Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité
Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]
On se propose d'étendre aux espaces vectoriels normés le théorème « limite de la dérivée », et de le renforcer en allégeant ses hypothèses. Soient et deux espaces vectoriels normés, un ouvert de et un point de .
- Soit une application continue au point , différentiable sur , et dont la différentielle admet au point une limite : .
À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que est différentiable au point et . - Application : montrer que la fonction
est de classe C1. - Soit une application différentiable et dont la différentielle admet une limite au point . À l'aide du critère de Cauchy pour une fonction, démontrer que si est complet et , alors elle-même admet une limite en (si bien que d'après la question précédente, elle se prolonge en une fonction de classe C1 en ce point).
- Quelle variante de la question 3 peut-on énoncer si ?
1°) Posons, pour tout tel que :
- .
Alors, est continue en et si , . La fonction
(définie pour suffisamment petit) vérifie donc :
- .
Enfin, d'après l'inégalité des accroissements finis,
- ,
ce qui prouve que .
2°) est évidemment C∞ sur et continue en .
En tout point , donc . De même, .
D'après la question 1) ceci prouve que et est de classe C1 en .
Mais pas deux fois différentiable, car donc n'est pas définie (de même, non plus).
3°) Il s'agit de démontrer que .
Puisque admet une limite en , il existe tels que .
Pour , si , on déduit alors de l'inégalité des accroissements finis que
- .
Si , il suffit d'utiliser un vecteur auxiliaire , non colinéaire à et (c'est ici qu'on a besoin que soit de dimension ) et de norme : on aura
- .
4°) Si (complet) est dérivable et si sa dérivée admet une limite à droite au point , alors elle-même admet une limite à droite en (et de même en remplaçant partout « droite » par « gauche » et par ).
Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]
Soit une algèbre de Banach unifère, c'est-à-dire une -algèbre unifère munie d'une norme :
- sous-multiplicative (c'est-à-dire telle que ) ;
- pour laquelle est complète
(par exemple : l'algèbre munie de la norme , où est un espace de Banach).
Démontrer que :
- (où désigne l'élément unité de et par convention, ) ;
- dans , le groupe des éléments inversibles est ouvert ;
- l'application est différentiable et ;
- l'application est même de classe C∞.
- Dans le cas particulier , retrouver directement le résultat des questions 2, 4, puis 3.
1°) La série est absolument convergente car est majoré par , qui est le terme général d'une série géométrique convergente. La multiplication est continue (sa norme d'application bilinéaire vaut ) donc et de même, .
2°) Soient et . Soit de norme . Alors (d'après la sous-multiplicativité) donc (d'après la question précédente) est inversible. L'élément étant inversible, le produit l'est aussi ; ainsi , ce qui prouve que est ouvert.
3°) Montrons d'abord que est différentiable en et . Pour tout de norme , et .
Pour et comme dans la question 2, on se ramène à la formule précédente « par translation » : pour tout de norme , donc est différentiable en et pour tout , .
4°) est la composée de par deux applications de classe C∞ : l'application (linéaire continue) et l'application (bilinéaire continue). On en déduit par récurrence que est de classe Cn pour tout n : c'est acquis pour n = 0 et si est de classe Cn alors aussi, donc est de classe Cn+1.
5°) Si , est l'ouvert des matrices de déterminant non nul, et est de classe C∞ sur cet ouvert puisque l'expression d'une matrice inverse par la formule des cofacteurs est une fonction rationnelle des coefficients de . Enfin, l'identité donne, par différentiation :
- ,
d'où
- .
- Références
-
- François Laudenbach, Calcul différentiel et intégral, éd. École Polytechnique, 2000 (ISBN 978-2-73020724-9) [lire en ligne], p. 58
- Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne, exemple (8.12.1)
- Ralph Abraham, Jerrold E. Mardsen et Tudor Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications [lire en ligne], p. 104-105
Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]
Soient un espace vectoriel normé, un ouvert de contenant et une fonction continue et admettant par rapport à sa seconde variable une fonction différentielle continue sur . Pour fixé, dans l'espace des applications continues (muni de la norme de la convergence uniforme), on considère l'ouvert de celles qui vérifient : .
