Leçons de niveau 14

Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

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Exercices
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Exercices no1
Leçon : Anneau (mathématiques)

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Étude de l'anneau Z8
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Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit A un anneau tel que .

  1. Montrer que .
  2. En déduire que A est commutatif.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit A un anneau et l’ensemble des éléments inversibles de A. Montrer que .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.

  1. Dans l'anneau de polynômes A[X], montrer que le seul idéal principal contenant a et X est l'anneau A[X] tout entier.
  2. Montrer que si l'idéal (X, a) est égal à A[X] alors a est inversible.
  3. En déduire que si a n'est pas inversible alors l'idéal (X, a) n'est pas principal.
  4. En déduire que si A n'est pas un corps alors l'anneau A[X] n'est pas principal.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide d'éléments et pour tout élément non nul  :

  • existe si et seulement si existe ;
  • dans ce cas, .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un anneau (commutatif, intègre) à PGCD, c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls et possèdent toujours un ppcm, noté , donc aussi un pgcd, . On rappelle que le pgcd vérifie : .

On va démontrer, pour tous éléments non nuls , et  :

.

  Montrer que le membre de gauche est égal à et celui de droite à .

  Vérifier que et sont égaux, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes.

  A-t-on également

 ?

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie.