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Exercice : Exercices
Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit A un anneau tel que
.
- Montrer que
.
- En déduire que A est commutatif.
Solution
1. Soit
.
Donc
2. Soit
Donc
. Or, d’après la question 1,
Donc
, donc A est commutatif.
Soient
un anneau et
tels que
soit inversible. Montrer que
est inversible.
Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.
- Dans l'anneau de polynômes A[X], montrer que le seul idéal principal contenant a et X est l'anneau A[X] tout entier.
- Montrer que si l'idéal (X, a) est égal à A[X] alors a est inversible.
- En déduire que si a n'est pas inversible alors l'idéal (X, a) n'est pas principal.
- En déduire que si A n'est pas un corps alors l'anneau A[X] n'est pas principal.
Solution
- Soit (P) un idéal principal contenant a et X. Le polynôme P est constant (car P divise a) et de coefficient inversible (car P divise X) donc P est un élément inversible de A, si bien que (P) = (1) = A[X].
- Si (X, a) est égal à A[X], il existe deux polynômes U et V tels que 1 = XU + aV donc 1 = aV(0).
- Si l'idéal (X, a) est principal alors, d'après les deux questions précédentes, a est inversible.
- Si A n'est pas un corps, il contient un élément a non nul et non inversible.
Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide
d'éléments et pour tout élément non nul
:
existe si et seulement si
existe ;
- dans ce cas,
.
On se place dans un anneau (commutatif, intègre) à PGCD, c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls
et
possèdent toujours un ppcm, noté
, donc aussi un pgcd,
. On note
la relation d'association (deux éléments sont associés si l'un est produit de l'autre par un inversible).
On rappelle que le pgcd vérifie :
.
On va démontrer, pour tous éléments non nuls
,
et
:

.
1° Montrer que le membre de gauche est associé à
et celui de droite à
.
2° Vérifier que
et
sont associés, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes.
3° A-t-on également

?
Solution
1°
et
.
2°

- et

3° Oui, par la même méthode, ou simplement parce que dans un treillis, si l'une des deux lois
ou
est distributive par rapport à l'autre, la seconde est également distributive par rapport à la première.
Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie.
Soient
et
deux éléments d'un anneau, tels que :
;
.
Montrer que :


