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Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection

Leçons de niveau 11
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Injection, surjection, bijection
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Exercices no2
Leçon : Application (mathématiques)
Chapitre du cours : Injection, surjection, bijection

Exercices de niveau 11.

Exo préc. :Images directes et réciproques
Exo suiv. :Bijections canoniques
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Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection
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Soit une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. est injective ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Soit une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. est surjective ;
  2.  ;
  3. .

Soient , et trois applications. Démontrer que :

  1. si et sont injectives alors est injective ;
  2. si et sont surjectives alors est surjective ;
  3. si est injective alors est injective ;
  4. si est surjective alors est surjective ;
  5. si est injective et si est surjective alors est injective ;
  6. si est surjective et si est injective alors est surjective ;
  7. et sont bijectives si et seulement si , et le sont.

Soit une injection. On suppose .

  1. Montrer qu'il existe une application telle que .
  2. En déduire que :
    1. pour toute application , il existe une application telle  ;
    2. est simplifiable à gauche, c'est-à-dire
       ;
    3. si et s'il existe une injection de dans , alors il existe une surjection de dans .
  3. Qu'en est-il si  ?
  4. Montrer que réciproquement, toute application simplifiable à gauche est injective.

Montrer qu'une application est surjective si et seulement si elle est simplifiable à droite, c'est-à-dire

.

Étant données deux applications , soit . Montrer que :

  1. si et sont injectives alors l'est ;
  2. la réciproque est vraie si et sont non vides ;
  3. si et sont surjectives alors l'est ;
  4. la réciproque est vraie si et sont non vides.

Soient , et trois ensembles.

  1. Montrer que si alors l'application est surjective, mais non injective en général.
  2. Qu'en est-il si  ?
  3. Soit une application . On lui associe une application en posant : . Vérifier que (pour la notation , cf. exercice précédent).
  4. A-t-on :
    1. surjective surjective ?
    2. surjective surjective ?
    3. injective surjective ?
    4. injective injective ?

Soient et deux parties d'un ensemble et

.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur et pour que soit :

  1. injective ;
  2. surjective ;
  3. bijective.

Soit .

  1. est-elle injective ? surjective ?
  2. Montrer que .
  3. Montrer que , restriction de , est une bijection.
  4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de .

Montrer que l'application est bijective et expliciter la bijection réciproque.

Soient , et . Démontrer que :

  1.  ;
  2. . Pourquoi faut-il supposer  ?

Soit . On définit par : .

Montrer que est injective si et seulement si est surjective.

Soit une famille de sous-ensembles de .

On considère l'application .

À quelle condition est-elle injective ? surjective ? En général, quelle est son image ?