Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

Exercice 1

Soit A un anneau tel que $\forall x\in A,x^{2}=x$.

1. Montrer que $\forall x\in A,x+x=0$.
2. En déduire que A est commutatif.

Solution

1. Soit $x\in A$.

${\begin{aligned}1+x&=(1+x)^{2}\\&=1+x+x+x^{2}\\&=(1+x)+x+x\end{aligned}}$

Donc $\forall x\in A,~x+x=0$

2. Soit $(x,y)\in A^{2}$

${\begin{aligned}x+y&=(x+y)^{2}\\&=x^{2}+xy+yx+y^{2}\\&=x+y+xy+yx\end{aligned}}$

Donc $xy=-yx$. Or, d’après la question 1, $\forall t\in A,t=-t$

Donc $\forall (x,y)\in A^{2},~xy=yx$, donc A est commutatif.

 

Exercice 2

Soit A un anneau et $A^{*}$ l’ensemble des éléments inversibles de A. Montrer que $\forall (x,y)\in A^{2},1-xy\in A^{*}\Leftrightarrow 1-yx\in A^{*}$.

Solution

• Attention : la manipulation qui suit est réservée au brouillon ! Dans le cas général, plusieurs éléments écrits dans les lignes qui suivent n'ont aucun sens, mais cette manipulation formelle a le bon goût de fourninr une idée du résultat.

Soit $(x,y)\in A^{2}$ tel que $1-xy\in A^{*}$ et $1-yx\in A^{*}$. ${\begin{aligned}(1-xy)^{-1}&=\sum _{n=0}^{+\infty }(xy)^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{+\infty }(xy)^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{+\infty }x(yx)^{n-1}y\\&=1+x\left(\sum _{n=0}^{+\infty }(yx)^{n}\right)y\\&=1+x(1-yx)^{-1}y\end{aligned}}$

• Soit $(x,y)\in A^{2}$ tel que $1-yx\in A^{*}$.

${\begin{aligned}(1-xy)(1+x(1-yx)^{-1}y)&=1+x(1-yx)^{-1}y-xy-xyx(1-yx)^{-1}y\\&=1+x(1-yx)(1-yx)^{-1}y-xy\\&=1\\\end{aligned}}$

Donc $1+x(1-yx)^{-1}y$ est l'inverse de $1-xy$, ce qui assure que $1-xy\in A^{*}$.

• On peut montrer de même que, $\forall (x,y)\in A^{*},~1-xy\in A^{*}\Rightarrow 1-yx\in A^{*}$.

Finalement $\forall (x,y)\in A^{2},1-xy\in A^{*}\Leftrightarrow 1-yx\in A^{*}$

 

Exercice 3

Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.

1. Dans l'anneau de polynômes A[X], montrer que le seul idéal principal contenant a et X est l'anneau A[X] tout entier.
2. Montrer que si l'idéal (X, a) est égal à A[X] alors a est inversible.
3. En déduire que si a n'est pas inversible alors l'idéal (X, a) n'est pas principal.
4. En déduire que si A n'est pas un corps alors l'anneau A[X] n'est pas principal.

Solution

1. Soit (P) un idéal principal contenant a et X. Le polynôme P est constant (car P divise a) et de coefficient inversible (car P divise X) donc P est un élément inversible de A, si bien que (P) = (1) = A[X].
2. Si (X, a) est égal à A[X], il existe deux polynômes U et V tels que 1 = XU + aV donc 1 = aV(0).
3. Si l'idéal (X, a) est principal alors, d'après les deux questions précédentes, a est inversible.
4. Si A n'est pas un corps, il contient un élément a non nul et non inversible.

 

Exercice 4

Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ d'éléments et pour tout élément non nul $k$ :

• $\operatorname {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ existe si et seulement si $\operatorname {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ existe ;
• dans ce cas, $\operatorname {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)=k\operatorname {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$.

Solution

(Toutes les égalités sont à prendre ici au sens « à produit près par un inversible ».)