Démontrer que l'application définie par est continûment différentiable et que .
En notant et , on a, d'après l'inégalité des accroissements finis :
donc
L'image par du compact est un compact et l'application est continue sur donc (par une généralisation du théorème de Heine) : .
Ceci prouve que et termine la démonstration de . La fonction est donc bien celle annoncée. De plus, elle est continue car .
Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]
Soient , un espace vectoriel normé et l'espace des fonctions de dans , de classe C1 et nulles en , muni de la norme , où est la norme de la convergence uniforme. Montrer que l'application est de classe C1.
Montrons que les deux dérivées partielles de ( par rapport à et par rapport à ) existent et sont continues.
- existe : pour tout , l'application est linéaire et continue (car ) donc différentiable en tout point , et (indépendante de ).
- est continue : l'application , de dans , est continue et même -lipschitzienne : pour tout , donc .
- existe : par définition.
- est continue : pour tous et ,
quand et .
Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]
Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]
- Soient de classe C1 et de classe C1. On considère
- .
- Montrer que est bien définie sur , de classe C1 et calculer .
- Application :
- où est définie par :
- .
- La fonction est bien définie et de classe C1 (car d'après ce qui suit, ses trois dérivées partielles sont définies et continues grâce aux hypothèses) donc aussi.
- ,
- ,
- donc (dérivée d'une fonction composée) :
- .
- , , .
, , .
(La dernière égalité utilise l'identité remarquable sur la somme de deux arctan.)
Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]
- Soient et deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de à l'aide de celles de et de .
- Application à . Soit une fonction différentiable sur .
- On pose et . Exprimer et à l'aide des dérivées partielles de (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les opérateurs différentiels et ).
- Plus généralement, exprimer et à l'aide des dérivées partielles de .
- Exprimer de même le « laplacien en coordonnées polaires », c'est-à-dire , où , à l'aide des dérivées partielles premières et secondes de .
- Trouver toutes les fonctions différentiables vérifiant : et admettant une limite en .
- En développant , on trouve :
et
. - donc
et
.- et
. - donc
Un autre méthode est d'utiliser la sous-question précédente :
donc
;
donc
.
et
donc
.
- et
- ,
où est une fonction différentiable -périodique, et f admet une limite en si et seulement si est constante.
Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]
Soient et deux -espaces vectoriels normés ( ou ), un cône de , une application différentiable, et un élément de .
Montrer que est positivement homogène de degré (c.-à-d. ) si et seulement si elle vérifie la condition d'Euler :
- .
est positivement homogène de degré si et seulement si pour tout , la fonction est constante, c'est-à-dire si sa dérivée est nulle :
- ,
ou encore :
- ,
ce qui équivaut bien à la condition d'Euler :
- .
Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]
Soient et deux fonctions différentiables. Justifier que les applications suivantes sont différentiables et calculer leur différentielle.
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- avec linéaire donc est différentiable et , c.-à-d.
autrement dit : est dérivable et . - avec linéaire donc est différentiable et , c.-à-d.
. - avec linéaire donc est différentiable et
, c.-à-d.
. - avec polynomiale. , donc est différentiable et
, c.-à-d.
. - avec polynomiale. , donc est différentiable et
, c.-à-d.
.
Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]
Si est une application différentiable de dans , on note
- .
- Calculer pour .
- Justifier que si et sont des applications telles que , alors .
- Soient et . Si , alors
et
.
Ou plus simplement : dire que revient à dire qu'en tout point, la matrice jacobienne de est une matrice de similitude directe ou la matrice nulle, or l'ensemble de ces matrices est stable par produit.
Remarque : vue comme fonction de dans , l'application de la première question est . De même, pour tout entier , l'application correspondant à vérifie .
