Calcul différentiel/Différentiabilité

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La notion de différentiabilité généralise celle de dérivées de fonctions réelles de variable réelle.

Application différentiable en un point

Soient $f$ une application de $E$ dans $F$ et $a$ un point de $E$.

Définition : Application différentiable en un point

On dit que $f$ est différentiable au point $a$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que (avec la notation o de Landau)

$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$,

c'est-à-dire telle que l'application $\varepsilon :E\setminus \{0\}\to F$ définie par

$\forall h\in E\quad f(a+h)=f(a)+L(h)+\|h\|\varepsilon (h)$

vérifie :

$\lim _{0}\varepsilon =0$.

Si $f$ n'est pas définie sur $E$ tout entier mais seulement sur voisinage de $a$, on adopte la même définition, après avoir prolongé $f$ à $E$ de façon arbitraire (la définition ne dépend clairement pas du choix du prolongement).

Propriétés et définition

Définition : Différentielle au point a

Si $f$ est différentiable en $a$, l’application $L$ ci-dessus est unique. On la note $\mathrm {d} f_{a}$ et on l'appelle la différentielle de $f$ en $a$.

Démonstration

Soit L' une application linéaire vérifiant également la définition de la différentielle de f en a. Posons u = L – L' et montrons que u = 0 (sans utiliser l'hypothèse que L et L' sont continues, ni même le fait que la topologie de l'espace vectoriel F est issue d'une norme : on utilise seulement qu'elle est séparée). Soient s un vecteur de norme 1 dans E et V un voisinage de 0 dans F. Puisque $\lim _{h\to 0}{\frac {u(h)}{\Vert h\Vert }}=0$, il existe un rayon α > 0 tel que $\|h\|\leq \alpha \Rightarrow {\frac {u(h)}{\|h\|}}\in V$. Or par linéarité de u, $u(s)={\frac {u(\alpha s)}{\alpha }}={\frac {u(\alpha s)}{\|\alpha s\|}}\in V$. Ainsi, u(s) est dans tous les voisinages de 0 et donc u(s) = 0 par séparation de F. Par suite, u = 0 et L = L'.

 

Propriété

La différentiabilité de $f$ en $a$ implique la continuité de $f$ en $a$.

Démonstration

Cette implication résulte immédiatement de $f(a+h)=f(a)+\mathrm {d} f_{a}(h)+o(\|h\|)$ et de la continuité de $\mathrm {d} f_{a}$ en $0$.

 

Remarques

• Si $E=\mathbb {R}$ la définition du vecteur dérivé $f'(a)$ de $f$ au point $a$ est $f(a+h)=f(a)+hf'(a)+o(h)$. Dans ce cas, les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent donc et $\mathrm {d} f_{a}(h)=hf'(a)$. Cependant, on verra plus loin que si $E=\mathbb {R} ^{p}$, l’existence de dérivées partielles en un point n'implique pas la différentiabilité ni même la continuité en ce point.
• De même que pour les fonctions de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, la propriété de différentiabilité est ponctuelle.
• Si $f$ est linéaire continue alors elle est différentiable en tout point $a$ et $\mathrm {d} f_{a}=f$.

Exemple de calcul d'une différentielle

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés et $B:E\times F\to G$ une application bilinéaire. Si $B$ est continue alors elle est différentiable en tout point $(x,y)$ de $E\times F$, et $\mathrm {d} B_{(x,y)}{(h,k)}=B(x,k)+B(h,y)$.

En effet :

• l'application $(h,k)\mapsto B(x,k)+B(h,y)$ est linéaire continue ;
• $B(x+h,y+k)-B(x,y)-\left(B(x,k)+B(h,y)\right)=B(h,k)$ ;
• avec les notations du § suivant, $\|B(h,k)\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\ \|h\|\ \|k\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\max(\|h\|,\|k\|)^{2}=|\!|\!|B|\!|\!|\ \|(h,k)\|^{2}=o(\|(h,k)\|)$.

Ceci s'applique par exemple pour $G=\mathbb {R}$, $E=F=$ un espace euclidien, muni de son produit scalaire $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, et $B=$ ce produit scalaire. En effet, cette application bilinéaire $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ est continue (comme toute application multilinéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie ou, plus explicitement ici, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\!|\!|\langle \cdot ,\cdot \rangle |\!|\!|=1$). On trouve donc : $\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,y)}{(h,k)}=\langle x,k\rangle +\langle h,y\rangle$.

