Leçons de niveau 11

Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection

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Injection, surjection, bijection
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Exercices no2
Leçon : Application (mathématiques)
Chapitre du cours : Injection, surjection, bijection

Ces exercices sont de niveau 11.

Exo préc. :Images directes et réciproques
Exo suiv. :Bijections canoniques
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Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. est injective ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. est surjective ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux applications. Démontrer que :

  1. si et sont injectives alors est injective ;
  2. si et sont surjectives alors est surjective ;
  3. si est injective alors est injective ;
  4. si est surjective alors est surjective ;
  5. si est injective et si est surjective alors est injective ;
  6. si est surjective et si est injective alors est surjective.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit une injection. On suppose .

  1. Montrer qu'il existe une application telle que .
  2. En déduire que :
    1. pour toute application , il existe une application telle  ;
    2. est simplifiable à gauche, c.-à-d.
       ;
    3. si et s'il existe une injection de dans , alors il existe une surjection de dans .
  3. Qu'en est-il si  ?
  4. Montrer que réciproquement, toute application simplifiable à gauche est injective.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Montrer qu'une application est surjective si et seulement si elle est simplifiable à droite, c.-à-d.

.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Étant données deux applications , soit . Montrer que :

  1. si et sont injectives alors l'est ;
  2. la réciproque est vraie si et sont non vides ;
  3. si et sont surjectives alors l'est ;
  4. la réciproque est vraie si et sont non vides.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soient , et trois ensembles.

  1. Montrer que si alors l'application est surjective, mais non injective en général.
  2. Qu'en est-il si  ?
  3. Soit une application . On lui associe une application en posant : . Vérifier que (pour la notation , cf. exercice précédent).
  4. A-t-on :
    1. surjective surjective ?
    2. surjective surjective ?
    3. injective surjective ?
    4. injective injective ?