Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité

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Différentiabilité
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Exercices no1
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Différentiabilité

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Inversion locale, fonctions implicites
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Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

On se propose d'étendre aux espaces vectoriels normés le théorème « limite de la dérivée », et de le renforcer en allégeant ses hypothèses. Soient et deux espaces vectoriels normés, un ouvert de et un point de .

  1. Soit une application continue au point , différentiable sur , et dont la différentielle admet au point une limite : .
    À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que est différentiable au point et .
  2. Soit une application différentiable et dont la différentielle admet une limite au point . À l'aide du critère de Cauchy pour une fonction, démontrer que si est complet et , alors elle-même admet une limite en (si bien que d'après la question précédente, elle se prolonge en une fonction de classe C1 en ce point).
  3. Quelle variante de la question 2 peut-on énoncer si  ?

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une algèbre de Banach unifère, c'est-à-dire une -algèbre unifère munie d'une norme :

  • sous-multiplicative (c'est-à-dire telle que ) ;
  • pour laquelle est complète

(par exemple : l'algèbre munie de la norme , où est un espace de Banach).

Démontrer que :

  1. (où désigne l'élément unité de et par convention, ) ;
  2. dans , le groupe des éléments inversibles est ouvert ;
  3. l'application est différentiable et  ;
  4. l'application est même de classe C.
  5. Dans le cas particulier , retrouver directement le résultat des questions 2, 4, puis 3.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace vectoriel normé, un ouvert de contenant et une fonction continue et admettant par rapport à sa seconde variable une fonction différentielle continue sur . Pour fixé, dans l'espace des applications continues (muni de la norme de la convergence uniforme), on considère l'ouvert de celles qui vérifient : .

Démontrer que l'application définie par est continûment différentiable et que .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient , un espace vectoriel normé et l'espace des fonctions de dans , de classe C1 et nulles en , muni de la norme , où est la norme de la convergence uniforme. Montrer que l'application est de classe C1.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction différentiable telle que . Montrer qu'il existe une fonction dérivable telle que .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient de classe C1 et de classe C1. On considère
    .
    Montrer que est bien définie sur , de classe C1 et calculer .
  2. Application :

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient et deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de à l'aide de celles de et de .
  2. Application à . Soit une fonction différentiable sur .
    1. On pose et . Exprimer et à l'aide des dérivées partielles de (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les opérateurs différentiels et ).
    2. Plus généralement, exprimer et à l'aide des dérivées partielles de .
    3. Exprimer de même le « laplacien en coordonnées polaires », c'est-à-dire , où , à l'aide des dérivées partielles premières et secondes de

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables) ».

Soit et deux -espaces vectoriels normés ( ou ), un cône de , une application différentiable, et un élément de .

Montrer que est positivement homogène de degré (c.-à-d. ) si et seulement si elle vérifie la condition d'Euler :

.

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux fonctions différentiables. Justifier que les applications suivantes sont différentiables et calculer leur différentielle.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Si est une application différentiable de dans , on note

.
  1. Calculer pour .
  2. Justifier que si et sont des applications telles que , alors .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction . Montrer que pour tous réels distincts et , il n'existe aucun réel tel que .

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Justifier que est de classe C1.
  2. Montrer que , où désigne la norme subordonnée à la norme euclidienne sur .
  3. En déduire que pour tout , la suite définie par est convergente.