Application (mathématiques)/Définitions

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Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications

Définition intuitive d’une application

Définition

• Une fonction d’un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe au plus un élément y de l’ensemble F.
• Une application d’un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe un élément et un seul y de l’ensemble F.
• y est appelé l'image de x par f et se note f(x).
  x est un antécédent de y par f.
• Si f est une application sur E, E s’appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de f, et F l'ensemble d'arrivée.
• L'application f de E dans F se note

${\begin{matrix}f:&E&\to &F\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}}$ ou $f:E\to F$ ou encore $f:x\mapsto f(x)$.

La partie $G=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}$ formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l’ensemble E s’appelle le graphe de f.

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement $F^{E}$ ou ${\mathcal {F}}(E,F)$ ; l’ensemble ${\mathcal {F}}(E,E)$ des applications de E dans E se note plus simplement ${\mathcal {F}}(E)$.

Remarques

1. Souvent, la notion d'application est confondue avec celle de fonction.
2. L'image d’un élément x par f est aussi appelée la valeur de f en x.
3. Pour tout élément x de E, f(x) est un élément de F, et ne représente pas l’application f. Il ne faut en aucun cas confondre l’application f, avec l’image par f d’un élément. Ceux qui considèrent que f(x) est une fonction de la variable x, devraient se poser la question suivante :
   pour f = exp, si x prend la valeur 2, f(x) est-elle toujours une fonction ?
4. Si f est une application de E dans F alors $\forall x\in E\quad \exists !y\in F\quad y=f(x)$.

Égalité de deux applications

Deux applications $f:E\to F$ et $g:E'\to F'$ sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées

1. E = E' (même ensemble de départ)
2. F = F' (même ensemble d'arrivée)
3. pour tout x, f(x) = g(x).

Application et relation

Définition

Un graphe dans $E\times F$ est une partie $G$ de $E\times F$ telle que pour tout $x\in E$, il existe exactement un élément $y\in F$ tel que $(x,y)\in G$.

Une application, ou fonction, est un triplet $f=(E,F,G)$, où $G$ est un graphe dans $E\times F$. Si $f=(E,F,G)$ est une application, si $(x,y)\in G$, on note $f(x)$ pour $y$. On dit alors que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$, et que $y$ est l'image de $x$ par $f$.

Exemples d’applications

Début de l'exemple

Exemples

• ${\begin{matrix}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x^{2}-x\end{matrix}}$ est une application.
• ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{2}&\to &\mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto &x^{2}+xy\end{matrix}}$ est une application.

Fin de l'exemple

Application identité

Soit E un ensemble quelconque. L'application identité de E (ou application identique de E) est l’application de E dans E, notée $\operatorname {Id} _{E}$, définie par $\forall x\in E,\operatorname {Id} _{E}(x)=x$.

Application constante

Soient E et F deux ensembles quelconques. Une application f de E dans F est dite constante si tous les éléments de E ont même image par f, c'est-à-dire si $\forall x,x'\in E\quad f(x)=f(x')$.

Fonction indicatrice d'une partie

Soit A une partie d’un ensemble quelconque E. On appelle application caractéristique de A, ou fonction indicatrice de A, l’application

${\begin{matrix}\chi _{A}&:&E&\to &\{0,1\}\\&&x&\mapsto &{\begin{cases}1&{\text{si }}&x\in A\\0&{\text{si }}&x\notin A.\end{cases}}\end{matrix}}$

Prolongements et restrictions

À partir d’une application donnée, on peut créer d’autres applications en remplaçant simplement l’ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction d’une application

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' une partie de E. On appelle la restriction de f à E', l’application g de E' dans F qui à tout x de E' associe f(x) c'est-à-dire telle que $\forall x\in E'\quad g(x)=f(x)$. Cette application g est habituellement notée $f_{|E'}$.

Début de l'exemple

Exemple

L'application $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ peut être restreinte à $\mathbb {R} ^{*}$ en l’application ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{*}&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\mathrm {e} ^{x}\end{matrix}}$.

Fin de l'exemple

Prolongements d’une application

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' un ensemble contenant E. Nous appelons un prolongement de f à E', toute application g de E' dans F dont la restriction à E est égale à f, c'est-à-dire telle que $\forall x\in E\quad g(x)=f(x)$.

Remarque

Il existe en général plusieurs prolongements d’une même application.

