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Exercice : Injection, surjection, bijection
Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
- est injective ;
- ;
- ;
- .
Soit une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
- est surjective ;
- ;
- .
Soient , et trois applications. Démontrer que :
- si et sont injectives alors est injective ;
- si et sont surjectives alors est surjective ;
- si est injective alors est injective ;
- si est surjective alors est surjective ;
- si est injective et si est surjective alors est injective ;
- si est surjective et si est injective alors est surjective ;
- et sont bijectives si et seulement si , et le sont.
Solution
- Supposons . Si est injective, on en déduit que donc si de plus est injective, .
- Supposons et surjectives, c'est-à-dire et . Alors, .
- Supposons . Alors, donc, si est injective, .
- Supposons surjective. Alors, .
- Supposons injective et surjective. Alors, est bijective (d'après le point 3) donc existe, ce qui permet d'écrire , composée de deux injections donc injective (d'après le point 1).
- Supposons surjective et injective. Alors, est bijective (d'après le point 4) donc existe, ce qui permet d'écrire , composée de deux surjections donc surjective (d'après le point 2).
- Si , et sont bijectives alors et le sont, d'après 1 et 2. Réciproquement, supposons et bijectives. Alors, est bijective d'après 3 et 4, donc et sont bijectives, d'après le sens direct.
Soit une injection. On suppose .
- Montrer qu'il existe une application telle que .
- En déduire que :
- pour toute application , il existe une application telle ;
- est simplifiable à gauche, c'est-à-dire
- ;
- si et s'il existe une injection de dans , alors il existe une surjection de dans .
- Qu'en est-il si ?
- Montrer que réciproquement, toute application simplifiable à gauche est injective.
Solution
- La condition équivaut à : pour tout , est égal à l'unique antécédent de par . On peut donc définir ainsi sur , et compléter arbitrairement sur , en posant par exemple, pour un élément fixé (il en existe puisque ) : .
-
- convient.
- .
- L'application construite ci-dessus est surjective car l'est (cf. exercice précédent).
- Si alors, pour tout ensemble , l'unique application (de graphe ) est injective, mais il n'existe aucune application (et a fortiori, aucune surjection) , sauf si (dans ce cas, on aura bien ). Cependant, même si , est simplifiable à gauche car pour tout , il existe au plus une application (une si et aucune si ).
- Soit une application simplifiable à gauche. Pour tous tels que , notons un singleton arbitraire (par exemple ) et définissons par : et . Alors, donc , c'est-à-dire .
Montrer qu'une application est surjective si et seulement si elle est simplifiable à droite, c'est-à-dire
- .
Étant données deux applications , soit . Montrer que :
- si et sont injectives alors l'est ;
- la réciproque est vraie si et sont non vides ;
- si et sont surjectives alors l'est ;
- la réciproque est vraie si et sont non vides.
Solution
- Supposons que et sont injectives et montrons que l'est.
- Première méthode. Si , c'est-à-dire si , ou encore et alors et donc .
- Seconde méthode (utilisant l'exercice 4). Si ou est vide alors est évidemment injective (c'est l'application de dans , de graphe vide). Sinon, il existe telles que et , d'où .
- Supposons injective et et montrons que est injective. Par hypothèse, il existe . Si alors donc donc . On montre de même que si est injective et alors est injective.
- Supposons que et sont surjectives et montrons que l'est. Soit . Puisque , il existe (par surjectivité de ) au moins un tel que . De même, il existe tel que . Alors, .
- Supposons surjective et et montrons que est surjective. Par hypothèse, il existe . Pour tout , il existe alors (par surjectivité de ) au moins un tel que , d'où . On montre de même que si est surjective et alors est surjective.
Soient , et trois ensembles.
- Montrer que si alors l'application est surjective, mais non injective en général.
- Qu'en est-il si ?
- Soit une application . On lui associe une application en posant : . Vérifier que (pour la notation , cf. exercice précédent).
- A-t-on :
- surjective surjective ?
- surjective surjective ?
- injective surjective ?
- injective injective ?
Solution
- Supposons et montrons que est surjective. Par hypothèse, il existe au moins un . Pour tout , notons l'application constante . Alors, .
En général, n'est pas injective et même : il n'existe aucune injection de dans si — par exemple si .
- Si alors est l'application de dans , de graphe vide. Elle est toujours injective, mais n'est surjective que si .
- .
-
- On déduit des questions précédentes que si et si est surjective (donc aussi d'après l'exercice précédent), alors aussi.
(Lorsque , est surjective si et seulement si , et est surjective si et seulement si .)
- La réciproque est fausse et même : dès que , il existe des surjections mais aucune de dans si — par exemple si .
- On déduit de la question 3 que si est injective alors aussi, donc aussi si .
(Lorsque , est toujours injective, mais ne l'est que si .)
- La réciproque est fausse en général, à cause de la non-injectivité de . Par exemple lorsque , est toujours injective, mais ne peut pas l'être si .
Soient et deux parties d'un ensemble et
- .
Donner une condition nécessaire et suffisante sur et pour que soit :
- injective ;
- surjective ;
- bijective.
Solution
- donc si est injective alors . Réciproquement, si alors est injective car pour tout , donc la donnée de détermine complètement .
- Si est surjective, soit tel que . Alors, donc . Réciproquement, si alors, pour tout , on a donc , ce qui prouve que est surjective.
- D'après les deux questions précédentes, est bijective si et seulement si et sont complémentaires dans .
Soit .
- est-elle injective ? surjective ?
- Montrer que .
- Montrer que , restriction de , est une bijection.
- Retrouver ce résultat en étudiant les variations de .
Solution
- n'est ni injective ( pour tout ), ni surjective ().
- Un réel appartient à si et seulement si l'équation a des solutions, c'est-à-dire si .
- a comme unique antécédent, et un réel non nul de a deux antécédents dans , inverses l'un de l'autre, donc un et un seul antécédent dans .
- donc est continue et strictement croissante sur , donc est une bijection de sur .
Montrer que l'application est bijective et expliciter la bijection réciproque.
Solution
Soient et .
.
Soient , et . Démontrer que :
- ;
- . Pourquoi faut-il supposer ?
Soit . On définit par : .
Montrer que est injective si et seulement si est surjective.
Soit une famille de sous-ensembles de .
On considère l'application .
À quelle condition est-elle injective ? surjective ? En général, quelle est son image ?