Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre
Résolutions simples
[modifier | modifier le wikicode]Équations homogènes à coefficients constants
[modifier | modifier le wikicode]- Déterminer la solution générale de l'équation
- Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :
- Déterminer celle vérifiant la condition initiale :
- donc d'après le théorème,
- La solution générale de l'équation est , or donc
- La solution générale de l'équation est , or donc
Déterminer la solution de avec la condition
La solution générale de l'équation est , or donc
Équations à coefficients constants avec second membre
[modifier | modifier le wikicode]- Déterminer la solution générale de l'équation
- Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .
Trouver toutes les fonctions dérivables sur vérifiant : et
.
.
La seule solution est donc : .
Équations à coefficients constants avec second membre variable
[modifier | modifier le wikicode]1. Déterminer :
- a) la solution générale de l'équation ;
- b) la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) Les solutions de l'équation différentielle homogène : sont : .
- Par ailleurs, l'équation a une unique solution particulière polynomiale, de degré 1, .
- donc .
- La solution générale de l'équation est par conséquent :
b) Elle vérifie donc la condition initiale équivaut à . L'unique solution est alors :
- .
2. Déterminer :
- a) la solution générale de l'équation ;
- b) la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) Les solutions de l'équation différentielle homogène : sont : .
- Par ailleurs, l'équation a une unique solution particulière polynomiale, de degré 2, .
- donc .
- La solution générale de l'équation est par conséquent :
- .
b) Elle vérifie donc la condition initiale équivaut à . L'unique solution est alors :
- .
3. Déterminer :
- a) la solution générale de l'équation ;
- b) la solution unique vérifiant la condition initiale : .
- a) Une solution particulière est avec donc , soit . La solution générale est donc .
- b) donc .
4. Résoudre .
donne pour ,
donc avec c'est-à-dire .
D'où ().
5. Résoudre .
On peut simplifier par en posant (ça revient à faire varier la constante). L'équation devient : donc et .
6. Résoudre .
().
7. Soient et un polynôme de degré . On considère l'équation .
- a) À quelle condition sur la fonction est-elle solution de ?
- b) On suppose . Montrer que l'application est linéaire, injective et surjective. En déduire que admet une solution particulière de la forme avec polynôme de même degré que .
- c) On suppose . Montrer que admet une solution particulière de la forme avec polynôme, et préciser le degré de .
a) .
b) L'application est linéaire, comme combinaison linéaire des deux applications linéaires et . Elle est injective car son noyau est réduit à 0 (un polynôme n'est multiple de son polynôme dérivé que s'il est nul). Elle est donc surjective, d'après le théorème du rang. Il existe donc un unique polynôme antécédent de par cette application, c'est-à-dire une unique solution de de la forme avec polynôme de degré inférieur ou égal à . Par ailleurs, un polynôme vérifiant est nécessairement de même degré que .
c) Les solutions de sont des polynômes de degré .
8. Résoudre le problème de Cauchy : .
avec , , . Donc avec .
Si , , avec , donc et .
Si , avec donc .
Équations homogènes à coefficients variables
[modifier | modifier le wikicode]1. a) Déterminer la solution générale de l'équation .
- b) Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) L'équation est de la forme , avec et . On applique le théorème du cours : une primitive de est donc la solution générale est
- .
b) donc la condition initiale, , équivaut à .
- La solution unique vérifiant la condition initiale est donc :
- .
2. On considère l'équation .
- a) Résoudre sur , puis sur . Vérifier que sur chacun de ces intervalles, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.
- b) Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
- c) Résoudre sur . Vérifier que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
- d) Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
- e) Résoudre de même .
a) L'équation est de la forme , avec et . On applique le théorème du cours : tant sur que sur , une primitive de est donc la solution générale est
- ,
- ou encore (en posant ou , selon que l'intervalle considéré est ou ) :
- .
- C'est bien une droite vectorielle, engendrée par la solution .
b) donc la condition initiale, , équivaut à .
- La solution du problème de Cauchy sur est donc :
- .
c) Une solution de sur est une fonction dérivable sur , de la forme sur et sur , et telle que c'est-à-dire .
- Quel que soit le choix des deux constantes et , la fonction définie ainsi est bien dérivable (et même de classe C2) sur (y compris en 0).
- L'ensemble des solutions est donc un plan vectoriel, engendré par exemple par et .
d) donc le problème de Cauchy sur avec condition initiale n'a pas de solution.
e) pour et pour . Cette solution est toujours au moins C2. Pour que existe, il faut que , et la solution est alors C∞.
3. Résoudre :
- a) ;
- b) , pour ;
- c) , où ;
- d) .
a) .
b) .
c) Si , une solution générale est si , si , avec . Si l'on veut dérivable en il faut .