Rappels sur les applications linéaires continues

Dans la suite on aura besoin du théorème suivant, démontré dans la leçon sur les espaces vectoriels normés :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $L:E\to F$ une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :

• $L$ est continue ;
• $L$ est continue en $0$ ;
• $L$ est bornée sur la boule unité ;
• $\exists k\geq 0\quad \forall x\in E\quad \|L(x)\|\leq k\|x\|$.

Fin du théorème

Si $L$ est continue, le plus petit réel $k\geq 0$ tel que $\forall x\in E\quad \|L(x)\|\leq k\|x\|$ est égal à $\sup _{\|x\|\leq 1}\|L(x)\|$. On l'appelle la norme de l'application linéaire $L$, ou norme de $L$ subordonnée (à la norme sur $E$), et on le note $\|L\|$ ou $|\!|\!|L|\!|\!|$.

Plus généralement, si $E_{1},\dots ,E_{n}$ sont des espaces vectoriels normés, on définit, pour toute application $n$-linéaire continue $L:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to F$, un réel $|\!|\!|L|\!|\!|$ vérifiant $\|L(x_{1},\dots ,x_{n})\|\leq |\!|\!|L|\!|\!|\|x_{1}\|\dots \|x_{n}\|$.

Si $E_{1},\dots ,E_{n}$ sont de dimension finie, toute application $n$-linéaire $L:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to F$ est continue.

Composition

Début d’un théorème

Théorème

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés. Si $f:E\to F$ est différentiable en $a$ et $g:F\to G$ est différentiable en $b:=f(a)$ alors $g\circ f$ est différentiable en $a$ et

$\mathrm {d} (g\circ f)_{a}=\mathrm {d} g_{b}\circ \mathrm {d} f_{a}$.

Fin du théorème

Démonstration

Notons $L=\mathrm {d} f_{a}$ et $M=\mathrm {d} g_{b}$. Alors :

• $M$ et $L$ sont linéaires continues, en particulier : $M(k)=O(\|k\|)$ et $L(h)=O(\|h\|)$ (avec la notation O de Landau) ;
• $f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$ ;
• $g(b+k)=g(b)+M(k)+o(\|k\|)$.

Par conséquent :

• $M\circ L$ est linéaire continue ;
• $(g\circ f)(a+h)=g(b)+M\left[L(h)+o(\|h\|)\right]+o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]=g(b)+(M\circ L)(h)+M\left[o(\|h\|)\right]+o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]$ ;
• $M\left[o(\|h\|)\right]=O\left[\|o(\|h\|)\|\right]=o(\|h\|)$ et $o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]=o\left[\|O(\|h\|)\|\right]=o(\|h\|)$.

Remarque

Dans cet énoncé et sa preuve, il n'est pas indispensable que G soit un espace vectoriel normé : il suffit que ce soit un espace vectoriel topologique séparé.

 

Deux applications du théorème 

• Sur un espace $E$ euclidien, la différentielle de l'application $\pi :=\langle \cdot ,\cdot \rangle \circ \Delta :x\mapsto \langle x,x\rangle$ est donnée (voir supra) par $\mathrm {d} \pi _{x}=\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Delta (x)}\circ \mathrm {d} \Delta _{x}=\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,x)}\circ \Delta$, c'est-à-dire : $\mathrm {d} \pi _{x}(h)=\langle x,h\rangle +\langle h,x\rangle =2\langle x,h\rangle$.
• Notons $N(x)=\|x\|=R(\pi (x))$ la norme euclidienne de $x\in E$. L'application $R:t\mapsto {\sqrt {t}}$ est dérivable en tout $t>0$. Ainsi, en tout point $x\neq 0$ de $E$, la différentielle de la norme euclidienne est donnée par $\mathrm {d} N_{x}(h)=\left(\mathrm {d} R_{\pi (x)}\circ \mathrm {d} \pi _{x}\right)(h)={\dfrac {1}{2{\sqrt {\langle x,x\rangle }}}}\times 2\langle x,h\rangle ={\dfrac {\langle x,h\rangle }{\|x\|}}$.

