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Calcul différentiel : Différentiabilité
Calcul différentiel/Différentiabilité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de différentiabilité généralise celle de dérivées de fonctions réelles de variable réelle.
Soient
une application de
dans
et
un point de
.
Définition : Application différentiable en un point
Si
n'est pas définie sur
tout entier mais seulement sur voisinage de
, on adopte la même définition, après avoir prolongé
à
de façon arbitraire (la définition ne dépend clairement pas du choix du prolongement).
Définition : Différentielle au point a
Démonstration
Soit L' une application linéaire vérifiant également la définition de la différentielle de f en a. Posons u = L – L' et montrons que u = 0 (sans utiliser l'hypothèse que L et L' sont continues, ni même le fait que la topologie de l'espace vectoriel F est issue d'une norme : on utilise seulement qu'elle est séparée). Soient s un vecteur de norme 1 dans E et V un voisinage de 0 dans F. Puisque
, il existe un rayon α > 0 tel que
. Or par linéarité de u,
. Ainsi, u(s) est dans tous les voisinages de 0 et donc u(s) = 0 par séparation de F. Par suite, u = 0 et L = L'.
Démonstration
Cette implication résulte immédiatement de
et de la continuité de
en
.
- Remarques
-
- Si
la définition du vecteur dérivé
de
au point
est
. Dans ce cas, les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent donc et
. Cependant, on verra plus loin que si
, l’existence de dérivées partielles en un point n'implique pas la différentiabilité ni même la continuité en ce point.
- De même que pour les fonctions de
dans
, la propriété de différentiabilité est ponctuelle.
- Si
est linéaire continue alors elle est différentiable en tout point
et
.
- Exemples de calcul d'une différentielle
- Soient
,
et
trois espaces vectoriels normés et
une application bilinéaire. Si
est continue alors elle est différentiable en tout point
de
, et
.
- En effet :
- l'application
est linéaire continue ;
;
- avec les notations du § suivant,
.
- Ceci s'applique par exemple :
- pour
,
un espace euclidien, muni de son produit scalaire
, et
ce produit scalaire. En effet, cette application bilinéaire
est continue (comme toute application multilinéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie ou, plus explicitement ici, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
). On trouve donc :
;
et
le produit vectoriel. Donc de même,
.
- Plus généralement (et par le même raisonnement), soient
des e.v.n. et
une application multilinéaire. Si
est continue alors elle est différentiable en tout point
et
.
Dans la suite on aura besoin du théorème suivant, démontré dans la leçon sur les espaces vectoriels normés :
Début d’un théorème
Fin du théorème
Si
est continue, le plus petit réel
tel que
est égal à
. On l'appelle la norme de l'application linéaire
, ou norme de
subordonnée (à la norme sur
), et on le note
ou
.
Plus généralement, si
sont des espaces vectoriels normés, on définit, pour toute application
-linéaire continue
, un réel
vérifiant
.
Si
sont de dimension finie, toute application
-linéaire
est continue (on peut le démontrer par exemple par récurrence sur n ; pour le cas n = 1, voir Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences).
Début d’un théorème
Fin du théorème
- Trois applications du théorème
-
- Sur un espace
euclidien, la différentielle de l'application
est donnée (voir supra) par
, c'est-à-dire :
.
- De même, la différentielle au point
de l'application
de
dans lui-même est
.
- Notons
la norme euclidienne de
. L'application
est dérivable en tout
. Ainsi, en tout point
de
, la différentielle de la norme euclidienne est donnée par
.
Le lemme suivant est immédiat mais très utile, entre autres pour analyser une fonction à valeurs dans
.
Début d'un lemme
Lemme
Une application
(à valeurs dans un produit de
espaces vectoriels normés) est différentiable en un point
si et seulement si chacune de ses composantes
(pour
de
à
) l'est, et alors,
.
Fin du lemme
Les propriétés suivantes généralisent les règles usuelles correspondantes pour les fonctions numériques. Elles se déduisent immédiatement du lemme et du théorème de composition ci-dessus, et du calcul général précédent de la différentielle d'une application continue linéaire ou bilinéaire.
Début de l'exemple
Exemple
Dans l'espace euclidien usuel
, l'inversion
, de
dans lui-même, définie par
,
est différentiable et (d'après le dernier point ci-dessus, joint à la section précédente)
.
Fin de l'exemple
- Soient
et
un point de
. On appelle dérivée de
au point
suivant un vecteur
le vecteur dérivé en
(s'il existe) de la fonction
:
.
- Si
admet une différentielle en
alors elle admet une dérivée en
suivant n'importe quel vecteur
, et
.
- Dans le cas
et
(le
-ème vecteur de la base canonique de
), la dérivée au point
suivant ce vecteur s'appelle la
-ème dérivée partielle de
au point
:
.
- Si
admet une différentielle en
alors elle admet des dérivées partielles en ce point, et
.
- Lorsque de plus
, le lemme de la section précédente permet de développer un peu plus la différentielle au point
(si elle existe) de l'application

