier que .
  2. On pose . Montrer que est une loi de composition interne sur et que est un anneau commutatif unitaire.

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques ».

Soient un entier et les deux solutions complexes de . On désigne par l'ensemble des nombres complexes de la forme .

  1. Calculer et .
  2. Montrer que est un sous-anneau de stable par conjugaison.
  3. Montrer que .
  4. Montrer qu'un élément est inversible dans si et seulement si .
  5. En déduire que les seuls éléments inversibles de sont et .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Soit un corps commutatif. Dans l'anneau , on note les classes de .

Vérifier que et sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau.

Référence : Daniel Perrin, Cours d'algèbre, remarque II.3.7

Dans l'anneau , on note et les classes de et .

Vérifier que et sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau.

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'anneau , soit l'idéal des fonctions nulles en 0.

  1. Soient . Montrer que tout élément de l'idéal vérifie au voisinage de 0.
  2. En déduire que n'est pas de type fini (ce qui prouve que n'est pas noethérien).
  3. Montrer que .
  4. Montrer que ne contient aucun élément irréductible.
  5. Montrer que si deux éléments de n'ont pas de zéro commun, alors ils sont premiers entre eux.
  6. Montrer que dans , si deux éléments ont un pgcd , alors (l'ensemble des zéros de ) est égal à et .

Soient un espace compact et l'anneau des fonctions continues de dans . On note (pour ), et (pour ).

  1. Montrer que est un idéal maximal de .
  2. Quels sont les éléments inversibles de  ?
  3. Soient un idéal de et . Montrer que si , il existe telles que . Que peut-on dire alors de  ? En déduire que .
  4. En déduire que tout idéal maximal de est de la forme .
  5. Si est infini, soit un point d'accumulation de . Montrer par l'absurde que n'est pas de type fini. (Indication : si et , montrer que , pour en déduire une contradiction.)

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'anneau , montrer que est irréductible, mais pas premier. (Ceci prouvera que cet anneau n'est pas factoriel.)

Exercice 14[modifier | modifier le wikicode]

Quel est le noyau du morphisme  ?

Exercice 15[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que .

Soit .

  1. Montrer que .
  2. Montrer que n'est pas un idéal premier de .
  3. Montrer que .

Exercice 16[modifier | modifier le wikicode]

Soit un corps commutatif. Déterminer les éléments inversibles et les idéaux (principaux et autres) de l'anneau .

Exercice 17[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'idéal de engendré par et . Donner un isomorphisme entre et .

Exercice 18[modifier | modifier le wikicode]

On suppose connu l'anneau (euclidien) et l'on se propose d'étudier les idéaux premiers de .

  1. Montrer que est noethérien
  2. Soit un idéal non nul de . Montrer que et en déduire que .
  3. On suppose de plus premier. Montrer que est de la forme est un nombre premier. Montrer que est maximal.
  4. Montrer que les idéaux premiers non nuls de sont
    • les avec élément irréductible de
    • les avec élément irréductible de , et irréductible modulo (c.-à-d. d'image irréductible dans ).
  5. Soit un idéal maximal de contenant .
    1. Montrer que est de la forme avec élément irréductible de et irréductible modulo , ou alors avec élément irréductible de et racine de modulo .
    2. En déduire l'allure des idéaux premiers non nuls de .
  6. Applications à et  : dans les deux cas, montrer que est premier. Montrer que est un corps à éléments et que .

Exercice 19[modifier | modifier le wikicode]

Soit A un anneau non nul. On suppose que pour tout élément non nul de A, il existe un élément de A tel que Prouver que A est un corps.

Indication : on peut prouver que les éléments non nuls de A forment un monoïde pour la multiplication et, à l'aide du Problème 2 de la page Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes, que ce monoïde est un groupe.

Remarque. L'énoncé de cet exercice servira dans la solution d'un exercice de la page Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension.

Exercice 20[modifier | modifier le wikicode]

Soient un corps commutatif et dans . On veut montrer que l'idéal est premier et que ne peut admettre moins de trois générateurs.

  1. Soient le morphisme défini par , et . Vérifier que est premier et contient .
  2. Montrer que les seuls tels que sont .
  3. Soit . Soit , avec , le reste de la division euclidienne de par dans , puis et , avec , les restes des divisions euclidiennes de par dans .
    1. Montrer que si et seulement si .
    2. En déduire que (utiliser (2)), ce qui prouve que est premier.
  4. Soit , idéal maximal de . La structure d'idéal de (idéal de ) induit sur une structure de -espace vectoriel, dont la dimension est majorée par . Montrer que cette dimension est exactement 3 (ce qui prouvera que ne peut avoir moins de trois générateurs). Pour cela, montrer que l'image dans du triplet est -libre.