Opérations algébriques

Le lemme suivant est immédiat mais très utile, entre autres pour analyser une fonction à valeurs dans $\mathbb {R} ^{q}$.

Début d'un lemme

Lemme

Une application $f:x\mapsto f(x)=(f_{1}(x),\dots ,f_{q}(x))$ (à valeurs dans un produit de $q$ espaces vectoriels normés) est différentiable en un point $a$ si et seulement si chacune de ses composantes $f_{i}$ (pour $i$ de $1$ à $q$) l'est, et alors, $\mathrm {d} f_{a}(h)=(\mathrm {d} (f_{1})_{a}(h),\dots ,\mathrm {d} (f_{q})_{a}(h))$.

Fin du lemme

Les propriétés suivantes généralisent les règles usuelles correspondantes pour les fonctions numériques. Elles se déduisent immédiatement du lemme et du théorème de composition ci-dessus, et du calcul général précédent de la différentielle d'une application continue linéaire ou bilinéaire.

Propriété

Soient $f,g:E\to F$ différentiables en $a\in E$. Alors :

1. la somme $f+g$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (f+g)_{a}=\mathrm {d} f_{a}+\mathrm {d} g_{a}$ ;
2. pour tout scalaire $\lambda \in K$, $\lambda f$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (\lambda f)_{a}=\lambda \mathrm {d} f_{a}$ ;
3. si $F=K$ :
   • le produit $fg$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (fg)_{a}=f(a)\mathrm {d} g_{a}+g(a)\mathrm {d} f_{a}$,
   • si $f(a)\neq 0$, l'inverse $1/f$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (1/f)_{a}=-{\frac {\mathrm {d} f_{a}}{(f(a))^{2}}}$,
   • si $g(a)\neq 0$, le quotient $f/g$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (f/g)_{a}={\frac {g(a)\mathrm {d} f_{a}-f(a)\mathrm {d} g_{a}}{(g(a))^{2}}}$.

Différentielles des fonctions de R^p dans R^q

• Soient $f:E\to F$ et $a$ un point de $E$. On appelle dérivée de $f$ au point $a$ suivant un vecteur $h\in E$ le vecteur dérivé en $0$ (s'il existe) de la fonction $\mathbb {R} \to F,\ t\mapsto f(a+th)$ :

  $Df_{a}(h):=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+th)-f(a)}{t}}\in F$.

Si $f$ admet une différentielle en $a$ alors elle admet une dérivée en $a$ suivant n'importe quel vecteur $h$, et $Df_{a}(h)=\mathrm {d} f_{a}(h)$.

• Dans le cas $E=\mathbb {R} ^{p}$ et $h=e_{j}$ (le $j$-ème vecteur de la base canonique de $\mathbb {R} ^{p}$), la dérivée au point $a$ suivant ce vecteur s'appelle la $j$-ème dérivée partielle de $f$ au point $a$ :

  ${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a):=Df_{a}(e_{j})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_{p})\right]_{x=a_{j}}$.

Si $f:\mathbb {R} ^{p}\to F$ admet une différentielle en $a$ alors elle admet des dérivées partielles en ce point, et

$\forall h\in \mathbb {R} ^{p}\quad \mathrm {d} f_{a}(h)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)h_{j}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\frac {\partial f}{\partial x_{p}}}(a)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{p}\end{pmatrix}}$.

• Lorsque de plus $F=\mathbb {R} ^{q}$, le lemme de la section précédente permet de développer un peu plus la différentielle au point $a$ (si elle existe) de l'application

  $f:\mathbb {R} ^{p}\mapsto \mathbb {R} ^{q},\ {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{p}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{p})\\\vdots \\f_{q}(x_{1},\dots ,x_{p})\end{pmatrix}}$

sous forme matricielle :

$\mathrm {d} f_{a}(h)=J_{f}(a){\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{p}\end{pmatrix}}$,

où $J_{f}(a)$ est la matrice jacobienne de $f$ au point $a$ :

$J_{f}(a):={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{p}}}(a)\\\vdots &&\vdots \\{\dfrac {\partial f_{q}}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\dfrac {\partial f_{q}}{\partial x_{p}}}(a)\end{pmatrix}}\in M_{q,p}(\mathbb {R} )$.