- Si , la forme générale d'une solution est , sur un intervalle ne contenant pas . On peut s'amuser à recoller les solutions en lorsque c'est possible, par ex. impair.
d) pour , avec recollement dérivable en les multiples entiers de (nul et de dérivée nulle en ces points), par croissances comparées.
4. Trouver toutes les applications continues telles que (poser ).
( sur , sur ), d'où .
5. Déterminer l'ensemble des fonctions continues sur vérifiant : et préciser leur régularité.
Les solutions sont les fonctions continues en et C1 sur telles que , c'est-à-dire , c'est-à-dire
- si , si et .
Si , est seulement C1 en ( n'existe pas). Mais si , est C∞.
6.
- Écrire l'équation de la tangente en au graphe de la fonction dérivable sur .
- Déterminer l'ensemble des fonctions dérivables sur telles qu'en tout point, la tangente à passe par .
- .
- .
Équations à coefficients variables avec second membre
[modifier | modifier le wikicode]1. a) Déterminer la solution générale de l'équation .
- b) Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) L'équation a une solution triviale : . L'équation homogène associée a pour solutions (cf. exercice précédent) . Les solutions de l'équation avec second membre sont donc :
- .
b) donc la condition initiale, , équivaut à . La solution unique vérifiant la condition initiale est donc :
- .
2. On considère l'équation .
- a) Résoudre l'équation homogène associée à sur , puis sur .
- b) Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver la solution générale de sur .
- c) Déterminer la solution générale de sur .
- d) Déterminer la solution générale de sur .
- e) Résoudre de même .
a) L'équation homogène est de la forme , avec et . On applique le théorème du cours :
- sur , une primitive de est donc la solution générale est
- ;
- sur , une primitive de est donc la solution générale est
- .
- sur , une primitive de est donc la solution générale est
b) Cherchons les solutions de sur sous la forme .
- L'équation sur équivaut à l'équation suivante sur : , c'est-à-dire .
- On calcule les primitives de par changement de variable et double intégration par parties, et l'on trouve :
- .
- La solution générale de sur est donc :
- .
c) De même, en cherchant les solutions de sur sous la forme ,
- l'équation sur équivaut à , et l'on trouve :
- donc
- .
d) Une solution de sur est une fonction dérivable sur , de la forme
- sur et sur ,
- et telle que c'est-à-dire , ce qui impose (par continuité en 0) et .
- La seule solution possible est donc :
- En , cette fonction est non seulement continue (par construction) mais dérivable et même de classe C1, d'après le théorème « limite de la dérivée ». En effet :
- ;
- .
- Donc est bien une solution (la seule) de sur .
- e)
- Sur , les solutions de l'équation homogène sont , et une solution particulière monomiale de est , donc la solution générale est (autre méthode : remarquer que ).
- Sur , les solutions de l'équation homogène sont , et une solution particulière monomiale de est , donc la solution générale est (autre méthode : remarquer que ).
- En , a une limite si et seulement si , et la dérivée à droite du prolongement est .
En , a une limite nulle, et la dérivée à droite du prolongement est .
L'unique solution C1 sur est donc si , si (et l'e.d. est encore vraie en ).
3. Résoudre :
- , en supposant .
- .
- .
- .
- , sur .
- , sur .
- , .
- .
- .
- , , , , .
- .
- .
- , , , , .
- .
- Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme .
- Par variation de la constante, les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme
- avec fonction solution de , c'est-à-dire
- donc .
- La condition initiale équivaut alors à donc à , et la solution correspondante est donc .
- , , , , .
- .
- Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme .
- Par variation de la constante, les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme
- avec fonction solution de , c'est-à-dire
- donc .
- La condition initiale équivaut alors à donc à , et la solution correspondante est donc .
- , , , , .
- .
- Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme .
- Par variation de la constante, les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme
- (on peut toujours mettre une fonction sur sous cette forme : en posant ) avec fonction solution de
- (équation obtenue en remplaçant par et par ), c'est-à-dire
- donc .
- La condition initiale équivaut alors à , et la solution correspondante est donc .
- et comme pour l'équation précédente, les solutions sont les fonctions de la forme
- avec fonction solution de , c'est-à-dire (après calcul d'une primitive de )
- donc .
- et comme pour les deux équations précédentes, les solutions sont les fonctions de la forme
- avec fonction solution de .
- Les solutions sur de cette équation sont les fonctions donc les solutions sur de (E) sont les fonctions .
- Variante de rédaction pour la fin, mais ne surtout pas mélanger les deux : une solution particulière est d'où , donc les solutions sont les fonctions .
- , , , , .
- .
- Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme .
- Par variation de la constante, les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme
- avec fonction solution de , c'est-à-dire .
- donc .
- La condition initiale équivaut alors à .
- Solution particulière : .
- Solution générale de l'équation homogène : .
- Solution générale de l'équation avec second membre : ().
- Solution particulière : .
- Solution générale de l'équation homogène : .
- Solution générale de l'équation avec second membre : ().
