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Exercice : Résolution d'équationsFonctions circulaires réciproques/Exercices/Résolution d'équations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre l'équation :
2
arccos
x
=
arcsin
(
2
x
)
{\displaystyle 2\arccos x=\arcsin {(2x)}}
Solution
Un réel
x
{\displaystyle x}
α
∈
(
2
[
0
,
π
]
)
∩
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \alpha \in \left(2\left[0,\pi \right]\right)\cap \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
cos
α
2
=
x
et
sin
α
=
2
x
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=x\quad {\text{et}}\quad \sin \alpha =2x}
Or
∀
α
∈
[
0
,
π
2
]
2
cos
α
2
≥
2
>
1
≥
sin
α
{\displaystyle \forall \alpha \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\quad 2\cos {\frac {\alpha }{2}}\geq {\sqrt {2}}>1\geq \sin \alpha }
Il n'y a donc pas de solution.
Résoudre l'équation :
arctan
x
+
arctan
(
x
+
1
)
=
π
4
{\displaystyle \arctan x+\arctan {\left(x+1\right)}={\frac {\pi }{4}}}
Solution
Un réel
x
{\displaystyle x}
α
,
β
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}
tan
α
=
x
,
tan
β
=
x
+
1
et
α
+
β
=
π
4
{\displaystyle \tan \alpha =x,\quad \tan \beta =x+1\quad {\text{et}}\quad \alpha +\beta ={\frac {\pi }{4}}}
c'est-à-dire s'il existe
α
∈
]
−
π
4
,
π
2
[
{\displaystyle \alpha \in \left]-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}\right[}
tan
α
=
x
et
tan
(
π
4
−
α
)
=
x
+
1
{\displaystyle \tan \alpha =x\quad {\text{et}}\quad \tan {\left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}=x+1}
ou encore, si
x
∈
]
−
1
,
+
∞
[
et
1
−
x
1
+
x
=
x
+
1
{\displaystyle x\in \left]-1,+\infty \right[\quad {\text{et}}\quad {\frac {1-x}{1+x}}=x+1}
Or
(
x
+
1
)
2
−
(
1
−
x
)
=
x
(
x
+
3
)
{\displaystyle \left(x+1\right)^{2}-\left(1-x\right)=x\left(x+3\right)}
−
3
∉
]
−
1
,
+
∞
[
{\displaystyle -3\notin \left]-1,+\infty \right[}
La seule solution est donc
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Résoudre l'équation :
arccos
x
=
arcsin
1
3
+
arccos
1
4
{\displaystyle \arccos x=\arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}}
Solution
On vérifie d'abord que
arcsin
1
3
+
arccos
1
4
{\displaystyle \arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}}
x
=
cos
(
arcsin
1
3
+
arccos
1
4
)
=
cos
(
arcsin
1
3
)
cos
(
arccos
1
4
)
−
sin
(
arcsin
1
3
)
sin
(
arccos
1
4
)
=
1
4
1
−
(
1
3
)
2
−
1
3
1
−
(
1
4
)
2
=
2
6
−
15
12
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \left(\arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}\right)\\&=\cos \left(\arcsin {\frac {1}{3}}\right)\cos \left(\arccos {\frac {1}{4}}\right)-\sin \left(\arcsin {\frac {1}{3}}\right)\sin \left(\arccos {\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{6}}-{\frac {\sqrt {15}}{12}}.\end{aligned}}}
Résoudre l'équation :
arcsin
(
tan
x
)
=
x
{\displaystyle \arcsin {(\tan x)}=x}
Solution
arcsin
(
tan
x
)
=
x
⇔
−
π
2
<
x
<
π
2
et
tan
x
=
sin
x
⇔
−
π
2
<
x
<
π
2
et
(
sin
x
=
0
ou
cos
x
=
1
)
⇔
x
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin {(\tan x)}&=x\Leftrightarrow -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}\tan x=\sin x\\&\Leftrightarrow -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}\left(\sin x=0{\text{ ou }}\cos x=1\right)\\&\Leftrightarrow x=0.\end{aligned}}}
![{\displaystyle \alpha \in \left(2\left[0,\pi \right]\right)\cap \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261db107a556ea4ad8e869a53167413d317d303d)
![{\displaystyle \forall \alpha \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\quad 2\cos {\frac {\alpha }{2}}\geq {\sqrt {2}}>1\geq \sin \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6452eec2e2d6fdde81107d9b97c4a8d6d84a5d2c)
![{\displaystyle \alpha ,\beta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ef01f325127eb1b3180595fba186eb9ee75e97)
![{\displaystyle \alpha \in \left]-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20e67032e76d98fc49862f3ac467527d2bd09d0)
![{\displaystyle x\in \left]-1,+\infty \right[\quad {\text{et}}\quad {\frac {1-x}{1+x}}=x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4024504bdaa15a9b172d57cd472ff00b42bfbe05)
![{\displaystyle -3\notin \left]-1,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10f9b1b18157373e6eb06ab1369a1eab096c517)
