Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Théorèmes utiles

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Théorèmes utiles
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Chapitre no 4
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. :Jacobien
Chap. suiv. :Recherches d'extrema

Exercices :

Inversion locale, fonctions implicites
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Calcul différentiel/Théorèmes utiles
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Dans ce chapitre, nous rappelons quelques théorèmes importants qui serviront l'étude ultérieure des recherches d'extrema et des équations aux dérivées partielles.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]





L'espace usuel est un espace de Banach.

Entre espaces de dimension finie, toute application linéaire est continue. Entre espaces de Banach, d'après le théorème de Banach-Schauder, la réciproque d'une bijection linéaire continue est toujours continue.




Théorème d'inversion locale[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème





Théorème des fonctions implicites[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarques[modifier | modifier le wikicode]

Sur toute partie connexe C de V contenant , est alors la seule application continue vérifiant

(C'est un exercice sur la connexité.)

L'intérêt de ce théorème est qu'on dispose de nombreux outils pour étudier les nappes paramétrées (en dimension 3), notamment ceux permettant la recherche d'extrema, sujet abordé au chapitre suivant. En pratique, on s'en sert toutefois assez peu.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Inégalité des accroissements finis[modifier | modifier le wikicode]

Searchtool.svg Revoir le paragraphe détaillé Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis.
Début d’un théorème


Fin du théorème
Remarque
Panneau d’avertissement Contrairement au cas des fonctions à valeurs réelles, il n'y a pas ici d'égalité des accroissements finis.

Théorème de Schwarz[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux espaces vectoriels normés.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarques[modifier | modifier le wikicode]

La version plus souvent énoncée dans les ouvrages suppose définie seulement au voisinage du point , mais elle résulte du théorème ci-dessus, en étendant de façon arbitraire une telle fonction à l'espace entier.

En mathématiques, l’intérêt de ce théorème est multiple. D'une part, à l'affirmative, il permet de réaliser les calculs de dérivée partielle, donc simplifie l'étude des équations aux dérivées partielles. D'autre part, sa contraposée permet par l'absurde de montrer que certaines fonctions ne sont pas deux fois différentiables, comme dans l'exemple ci-dessous.

En physique et en chimie, les hypothèses de ce théorème sont souvent vérifiées et son utilisation est presque systématiquement implicite. On montre ainsi des égalités en thermodynamique classique, des formules fondamentales d'analyse vectorielle, ou dans l'étude des ondes (par exemple dans l'équation des télégraphistes).

Contre-exemple[modifier | modifier le wikicode]

Le contre-exemple suivant, proposé par Peano en 1884, montre qu'une fonction peut, en un point, posséder une matrice hessienne non symétrique (donc ne pas être deux fois différentiable, d'après le théorème de Schwarz).

Il s'agit de la fonction :

Ses dérivées partielles premières sont :

et

,

de sorte que

.

Développement limité[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemple : formule de Taylor-Young à l’ordre 2

Si est deux fois dérivable au point , alors

,

ce qui, si , s'écrit :

.

La formule de Taylor-Young vectorielle ci-dessus se démontre de la même façon que son homologue réelle, à l'aide du lemme suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme


Théorème de différentiation terme à terme[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


(Si les sont continues, le sera donc également.)

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

Ce théorème généralise le théorème de dérivation terme à terme valable pour les suites de fonctions d'une variable réelle ou, plus généralement, le théorème de dérivation d'une intégrale paramétrique. Il intervient notamment dans le cas de fonctions « limites », qu'on ne sait pas exprimer autrement que comme limite d'une suite, ou dans le cadre des séries de fonctions.