Début de l'exemple

Exemple

• Les applications

  ${\begin{matrix}\left[0,1\right]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x\end{matrix}}$

  et

  ${\begin{matrix}\left[0,1\right]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{matrix}x&{\rm {\,si\,}}&x\neq 0\\1&{\rm {\,si\,}}&x=0\end{matrix}}\right.\end{matrix}}$

  sont des prolongements à $\left[0,1\right]$ de l’application

  ${\begin{matrix}\left]0,1\right]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x\end{matrix}}$.

• La fonction sinus est un prolongement à $\mathbb {R}$ de l’application ${\begin{matrix}\left[0,2\pi \right[&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\sin x\end{matrix}}$.

Fin de l'exemple

Restriction de l’ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l’ensemble d'arrivée de l’application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (c'est-à-dire que l’image de f soit incluse dans F').

Dans ce cas l’application g se note $f^{|F'}$.

Extension de l’ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. On peut toujours considérer l’application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

Image directe, image réciproque d’une partie par une application

Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$ une application.

Définition

• Soit A une partie de E, on appelle image de A (ou image directe de A) par f l’ensemble des éléments de F de la forme f(x) où x parcourt A, c'est-à-dire l’ensemble des éléments y de F tels qu’il existe un élément x de A tel que y = f(x). Cette image directe se note f(A), et l'on a
  $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in F\mid \exists x\in A\quad y=f(x)\}$.
• Dans le cas particulier où A = E, l’ensemble f(E) est l’ensemble des images de tous les éléments de l’ensemble de définition de f, et s’appelle l’ensemble des valeurs de f, ou image de f et se note Im f ou Im(f). On a donc
  $\operatorname {Im} (f)=f(E)$.

Propriétés immédiates

• $f(\varnothing )=\varnothing$ (il n'y a pas d'image d'élément de l’ensemble vide puisque l’ensemble vide n'a pas d'élément)
• L'image d'un singleton est un singleton : pour tout élément x de E, f({x}) = {f(x)}.

L'image d’une partie par une application est une partie de l’ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble. Il ne faut pas confondre l’image d’une partie (en particulier l'image d'une application) avec l’image d’un élément.

Définition

Soit B une partie de F, on appelle image réciproque (ou préimage) de B par f, l’ensemble des éléments x de E tels que f(x) appartienne à B, c'est-à-dire l’ensemble de tous les antécédents de tous les éléments de B. Cette image réciproque se note $f^{-1}(B)$. On a donc $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$.

La notation utilisée pour désigner l’image réciproque d’une partie par une application est trompeuse puisque $f^{-1}$ peut faire penser à l’application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant $f^{-1}(Y)$, nous devons donc examiner si Y est une partie de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d’une image réciproque, ou si Y est un élément de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l’image par l’application réciproque $f^{-1}$ de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective. Si B se réduit à un seul élément b, alors l’ensemble $f^{-1}(\{b\})$ s'écrit parfois $f^{-1}(b)$, mais nous n'utiliserons jamais cet abus.

Propriétés immédiates

• $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$
• $f^{-1}(F)=E$, car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
• Pour tout y de F, $f^{-1}(\{y\})$ est l’ensemble de tous les antécédents de y par f.
  Si f est bijective, alors $f^{-1}(\{y\})=\{f^{-1}(y)\}$, puisque dans ce cas le seul antécédent de y est $f^{-1}(y)$.

Propriétés

Soient $g:F\to G$, $A,A'\in {\mathcal {P}}(E)$ (l'ensemble des parties de $E$), $B,B'\in {\mathcal {P}}(F)$ et $C\in {\mathcal {P}}(G)$. Alors :

Faites ces exercices : Images directes et réciproques.

1. $A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A')$ (croissance de l’image directe) ;
2. $f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')$ ;
3. $f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')$ ;
4. $B\subset B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B')$ (croissance de l’image réciproque) ;
5. $f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$ ;
6. $f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')$ ;
7. $f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)=\complement _{E}{f^{-1}(B)}$ ;
8. $A\subset f^{-1}(f(A))$ ;
9. $f(f^{-1}(B))=B\cap \operatorname {Im} (f)$ ;
10. $A\subset f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(A)\subset B$ ;
11. $(g\circ f)(A)=g(f(A))$ et $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g{-1}(C))$.