est inversible, d'inverse
.
Soient
et
deux éléments inversibles d'un anneau, tels que
et
. Montrer que :
;
;
.
Soit
un anneau commutatif. On note
.
- Vérifier que
.
- On pose
. Montrer que
est une loi de composition interne sur
et que
est un anneau commutatif unitaire.
Soient un entier
et
les deux solutions complexes de
. On désigne par
l'ensemble des nombres complexes de la forme
où
.
- Calculer
et
.
- Montrer que
est un sous-anneau de
stable par conjugaison.
- Montrer que
.
- Montrer qu'un élément
est inversible dans
si et seulement si
.
- En déduire que les seuls éléments inversibles de
sont
et
.
Soit
un corps commutatif. Dans l'anneau
, on note
les classes de
.
Vérifier que
et
sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau.
Référence : Daniel Perrin, Cours d'algèbre, remarque II.3.7
Solution
D'abord,
et
sont associés car on a non seulement
, mais aussi
puisque
.
Montrons ensuite que les inversibles de l'anneau sont seulement les (classes des) constantes non nulles. Soient
, de classes respectives
inverses l'une de l'autre. Les images de
dans
sont a fortiori inverses l'une de l'autre donc à produit près par une constante non nulle,
et
avec
. Alors, modulo
,
, c.-à-d.
. Comme
est intègre, l'image de
dans
est donc nulle, si bien que (toujours à produit près par une constante non nulle),
donc
, et par conséquent
.
Enfin, pour tout
,
car
n'est pas divisible par
.
Dans l'anneau
, on note
et
les classes de
et
.
Vérifier que
et
sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau.
Solution
et
sont associés car on a non seulement
, mais aussi
puisque
.
Montrons ensuite que les inversibles de l'anneau sont seulement (les classes de)
et
. Soient
, de classes respectives
inverses l'une de l'autre. Les images de
dans
sont a fortiori inverses l'une de l'autre donc
et
avec
. Alors, modulo
,
, c.-à-d.
. Les deux entiers
et
, vérifiant
, sont alors nécessairement nuls ou égaux à
, si bien que le reste de la division euclidienne de
par
est
avec
ou
et de même,
ou
. Comme
et
sont entiers, la seule possibilité est
ou
. On en déduit
donc
.
Enfin,
car
n'est pas divisible par
.
Dans l'anneau
, soit
l'idéal des fonctions nulles en 0.
- Soient
. Montrer que tout élément
de l'idéal
vérifie
au voisinage de 0.
- En déduire que
n'est pas de type fini (ce qui prouve que
n'est pas noethérien).
- Montrer que
.
- Montrer que
ne contient aucun élément irréductible.
- Montrer que si deux éléments de
n'ont pas de zéro commun, alors ils sont premiers entre eux.
- Montrer que dans
, si deux éléments
ont un pgcd
, alors
(l'ensemble des zéros de
) est égal à
et
.
Solution
- Soient
et
. Soient (par continuité des
en 0)
et
un voisinage de 0 tels que sur
,
. Alors, sur
,
.
- Supposons que
et considérons la fonction
. D'après la question précédente, il existe
et
un voisinage de 0 tels que sur
,
. Soit
un voisinage de 0 tel que sur
,
. Alors, sur
,
donc toutes les fonctions de
s'annulent, ce qui est absurde.
- On a comme toujours
. Réciproquement, soit
. Alors
avec
et
donc
.
- Pour tout
non inversible,
avec
et
non inversibles, donc
est réductible.
- Soit
divisant
et
. On a
donc si
alors,
ne s'annule pas donc est inversible.
-
- Puisque
divise
et
,
. L'inclusion réciproque résultera du point suivant.
- Soient
tels que
et
et soit
. Sur le fermé
,
et
n'ont pas de zéro commun (car
divise
et
donc
divise
et
donc il existe
tel que
, si bien que
sur
, et même sur
par continuité). On peut donc définir sur
:
et
. En prolongeant continûment
et
de façon arbitraire, l'égalité
reste vraie sur
puisque
.
Soient
un espace compact et
l'anneau des fonctions continues de
dans
. On note
(pour
), et
(pour
).
- Montrer que
est un idéal maximal de
.
- Quels sont les éléments inversibles de
?
- Soient
un idéal de
et
. Montrer que si
, il existe
telles que
. Que peut-on dire alors de
? En déduire que
.
- En déduire que tout idéal maximal de
est de la forme
.
- Si
est infini, soit
un point d'accumulation de
. Montrer par l'absurde que
n'est pas de type fini. (Indication : si
et
, montrer que
, pour en déduire une contradiction.)
Solution
est le noyau du morphisme surjectif
.
- Si
,
ne s'annule pas. Réciproquement si
ne s'annule pas,
. Les inversibles de
sont donc les
qui ne s'annulent pas.
- Si
, les ouverts
pour
forment un recouvrement de
. Comme
est compact, on peut en extraire un sous-recouvrement fini, associé à
, et l'on obtient
, c'est-à-dire : pour tout
, les
réels
ne sont pas tous nuls. D'après 2,
est donc inversible, or
, donc
. (Réciproquement,
).
- Soit
un idéal maximal de
. D'après 3,
est non vide. Soit
, alors
donc
(donc
).
s'annulent en
donc
aussi, donc
. Soit alors une constante
(il en existe, par compacité). On a
donc
, ce qui est incompatible avec
.
Dans l'anneau
, montrer que
est irréductible, mais pas premier. (Ceci prouvera que cet anneau n'est pas factoriel.)
Quel est le noyau du morphisme
?
Solution
Deux méthodes, car
, où
et
sont les évaluations en 0,
la surjection canonique, et
la surjection qui s'en déduit :
, ou bien
.
Donc le noyau est
. On remarque qu'il est maximal puisque le quotient est un corps.
Démontrer que
.
Solution
, donc
, donc
.
Soit
.
- Montrer que
.
- Montrer que
n'est pas un idéal premier de
.
- Montrer que
.
Solution
- Le morphisme
a pour image
(par définition) et pour noyau
(par division euclidienne).
n'est pas intègre.
.
Soit
