Leçons de niveau 14

Application (mathématiques)/Définitions

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Définitions
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Application (mathématiques)
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Injection, surjection, bijection

Exercices :

Images directes et réciproques
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Application (mathématiques) : Définitions
Application (mathématiques)/Définitions
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Définition intuitive d’une application[modifier | modifier le wikicode]



La partie formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l’ensemble E s’appelle le graphe de f.

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement ou  ; l’ensemble des applications de E dans E se note plus simplement .






Application et relation[modifier | modifier le wikicode]



Exemples d’applications[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple


Fin de l'exemple








Prolongements et restrictions[modifier | modifier le wikicode]

À partir d’une application donnée, on peut créer d’autres applications en remplaçant simplement l’ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction d’une application[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Prolongements d’une application[modifier | modifier le wikicode]



Remarque
Il existe en général plusieurs prolongements d’une même application.
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Restriction de l’ensemble d'arrivée[modifier | modifier le wikicode]

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l’ensemble d'arrivée de l’application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (c'est-à-dire que l’image de f soit incluse dans F').

Dans ce cas l’application g se note .

Extension de l’ensemble d'arrivée[modifier | modifier le wikicode]

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. On peut toujours considérer l’application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

Image directe, image réciproque d’une partie par une application[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux ensembles et une application.




Propriétés immédiates
  • (il n'y a pas d'image d'élément de l’ensemble vide puisque l’ensemble vide n'a pas d'élément)
  • L'image d'un singleton est un singleton : pour tout élément x de E, f({x}) = {f(x)}.
Panneau d’avertissement
  • L'image d’une partie par une application est une partie de l’ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble.
  • Il ne faut pas confondre l’image d’une partie (en particulier l'image d'une application) avec l’image d’un élément.




Panneau d’avertissement
  • La notation utilisée pour désigner l’image réciproque d’une partie par une application est trompeuse puisque peut faire penser à l’application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant , nous devons donc examiner si Y est une partie de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d’une image réciproque, ou si Y est un élément de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l’image par l’application réciproque de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective.
  • Si B se réduit à un seul élément b, alors l’ensemble s'écrit parfois , mais nous n'utiliserons jamais cet abus.
Propriétés immédiates
  • , car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
  • Pour tout y de F, est l’ensemble de tous les antécédents de y par f.
    Si f est bijective, alors , puisque dans ce cas le seul antécédent de y est .