Voici un exemple de calcul : la fonction $f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{3},\ {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\sin x\\x^{2}+y\\y\mathrm {e} ^{x}\end{pmatrix}}$ est différentiable en tout point et sa matrice jacobienne s'écrit : $J_{f}(x,y)={\begin{pmatrix}{\cos x}&0\\2x&1\\ye^{x}&e^{x}\end{pmatrix}}$.

Remarques importantes :

De ce qui précède, si f est différentiable en un point a alors f admet des dérivées partielles en ce point mais la réciproque est fausse : On considère la fonction f : $\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ définie par $f(x,y)=0$ si $xy=0$ et $f(x,y)=1$ si $xy\neq 0$. On a ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(h,0)}{h}}=0$ et de même ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(0,h)}{h}}=0$ : les différentielles partielles existent bien, cependant les nombres 0 et 1 ont des antécédents dans tout voisinage V de l'origine ce qui prouve la discontinuité et donc la non-différentiabilité de f en ce point.

La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction $f:(x,y)\mapsto y+x^{2}\sin(1/x)$ si $(x,y)\neq (0,0)$, prolongée par $f(0,0)=0$, est différentiable en $(0,0)$ avec ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$ et ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=1$, cependant la fonction $(x,y)\mapsto {\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ n'a pas de limite en $(0,0)$.

Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis

L'expression « accroissement fini » provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux dx et les accroissements « finis » x₁ - x₀.

On rappelle le théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles : Si une fonction continue $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ est dérivable sur $\left]a,b\right[$, alors il existe $c\in \left]a,b\right[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

Le segment de départ $\left[a,b\right]$ est ici supposé réel, mais on peut très facilement étendre ensuite le résultat à un segment d'un espace vectoriel normé, en le paramétrant et en appliquant le théorème de composition ci-dessus. L'égalité obtenue s'écrit alors : $f(b)-f(a)=\mathrm {d} f_{c}(b-a)$.

Augmenter la dimension de l'espace d'arrivée est en revanche impossible, comme le montre l'exemple de l'exercice 11.

On conserve cependant la propriété suivante :

Début d’un théorème

Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

Soient deux réels $a<b$, et deux fonctions continues $f:\left[a,b\right]\to F$ et $g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$, dérivables sur $\left]a,b\right[$.

Si

$\forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq g'(t)$

alors

$\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a).$

Fin du théorème

Démonstration

Soient $\varepsilon >0$, $u\in \left]a,b\right[$, $\varphi :\left[u,b\right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto \|f(t)-f(a)\|-g(t)-\varepsilon t$, et $c\in \left[u,b\right]$ un point en lequel la fonction $\varphi$ (continue) atteint son minimum. Montrons par l'absurde que $c=b$.

Si au contraire $\left]c,b\right[$ était non vide, il contiendrait des réels $t$ tels que

$\left\|{\frac {f(t)-f(c)}{t-c}}\right\|-{\frac {\varepsilon }{2}}<\|f'(c)\|\leq g'(c)<{\frac {g(t)-g(c)}{t-c}}+{\frac {\varepsilon }{2}}$

et l'on aurait alors

$\|f(t)-f(c)\|<g(t)-g(c)+\varepsilon (t-c)$ donc (par inégalité triangulaire) $\varphi (t)<\varphi (c)$,

ce qui contredirait le choix de $c$.

On a donc bien $c=b$, en particulier $\varphi (b)\leq \varphi (u)$, c'est-à-dire

$\|f(b)-f(a)\|\leq \|f(u)-f(a)\|+g(b)-g(u)+\varepsilon (b-u)$.

On conclut par passage à la limite quand $u\to a^{+}$ et $\varepsilon \to 0^{+}$.

Remarques

• $\varphi$ est en fait strictement décroissante.
• Comme cette démonstration le prouve, le théorème ne nécessite que l'existence de dérivée à droite pour les fonctions $g$ et $f$.
• On peut de plus supposer seulement que ces dérivées à droite existent (et satisfont l'inégalité) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, comme dans le cas où $f$ est à valeurs réelles.