• Supposons que $\operatorname {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)=m$ et montrons que $km$ est un ppcm des $ka_{i}$, c'est-à-dire qu'un élément est multiple de tous les $ka_{i}$ si et seulement s'il est multiple de $km$. S'il est multiple d'un $ka_{i}$ ou de $km$, il est divisible par $k$, donc de la forme $ky$ pour un certain $y$. On conclut grâce à la suite d'équivalences :

  $ky$ est multiple de tous les $ka_{i}\Leftrightarrow$

  $y$ est multiple de tous les $a_{i}\Leftrightarrow$

  $y$ est multiple de $m\Leftrightarrow$

  $ky$ est multiple de $km$.

• Réciproquement, supposons que $\operatorname {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)$ existe. Puisqu'il est multiple d'un $ka_{i}$, il est divisible par $k$, donc de la forme $km$ pour un certain $m$. Alors, pour tout élément $y$ de l'anneau, on a :

  $y$ est multiple de tous les $a_{i}\Leftrightarrow$

  $ky$ est multiple de tous les $ka_{i}\Leftrightarrow$

  $ky$ est multiple de $km\Leftrightarrow$

  $y$ est multiple de $m$,

ce qui prouve que $m$ est un ppcm des $a_{i}$.

 

Exercice 5

On se place dans un anneau (commutatif, intègre) à PGCD, c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls $x$ et $y$ possèdent toujours un ppcm, noté $x\lor y$, donc aussi un pgcd, $x\land y:={\frac {xy}{x\lor b}}$. On rappelle que le pgcd vérifie : $\left(x\land y\right)z=(xz)\land (yz)$.

On va démontrer, pour tous éléments non nuls $a$, $b$ et $c$ :

$a\land \left(b\lor c\right)=\left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)$.

1°  Montrer que le membre de gauche est égal à ${\frac {ab\land ac\land bc}{b\land c}}$ et celui de droite à ${\frac {(a\land b)(a\land c)}{a\land b\land c}}$.

2°  Vérifier que $\left(ab\land ac\land bc\right)\left(a\land b\land c\right)$ et $(a\land b)(a\land c)(b\land c)$ sont égaux, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes.

3°  A-t-on également

$a\lor \left(b\land c\right)=\left(a\lor b\right)\land \left(a\lor c\right)$ ?

Solution

1°  $a\land \left(b\lor c\right)={\frac {ab\land ac}{b\land c}}\land {\frac {bc}{b\land c}}={\frac {ab\land ac\land bc}{b\land c}}$ et $\left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)={\frac {\left(a\land b\right)\left(a\land c\right)}{\left(a\land b\right)\land \left(a\land c\right)}}={\frac {(a\land b)(a\land c)}{a\land b\land c}}$.

2° 

${\begin{aligned}\left(ab\land ac\land bc\right)\left(a\land b\land c\right)&=\left(ab\left(a\land b\land c\right)\right)\land \left(ac\left(a\land b\land c\right)\right)\land \left(bc\left(a\land b\land c\right)\right)\\&=a^{2}b\land ab^{2}\land abc\land a^{2}c\land abc\land ac^{2}\land abc\land b^{2}c\land bc^{2}\\&=a^{2}b\land ab^{2}\land a^{2}c\land ac^{2}\land b^{2}c\land bc^{2}\land abc\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}(a\land b)(a\land c)(b\land c)&=(a\land b)\left(a(b\land c)\right)\land \left(c(b\land c)\right)\\&=(a\land b)\left(ab\land ac\land bc\land c^{2}\right)\\&=\left(a\left(ab\land ac\land bc\land c^{2}\right)\right)\land \left(b\left(ab\land ac\land bc\land c^{2}\right)\right)\\&=a^{2}b\land a^{2}c\land abc\land ac^{2}\land ab^{2}\land abc\land b^{2}c\land bc^{2}\\&=a^{2}b\land ab^{2}\land a^{2}c\land ac^{2}\land b^{2}c\land bc^{2}\land abc.\end{aligned}}$

3°  Oui, par la même méthode, ou simplement parce que dans un treillis, si l'une des deux lois $\land$ ou $\lor$ est distributive par rapport à l'autre, la seconde est également distributive par rapport à la première.

 

Exercice 6

Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie.

Solution

Si $\left(X\right)=\left(d\right)$, il existe $Y$ fini inclus dans $X$ tel que $d\in \left(Y\right)$ donc tel que $\left(X\right)\subset \left(Y\right)$, d'où l'égalité.