- sous forme matricielle :
,
- où
est la matrice jacobienne de
au point
:
.
Voici un exemple de calcul : la fonction
est différentiable en tout point et sa matrice jacobienne s'écrit :
.
Remarques importantes :
De ce qui précède, si f est différentiable en un point a alors f admet des dérivées partielles en ce point mais la réciproque est fausse : On considère la fonction f :
définie par
si
et
si
. On a
et de même
: les différentielles partielles existent bien, cependant les nombres 0 et 1 ont des antécédents dans tout voisinage V de l'origine ce qui prouve la discontinuité et donc la non-différentiabilité de f en ce point.
La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction
si
, prolongée par
, est différentiable en
avec
et
, cependant la fonction
n'a pas de limite en
.
Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis[modifier | modifier le wikicode]
L'expression « accroissement fini » provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux dx et les accroissements « finis » x1 - x0.
On rappelle le théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles : Si une fonction continue
est dérivable sur
, alors il existe
tel que
.
Le segment de départ
est ici supposé réel, mais on peut très facilement étendre ensuite le résultat à un segment d'un espace vectoriel normé, en le paramétrant et en appliquant le théorème de composition ci-dessus. L'égalité obtenue s'écrit alors :
.
Augmenter la dimension de l'espace d'arrivée est en revanche impossible, comme le montre l'exemple de l'exercice 11.
On conserve cependant la propriété suivante :
Début d’un théorème
Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles
Soient deux réels
, et deux fonctions continues
et
, dérivables sur
.
Si
![{\displaystyle \forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq g'(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8ee080b8ae7d86d1144dbda6bb69ebccccf4e2)
alors

Fin du théorème
Démonstration
Soient
,
,
, et
un point en lequel la fonction
(continue) atteint son minimum. Montrons par l'absurde que
.
Si au contraire
était non vide, il contiendrait des réels
tels que

et l'on aurait alors
donc (par inégalité triangulaire)
,
ce qui contredirait le choix de
.
On a donc bien
, en particulier
, c'est-à-dire
.
On conclut par passage à la limite quand
et
.
- Remarques
-
est en fait strictement décroissante.
- Comme cette démonstration le prouve, le théorème ne nécessite que l'existence de dérivée à droite pour les fonctions
et
.
- On peut de plus supposer seulement que ces dérivées à droite existent (et satisfont l'inégalité) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, comme dans le cas où
est à valeurs réelles.
On en déduit immédiatement, en cascade, trois corollaires :
Corollaire 1
Soient deux réels
, une fonction continue
dérivable sur
et un réel
tel que
![{\displaystyle \forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c22e1b73233fb70349ee396699e6f35db8619cb)
.
Alors,

.
Corollaire 3
Soit
une application différentiable,
étant un ouvert connexe de
.
Si

alors

est constante.
Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème
En effet, le cas général se déduit du cas
, or plus généralement (si
sont, comme
, des espaces vectoriels normés) :
Début d'un lemme
Fin du lemme
Démonstration
La
-ème « dérivée partielle » en
de
désigne ici la différentielle au point
de l'application
. Nous la noterons
.
Sans perte de généralité,
. Pour
, soit
. On doit démontrer que
.
Pour
, notons
. Ainsi,
, avec
donc
.
Par continuité en
de
et d'après l'inégalité des accroissements finis ci-dessus, on a donc
, ce qui conclut.
Remarque : en scrutant la preuve, on voit que l'une des
dérivées partielles (la première,
, dans la preuve ci-dessus) n'a pas besoin d'être continue en
, ni même définie ailleurs qu'au point
. Cf. (en) Tom Apostol, Mathematical Analysis, 2e éd., p. 357 , théorème 12.11 (en dimension finie).
Application deux fois différentiable, différentielle seconde[modifier | modifier le wikicode]
Soit f : U
E
F une fonction différentiable en un point a
U. Il se peut que la fonction df : x
dfx soit définie dans un voisinage V
U avec a
V et différentiable en a. Sa différentielle d(df)a se note alors d2fa et s’appelle la différentielle seconde ou d'ordre 2 de f en a : dfa+h = dfa +d2fa(h) +‖h‖E ε(h) avec
. Il faut noter que d2fa
(E,
(E, F)) autrement dit, pour tout h
E on a d2fa(h)
(E, F). L'application (h, k)
d2fa(h)(k) est linéaire à la fois en h et en k. Les espaces
(E,
(E, F)) et
(E, E; F) (l'espace des applications bilinéaires continues de E × E dans F) sont isomorphes si bien que d2fa s'identifie à un élément de
(E, E; F). En effet, l’application L :
(E,
(E, F))
(E, E; F)) définie par L(f)(h, k) = f(h)(k) est une application linéaire bijective, sa réciproque L-1 :
(E, E; F))
(E,
(E, F)) étant définie par L-1(g)(h)(k) = g(h, k). On notera donc par abus d'écriture d2fa(h)(k) = d2fa(h, k).