 

On en déduit immédiatement, en cascade, trois corollaires :

Corollaire 1

Soient deux réels $a<b$, une fonction continue $f:\left[a,b\right]\to F$ dérivable sur $\left]a,b\right[$ et un réel $M$ tel que

$\forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq M$.

Alors,

$\|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a)$.

Corollaire 2

Soit $f:E\to F$ une application continue sur un segment $\left[a,b\right]\subset E$ et différentiable en tout point de $\left]a,b\right[$. Alors,

$\|f(b)-f(a)\|\leq \left(\sup _{x\in \left]a,b\right[}|\!|\!|\mathrm {d} f_{x}|\!|\!|\right)\|b-a\|$.

Corollaire 3

Soit $f:\Omega \to F$ une application différentiable, $\Omega$ étant un ouvert connexe de $E$.

Si $\mathrm {d} f=0$ alors $f$ est constante.

Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit

Début d’un théorème

Théorème

Si les dérivées partielles d'une application $f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} ^{q}$ sont définies au voisinage d'un point $a$ et continues en ce point, alors $f$ est différentiable au point $a$.

Fin du théorème

En effet, le cas général se déduit du cas $q=1$, or plus généralement (si $E_{1},\dots ,E_{p}$ sont, comme $F$, des espaces vectoriels normés) :

Début d'un lemme

Lemme

Si les dérivées partielles d'une application $f:E_{1}\times \dots \times E_{p}\to F$ sont définies au voisinage d'un point $a$ et continues en ce point, alors $f$ est différentiable au point $a$.

Fin du lemme

Démonstration

La $j$-ème « dérivée partielle » en $a$ de $f$ désigne ici la différentielle au point $a_{j}$ de l'application $E_{j}\to F,\ x\mapsto f(x_{1},\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_{p})$. Nous la noterons $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{a}$.

Sans perte de généralité, $a=0$. Pour $h=(h_{1},\dots ,h_{p})$, soit

$R(h)=f(h)-f(0)-\sum _{j=1}^{p}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{0}(h_{j})$. On doit démontrer que $R(h)=o(\|h\|)$.

Pour $0\leq j\leq p$, notons $k_{j}=(h_{1},\dots ,h_{j},0,\dots ,0)$. Ainsi,

$R(h)=\sum _{j=1}^{p}R_{j}(h)$, avec

$R_{j}(h)=f(k_{j})-f(k_{j-1})-\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{0}(h_{j})$ donc $\left({\frac {\partial R_{j}}{\partial h_{j}}}\right)_{h}={\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{k_{j-1}}}-{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{0}}$.

Par continuité en $0$ de ${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$ et d'après l'inégalité des accroissements finis ci-dessus, on a donc

$R_{j}(h)=o(\|h\|)$, ce qui conclut.

 

Application deux fois différentiable, différentielle seconde

Soit f : U $\subset$ E $\mapsto$ F une fonction différentiable en un point a $\in$ U. Il se peut que la fonction df : x $\mapsto$ df_x soit définie dans un voisinage V $\subset$ U avec a $\in$ V et différentiable en a. Sa différentielle d(df)_a se note alors d²f_a et s’appelle la différentielle seconde ou d'ordre 2 de f en a : df_a+h = df_a +d²f_a(h) +‖h‖_E ε(h) avec $\lim _{h\rightarrow 0_{E}}\varepsilon (h)=0_{{\mathcal {L}}(E,F)}$. Il faut noter que d²f_a $\in$ ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) autrement dit, pour tout h $\in$ E on a d²f_a(h) $\in$ ${\mathcal {L}}$(E, F). L'application (h, k) $\mapsto$ d²f_a(h)(k) est linéaire à la fois en h et en k. Les espaces ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) et ${\mathcal {L}}$(E, E; F) (l'espace des applications bilinéaires continues de E × E dans F) sont isomorphes si bien que d²f_a s'identifie à un élément de ${\mathcal {L}}$(E, E; F). En effet, l’application L : ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) $\mapsto$ ${\mathcal {L}}$(E, E; F)) définie par L(f)(h, k) = f(h)(k) est une application linéaire bijective, sa réciproque L^-1 : ${\mathcal {L}}$(E, E; F)) $\mapsto$ ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) étant définie par L^-1(g)(h)(k) = g(h, k). On notera donc par abus d'écriture d²f_a(h)(k) = d²f_a(h, k).