Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre

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Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Exercices no1
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Équation différentielle linéaire du premier ordre

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Résolutions simples[modifier | modifier le wikicode]

Équations homogènes à coefficients constants[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer la solution générale de l'équation .
  2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .
  3. Déterminer celle vérifiant la condition initiale : .

Déterminer la solution de avec la condition .

Équations avec second membre à coefficients constants[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer la solution générale de l'équation .
  2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .

Trouver toutes les fonctions dérivables sur vérifiant : et .

Équations à coefficients constants avec second membre variable[modifier | modifier le wikicode]

1.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation  ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : .

2.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation  ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : .

3.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation  ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : .

4.  Résoudre .

5.  Résoudre .

6.  Résoudre .

7.  Soient et un polynôme de degré . On considère l'équation .

a)  À quelle condition sur la fonction est-elle solution de  ?
b)  On suppose . Montrer que l'application est linéaire, injective et surjective. En déduire que admet une solution particulière de la forme avec polynôme de même degré que .
c)  On suppose . Montrer que admet une solution particulière de la forme avec polynôme, et préciser le degré de .

8.  Résoudre le problème de Cauchy : .

Équations homogènes à coefficients variables[modifier | modifier le wikicode]

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation .

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .

2.  On considère l'équation .

a)  Résoudre sur , puis sur . Vérifier que sur chacun de ces intervalles, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.
b)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
c)  Résoudre sur . Vérifier que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
d)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
e)  Résoudre de même .

3.  Résoudre :

a)   ;
b)  , pour  ;
c)  , où  ;
d)  .

4.  Trouver toutes les applications continues telles que (poser ).

5.  Déterminer l'ensemble des fonctions continues sur vérifiant : et préciser leur régularité.

6.

  • Écrire l'équation de la tangente en au graphe de la fonction dérivable sur .
  • Déterminer l'ensemble des fonctions dérivables sur telles qu'en tout point, la tangente à passe par .

Équations à coefficients variables avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation .

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .

2.  On considère l'équation .

a)  Résoudre l'équation homogène associée à sur , puis sur .
b)  Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver la solution générale de sur .
c)  Déterminer la solution générale de sur .
d)  Déterminer la solution générale de sur .
e)  Résoudre de même .

3.  Résoudre :

  1. , en supposant .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. , sur .
  6. , sur .
  7. , .
  8. .
  9. .

4.  Dans cet exercice, on notera la fonction définie par (pour ).

  1. Démontrer que pour tout ,
    .
  2. Résoudre l'équation différentielle suivante pour  :
    .
  3. Donner la solution définie sur de l'équation différentielle
    qui vérifie .

Résolutions générales d'équations complètes[modifier | modifier le wikicode]

Intégrer les équations suivantes :

1.

2.

3.

4. , où est un réel donné.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Problème de la fourmi sur un élastique[modifier | modifier le wikicode]

Ant on tree.jpg
Wikipédia possède un article à propos de « Problème de la fourmi sur un élastique ».

Un élastique, de longueur initiale , a une extrémité fixe et une extrémité mobile , qui s'éloigne de , sur , à une vitesse constante . Une fourmi, initialement en , marche sur l'élastique à vitesse constante . Arrivera-t-elle au bout de l'élastique ?

Système différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le wikicode]

Système homogène, matrice diagonalisable[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Résoudre .

Résoudre le problème de Cauchy

,

et .

Système non homogène, matrice diagonalisable[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre le système différentiel :

.

Résoudre le système différentiel

d'inconnue , où

et .

Système homogène, matrice non diagonalisable[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Résoudre