Aller au contenu

Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Équation différentielle linéaire du premier ordre
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Équation différentielle linéaire du premier ordre

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Équation différentielle linéaire du premier ordre
Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Résolutions simples

[modifier | modifier le wikicode]

Équations homogènes à coefficients constants

[modifier | modifier le wikicode]
  1. Déterminer la solution générale de l'équation
  2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :
  3. Déterminer celle vérifiant la condition initiale :

Déterminer la solution de avec la condition

Équations à coefficients constants avec second membre

[modifier | modifier le wikicode]
  1. Déterminer la solution générale de l'équation
  2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .

Trouver toutes les fonctions dérivables sur vérifiant : et

Équations à coefficients constants avec second membre variable

[modifier | modifier le wikicode]

1.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation  ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : .

2.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation  ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : .

3.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation  ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : .

4.  Résoudre .

5.  Résoudre .

6.  Résoudre .

7.  Soient et un polynôme de degré . On considère l'équation .

a)  À quelle condition sur la fonction est-elle solution de  ?
b)  On suppose . Montrer que l'application est linéaire, injective et surjective. En déduire que admet une solution particulière de la forme avec polynôme de même degré que .
c)  On suppose . Montrer que admet une solution particulière de la forme avec polynôme, et préciser le degré de .

8.  Résoudre le problème de Cauchy : .

Équations homogènes à coefficients variables

[modifier | modifier le wikicode]

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation .

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .

2.  On considère l'équation .

a)  Résoudre sur , puis sur . Vérifier que sur chacun de ces intervalles, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.
b)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
c)  Résoudre sur . Vérifier que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
d)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
e)  Résoudre de même .

3.  Résoudre :

a)   ;
b)  , pour  ;
c)  , où  ;
d)  .

4.  Trouver toutes les applications continues telles que (poser ).

5.  Déterminer l'ensemble des fonctions continues sur vérifiant : et préciser leur régularité.

6.

  • Écrire l'équation de la tangente en au graphe de la fonction dérivable sur .
  • Déterminer l'ensemble des fonctions dérivables sur telles qu'en tout point, la tangente à passe par .

Équations à coefficients variables avec second membre

[modifier | modifier le wikicode]

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation .

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .

2.  On considère l'équation .

a)  Résoudre l'équation homogène associée à sur , puis sur .
b)  Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver la solution générale de sur .
c)  Déterminer la solution générale de sur .
d)  Déterminer la solution générale de sur .
e)  Résoudre de même .

3.  Résoudre :

  1. , en supposant .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. , sur .
  6. , sur .
  7. , .
  8. .
  9. .

4.  Dans cet exercice, on notera la fonction définie par (pour ).

  1. Démontrer que pour tout ,
    .
  2. Résoudre l'équation différentielle suivante pour  :
    .
  3. Donner la solution définie sur de l'équation différentielle
    qui vérifie .

Résolutions générales d'équations complètes

[modifier | modifier le wikicode]

Intégrer les équations suivantes :

1.

2.

3.

4. , où est un réel donné.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Problème de la fourmi sur un élastique

[modifier | modifier le wikicode]
descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Problème de la fourmi sur un élastique ».

Un élastique, de longueur initiale , a une extrémité fixe et une extrémité mobile , qui s'éloigne de , sur , à une vitesse constante . Une fourmi, initialement en , marche sur l'élastique à vitesse constante . Arrivera-t-elle au bout de l'élastique ?

Système différentiel à coefficients constants

[modifier | modifier le wikicode]

Système homogène, matrice diagonalisable

[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Résoudre .

Résoudre le problème de Cauchy

,

et .

Système non homogène, matrice diagonalisable

[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre le système différentiel :

.

Résoudre le système différentiel

d'inconnue , où

et .

Système homogène, matrice non diagonalisable

[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Résoudre .

Résoudre le système différentiel

où les inconnues sont les fonctions .


Soit . Résoudre .

Courbes et équations différentielles

[modifier | modifier le wikicode]

Soit et . On considère le système différentiel

.

Le but est de tracer dans le plan la trajectoire de la solution

.

Le cas où la matrice A est diagonale

[modifier | modifier le wikicode]

On considère

.

Tracer l'allure de la courbe dans les cas suivants :

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) .

Le cas où la matrice A est diagonalisable dans M2(ℝ)

[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que a deux valeurs propres réelles distinctes, et donc on est dans un des cas précédents, au niveau des valeurs propres. Quelle allure auront les trajectoires ?

Le cas typique où la matrice A est diagonalisable dans M2(ℂ)

[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . On considère

.

a) Déterminer les valeurs propres de .

b) Montrer que la solution est

,

désigne la rotation d'angle .

En déduire l'allure de la solution .