4. Dans cet exercice, on notera la fonction définie par (pour ).
- Démontrer que pour tout ,
- .
- Résoudre l'équation différentielle suivante pour :
- .
- Donner la solution définie sur de l'équation différentielle
- qui vérifie .
- et .
- .
- , avec , c'est-à-dire .
Résolutions générales d'équations complètes
[modifier | modifier le wikicode]Intégrer les équations suivantes :
1.
2.
3.
4. , où est un réel donné.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1.
Mettons l'équation sous forme normale :
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Résolution de l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant
- Or
Donc |
2. se réécrit , soit , que l’on résout sur par exemple (problème de définition en 0).
Donc . |
3.
Mettons l'équation sous forme normale : que l’on résout sur par exemple (problème de définition en –1 et 1)
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
est solution constante évidente.
Donc |
4. , où est un réel donné.
Mettons l'équation sous forme normale : que l’on résout sur par exemple (problème de définition en –1 et 1)
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
est solution constante évidente.
Donc |
5.
Mettons l'équation sous forme normale : que l’on résout sur par exemple (problème de définition en –1 et 1)
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant
- car
- On pose
- Alors
Donc |
6.
L'équation est sous forme normale. On la résout sur par exemple (problème de définition en 0).
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Résolution de l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant
- Or
Donc |
7. . L'équation n'a de sens que sur .
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- Une primitive de
- .
- est
- .
- Les solutions de l'équation homogène sont donc :
- Résolution de l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant . On a alors, sur ou :
- .
- Recollement en 0 :
Si alors donc pas de recollement continu. En revanche, si alors donc recollement C1 : .
8. .
- Les solutions de l'équation homogène sont .
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant . Alors,
- .
- Les solutions de sont donc .
- Au lieu d'appliquer la méthode de la variation de la constante, on aurait pu remarquer la solution particulière .
9. .
- Les solutions de l'équation homogène sont .
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant . Alors,
- .
- Les solutions de sont donc .
10. .
- Les solutions de l'équation homogène sont .
- Ici, les deux méthodes (variation de la constante ou recherche d'une solution particulière) marchent.
- Variation de la constante : on pose . Alors,
- .
- Les solutions de sont donc .
- Recherche d'une solution particulière, de la forme (avec ).
- Par identification des termes dominants, on doit avoir , donc et , si bien que ,
- et ce polynôme est solution de si et , c'est-à-dire et .
- On retrouve ainsi comme solution particulière, et l'on conclut de même.
11.
- Les solutions de l'équation homogène sont .
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant . Alors, sur ou ,
- .
- Les solutions de sont donc .
- Plus précisément : si et si . En , cette fonction est toujours au moins C1 (). Pour qu'elle soit C2, il faut que (), et elle est alors C∞.
- Vu le résultat, la recherche d'un polynôme solution particulière aboutirait aussi, mais ce polynôme serait de degré 4 donc calculs compliqués.
12.
Sur , en posant , l'équation devient , d'où ( sur , sur ) : .
La limite de en existe si et seulement si , et elle vaut alors .
De plus, est bien dérivable en et vérifie l'équation aussi en .
13.
avec donc ().
Problème de la fourmi sur un élastique
[modifier | modifier le wikicode]Un élastique, de longueur initiale , a une extrémité fixe et une extrémité mobile , qui s'éloigne de , sur , à une vitesse constante . Une fourmi, initialement en , marche sur l'élastique à vitesse constante . Arrivera-t-elle au bout de l'élastique ?
Un point de l'élastique d'abscisse initiale aura pour abscisse, à l'instant : , donc pour vitesse .
Soit l'abscisse de la fourmi à l'instant . Sa vitesse absolue est alors . La fonction est donc la solution du problème de Cauchy
- .
Les solutions de l'équation homogène associée sont . Les solutions de l'équation complète sont donc , avec , et celle nulle en 0 correspond à , soit . La fourmi atteint l'extrémité lorsque , c'est-à-dire , soit .
Système différentiel à coefficients constants
[modifier | modifier le wikicode]Système homogène, matrice diagonalisable
[modifier | modifier le wikicode]Soit . Résoudre .
donc les valeurs propres sont , et . Une base propre est (dans le même ordre) avec
- .
Les solutions sont donc .
Résoudre le problème de Cauchy
- ,
où
- et .
Les valeurs propres de sont , de vecteurs propres associés :
- .
Les solutions complexes de sont les fonctions de la forme
- ,
qui forment un -espace vectoriel de dimension 4. Le -sous-espace vectoriel de dimension 4 des solutions réelles est
- .
Plus explicitement, les solutions réelles sont
- .
- (ou encore, sans passer par les solutions réelles : )
donc la solution du problème de Cauchy est
- .
Système non homogène, matrice diagonalisable
[modifier | modifier le wikicode]Résoudre le système différentiel :
- .
Le système équivaut à avec