Voir aussi : Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes.
Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]
On considère la fonction . Montrer que pour tous réels distincts et , il n'existe aucun réel tel que .
Pour tout réel ,
- ,
alors que si ,
- .
Il n'y a donc pas d'égalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles. Remarquons que pour , on a même .
Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]
Soit .
- Justifier que est différentiable.
- Montrer que , où désigne la norme subordonnée à la norme euclidienne sur .
- En déduire que pour tout , la suite définie par est convergente.
- est même de classe C∞ car ses deux composantes et le sont : et , où sont les deux projections canoniques.
- La matrice jacobienne de au point est donc .
- D'après l'inégalité des accroissements finis, est -lipschitzienne. On conclut grâce au théorème du point fixe de Picard-Banach.
Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer les fonctions dérivables telles que .
En dérivant cette équation fonctionnelle par rapport à et à , on trouve :
- .
Si n'est pas constante, il existe tel que et l'on a alors :
donc
- , avec donc .
Les seules solutions possibles sont donc les fonctions constantes et l'application identité. Réciproquement, ces fonctions sont bien solutions.
Pour une étude complète de cette équation fonctionnelle, voir Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 4.
Exercice 14[modifier | modifier le wikicode]
Redémontrer directement le corollaire 1 du cours (dont le corollaire 2 est une conséquence immédiate très utile) dans le cas particulier plus simple où est l'espace euclidien , c'est-à-dire :
- Soient et continue sur et dérivable sur . Si alors .
Indication : appliquer le théorème des accroissements finis usuel à la fonction .
est continue sur et dérivable sur , avec .
D'après le théorème des accroissements finis, , d'où
, qui donne l'inégalité voulue.
Exercice 15[modifier | modifier le wikicode]
Soient et deux e.v.n. et une application. La dérivée directionnelle de en un point selon un vecteur est par définition la limite suivante, lorsqu'elle existe :
- .
- Vérifier que si cette dérivée directionnelle selon existe, alors celle selon existe aussi et est le produit par de celle selon (pour tout scalaire ).
- Montrer que si est différentiable en alors sa dérivée directionnelle en selon existe et est égale à (pour tout vecteur ).
- Montrer que si, pour toute courbe telle que et , la fonction est dérivable en , alors admet en une dérivée directionnelle selon .
- Si , c'est trivial. Supposons donc et posons . Alors, et .
- ,
avec donc . (D'après la question précédente, on pourrait même se limiter au cas où est unitaire.) - Il suffit de considérer la courbe rectiligne .
Exercice 16[modifier | modifier le wikicode]
Soient et deux e.v.n. réels. Une application est dite homogène de degré si .
- Parmi les fonctions homogènes de degré , lesquelles sont continues en ?
- Montrer que si est homogène de degré et bornée sur la sphère unité, alors est continue en .
- Montrer que si est homogène de degré et différentiable en , alors ou bien est linéaire (et ), ou bien et .
- Montrer que si est homogène de degré et bornée sur la sphère unité, alors est différentiable en (et ).
- Application : étudier la continuité et la différentiabilité en des fonctions définies par
- si et ;
- si et ;
- si et (discuter suivant les valeurs de ).
- Les fonctions constantes (pour que ).
- Sous ces hypothèses, on a bien
- Sous ces hypothèses (et en utilisant l'exercice précédent), est égal à si , et à si .
- Sous ces hypothèses, tend bien vers quand (pour variant arbitrairement sur la sphère unité).
- et sont homogènes de degré et (par continuité sur un compact) bornées sur le cercle unité, mais non linéaires, donc continues mais non différentiables en .
Quant à , remarquons d'abord qu'elle est bien définie. En effet, pour tout , .
est homogène de degré et bornée sur le cercle unité (comme et ), mais n'est jamais constante ni linéaire (quels que soient et ). D'après les questions précédentes, en , elle est donc continue si et seulement si et différentiable (de différentielle nulle) si et seulement si .