Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité

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Différentiabilité
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Exercices no1
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Différentiabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Inversion locale, fonctions implicites
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Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

On se propose d'étendre aux espaces vectoriels normés le théorème « limite de la dérivée », et de le renforcer en allégeant ses hypothèses. Soient et deux espaces vectoriels normés, un ouvert de et un point de .

  1. Soit une application continue au point , différentiable sur , et dont la différentielle admet au point une limite : .
    À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que est différentiable au point et .
  2. Soit une application différentiable et dont la différentielle admet une limite au point . À l'aide du critère de Cauchy pour une fonction, démontrer que si est complet et , alors elle-même admet une limite en (si bien que d'après la question précédente, elle se prolonge en une fonction de classe C1 en ce point).
  3. Quelle variante de la question 2 peut-on énoncer si  ?

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une algèbre de Banach unifère, c'est-à-dire une -algèbre unifère munie d'une norme :

  • sous-multiplicative (c'est-à-dire telle que ) ;
  • pour laquelle est complète

(par exemple : l'algèbre munie de la norme , où est un espace de Banach).

Démontrer que :

  1. (où désigne l'élément unité de et par convention, ) ;
  2. dans , le groupe des éléments inversibles est ouvert ;
  3. l'application est différentiable et  ;
  4. l'application est même de classe C.
  5. Dans le cas particulier , retrouver directement le résultat des questions 2, 4, puis 3.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace vectoriel normé, un ouvert de contenant et une fonction continue et admettant par rapport à sa seconde variable une fonction différentielle continue sur . Pour fixé, dans l'espace des applications continues (muni de la norme de la convergence uniforme), on considère l'ouvert de celles qui vérifient : .

Démontrer que l'application définie par est continûment différentiable et que .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient , un espace vectoriel normé et l'espace des fonctions de dans , de classe C1 et nulles en , muni de la norme , où est la norme de la convergence uniforme. Montrer que l'application est de classe C1.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction différentiable telle que . Montrer qu'il existe une fonction dérivable telle que .

Voir aussi : Continuité et différentiabilité de fonctions de dans , Exercice 7.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient de classe C1 et de classe C1. On considère
    .
    Montrer que est bien définie sur , de classe C1 et calculer .
  2. Application :

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient et deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de à l'aide de celles de et de .
  2. Application à . Soit une fonction différentiable sur .
    1. On pose et . Exprimer et à l'aide des dérivées partielles de (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les opérateurs différentiels et ).
    2. Plus généralement, exprimer et à l'aide des dérivées partielles de .
    3. Exprimer de même le « laplacien en coordonnées polaires », c'est-à-dire , où , à l'aide des dérivées partielles premières et secondes de

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables) ».

Soient et deux -espaces vectoriels normés ( ou ), un cône de , une application différentiable, et un élément de .

Montrer que est positivement homogène de degré (c.-à-d. ) si et seulement si elle vérifie la condition d'Euler :

.

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux fonctions différentiables. Justifier que les applications suivantes sont différentiables et calculer leur différentielle.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Si est une application différentiable de dans , on note

.
  1. Calculer pour .
  2. Justifier que si et sont des applications telles que , alors .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction . Montrer que pour tous réels distincts et , il n'existe aucun réel tel que .

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Justifier que est différentiable.
  2. Montrer que , où désigne la norme subordonnée à la norme euclidienne sur .
  3. En déduire que pour tout , la suite définie par est convergente.

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer les fonctions dérivables telles que .

Pour une étude complète de cette équation fonctionnelle, voir Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 4.

Exercice 14[modifier | modifier le wikicode]

Redémontrer directement le corollaire 1 du cours (dont le corollaire 2 est une conséquence immédiate très utile) dans le cas particulier plus simple est l'espace euclidien , c.-à-d. :

Soient et continue sur et dérivable sur . Si alors .

Indication : appliquer le théorème des accroissements finis usuel à la fonction .

Exercice 15[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Dérivée directionnelle ».

Soient et deux e.v.n. et une application. La dérivée directionnelle de en un point selon un vecteur est par définition la limite suivante, lorsqu'elle existe :

.
  1. Vérifier que si cette dérivée directionnelle selon existe, alors celle selon existe aussi et est le produit par de celle selon (pour tout scalaire ).
  2. Montrer que si est différentiable en alors sa dérivée directionnelle en selon existe et est égale à (pour tout vecteur ).
  3. Montrer que si, pour toute courbe telle que et , la fonction est dérivable en , alors admet en une dérivée directionnelle selon .

Exercice 16[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux e.v.n. réels. Une application est dite homogène de degré si .

  1. Parmi les fonctions homogènes de degré , lesquelles sont continues en  ?
  2. Montrer que si est homogène de degré et bornée sur la sphère unité, alors est continue en .
  3. Montrer que si est homogène de degré et différentiable en , alors ou bien est linéaire (et ), ou bien et .
  4. Montrer que si est homogène de degré et bornée sur la sphère unité, alors est différentiable en (et ).
  5. Application : étudier la continuité et la différentiabilité en des fonctions définies par
    • si et  ;
    • si et  ;
    • si et (discuter suivant les valeurs de ).