un corps commutatif. Déterminer les éléments inversibles et les idéaux (principaux et autres) de l'anneau
.
Solution
Modulo
, tout polynôme de
s'écrit de manière unique
(avec
), et l'on a
; les inversibles sont donc les
avec
.
Un idéal non trivial doit contenir un élément non nul et non inversible, donc de la forme
avec
(à produit près par un inversible, un tel élément est de la forme
ou
). Un idéal non principal doit contenir deux tels éléments non proportionnels, qui engendrent alors
et
. L'idéal
est maximal (puisque le quotient par cet idéal est le corps
). Les idéaux non triviaux sont donc les
(avec
),
et
.
Soit
l'idéal de
engendré par
et
. Donner un isomorphisme entre
et
.
On suppose connu l'anneau
(euclidien) et l'on se propose d'étudier les idéaux premiers de
.
- Montrer que
est noethérien
- Soit
un idéal non nul de
. Montrer que
et en déduire que
.
- On suppose de plus
premier. Montrer que
est de la forme
où
est un nombre premier. Montrer que
est maximal.
- Montrer que les idéaux premiers non nuls de
sont
- les
avec
élément irréductible de ![{\displaystyle A[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928df3b0a2a61cf7cf0a527f52fc9f380e3a67ca)
- les
avec
élément irréductible de
, et
irréductible modulo
(c.-à-d. d'image irréductible dans
).
- Soit
un idéal maximal de
contenant
.
- Montrer que
est de la forme
avec
élément irréductible de
et
irréductible modulo
, ou alors
avec
élément irréductible de
et
racine de
modulo
.
- En déduire l'allure des idéaux premiers non nuls de
.
- Applications à
et
: dans les deux cas, montrer que
est premier. Montrer que
est un corps à
éléments et que
.
Solution
.
- Soit
non nul dans
avec
, alors
est non nul car
. Soient
tels que
, alors
est non nul car
.
est un idéal premier de
, non nul d'après 2, donc de la forme annoncée.
est donc une extension intègre finie (de dimension
) du corps
, donc c'est un corps, donc
est maximal.
- Remarquons que si
est de l'une des deux formes annoncées,
est automatiquement premier. Réciproquement, soit
un idéal premier non nul de
, alors
est un idéal premier de
. S'il est nul, soit
non nul de degré minimum, alors
est irréductible dans
et
. S'il est non nul, soit
premier non nul tel que
. Si
, on est encore dans le premier cas (avec
de degré
). Sinon,
est un idéal premier non nul de
, donc de la forme
avec
premier, donc on est dans le second cas.
-
est irréductible dans
mais
n'est pas un corps donc
. D'après (4), il existe donc
élément irréductible de
et
irréductible modulo
tels que
et
. Si
est également irréductible modulo
alors
, et sinon, dans
,
se décompose sous la forme
et
est égal par exemple au premier facteur, d'où
.
- Si
est un idéal premier non nul de
(maximal d'après 3), son image réciproque
dans
est de l'une des deux formes indiquées dans la sous-question précédente ; dans le premier cas
, dans le second
.
- Soient
et
. Alors
est un corps à
éléments et
. De même, soient
et
, alors
et
.
Soit A un anneau non nul. On suppose que pour tout élément
non nul de A, il existe un élément
de A tel que
Prouver que A est un corps.
Indication : on peut prouver que les éléments non nuls de A forment un monoïde pour la multiplication et, à l'aide du Problème 2 de la page Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes, que ce monoïde est un groupe.
Solution
Soient
des éléments non nuls de A; prouvons que
est non nul. D'après les hypothèses, il existe un élément
de A tel que
Alors
, ce qui, d'après l'associativité de la multiplication dans A, peut s'écrire
Puisque le membre droit n'est pas nul, le facteur
du membre gauche est non nul. Nous avons donc prouvé que le produit de deux éléments non nule de A est toujours non nul. Puisque l'élément 1 de A est un de ces éléments non nuls, il en résulte que les éléments non nuls de A forment un monoïde pour la multiplication. Soit
un élément non nul de A. Par hypothèse, il existe un élément
de A tel que
Il est clair que
est non nul, donc, dans le monoïde multiplicatif formé par les éléments non nuls de A, chaque élément a un inverse à gauche. D'après le Problème 2 de la page Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes, il en résulte que ce monoïde est un groupe, donc l'anneau A est un corps.
Remarque. L'énoncé de cet exercice servira dans la solution d'un exercice de la page Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension.
Soient
un corps commutatif et
dans
. On veut montrer que l'idéal
est premier et que
ne peut admettre moins de trois générateurs.
- Soient
le morphisme défini par
, et
. Vérifier que
est premier et contient
.
- Montrer que les seuls
tels que
sont
.
- Soit
. Soit
, avec
, le reste de la division euclidienne de
par
dans
, puis
et
, avec
, les restes des divisions euclidiennes de
par
dans
.
- Montrer que
si et seulement si
.
- En déduire que
(utiliser (2)), ce qui prouve que
est premier.
- Soit
, idéal maximal de
. La structure d'idéal de
(idéal de
) induit sur
une structure de
-espace vectoriel, dont la dimension est majorée par
. Montrer que cette dimension est exactement 3 (ce qui prouvera que
ne peut avoir moins de trois générateurs). Pour cela, montrer que l'image dans
du triplet
est
-libre.
Solution
contient
car
.
est premier car
, intègre.
- Dans
, les monômes de degré
(resp.
,
) viennent de
(resp.
,
).
-
.
- Si
alors
, or
donc modulo
,
.
- Soient
tels que
. Soient
tels que
. Alors
donc
,
donc
,
donc
.