Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Différentiabilité

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Différentiabilité
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Chapitre no 2
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Jacobien

Exercices :

Différentiabilité
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Calcul différentiel/Différentiabilité
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La notion de différentiabilité généralise celle de dérivées de fonctions réelles de variable réelle.

Application différentiable en un point[modifier | modifier le wikicode]

Soient une application de dans et un point de .




Si n'est pas définie sur tout entier mais seulement sur voisinage de , on adopte la même définition, après avoir prolongé à de façon arbitraire (la définition ne dépend clairement pas du choix du prolongement).

Propriétés et définition[modifier | modifier le wikicode]




Remarques
  • Si la définition du vecteur dérivé de au point est . Dans ce cas, les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent donc et . Cependant, on verra plus loin que si , l’existence de dérivées partielles en un point n'implique pas la différentiabilité ni même la continuité en ce point.
  • De même que pour les fonctions de dans , la propriété de différentiabilité est ponctuelle.
  • Si est linéaire continue alors elle est différentiable en tout point et .
Exemple de calcul d'une différentielle
Soient , et trois espaces vectoriels normés et une application bilinéaire. Si est continue alors elle est différentiable en tout point de , et .
En effet :
  • l'application est linéaire continue ;
  •  ;
  • avec les notations du § suivant, .
Ceci s'applique par exemple pour , un espace euclidien, muni de son produit scalaire , et ce produit scalaire. En effet, cette application bilinéaire est continue (comme toute application multilinéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie ou, plus explicitement ici, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : ). On trouve donc : .

Rappels sur les applications linéaires continues[modifier | modifier le wikicode]

Dans la suite on aura besoin du théorème suivant, démontré dans la leçon sur les espaces vectoriels normés :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Si est continue, le plus petit réel tel que est égal à . On l'appelle la norme de l'application linéaire , ou norme de subordonnée (à la norme sur ), et on le note ou .

Plus généralement, si sont des espaces vectoriels normés, on définit, pour toute application -linéaire continue , un réel vérifiant .

Si sont de dimension finie, toute application -linéaire est continue.

Composition[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Deux applications du théorème 
  • Sur un espace euclidien, la différentielle de l'application est donnée (voir supra) par , c'est-à-dire : .
  • Notons la norme euclidienne de . L'application est dérivable en tout . Ainsi, en tout point de , la différentielle de la norme euclidienne est donnée par .

Opérations algébriques[modifier | modifier le wikicode]

Le lemme suivant est immédiat mais très utile, entre autres pour analyser une fonction à valeurs dans .

Début d'un lemme


Fin du lemme

Les propriétés suivantes généralisent les règles usuelles correspondantes pour les fonctions numériques. Elles se déduisent immédiatement du lemme et du théorème de composition ci-dessus, et du calcul général précédent de la différentielle d'une application continue linéaire ou bilinéaire.



Différentielles des fonctions de Rp dans Rq[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient et un point de . On appelle dérivée de au point suivant un vecteur le vecteur dérivé en (s'il existe) de la fonction  :
    .
Si admet une différentielle en alors elle admet une dérivée en suivant n'importe quel vecteur , et .
  • Dans le cas et (le -ème vecteur de la base canonique de ), la dérivée au point suivant ce vecteur s'appelle la -ème dérivée partielle de au point  :
    .
Si admet une différentielle en alors elle admet des dérivées partielles en ce point, et
.
  • Lorsque de plus , le lemme de la section précédente permet de développer un peu plus la différentielle au point (si elle existe) de l'application
sous forme matricielle :
,
est la matrice jacobienne de au point  :
.

Voici un exemple de calcul : la fonction est différentiable en tout point et sa matrice jacobienne s'écrit : .

Remarques importantes :

De ce qui précède, si f est différentiable en un point a alors f admet des dérivées partielles en ce point mais la réciproque est fausse : On considère la fonction f : définie par si et si . On a et de même  : les différentielles partielles existent bien, cependant les nombres 0 et 1 ont des antécédents dans tout voisinage V de l'origine ce qui prouve la discontinuité et donc la non-différentiabilité de f en ce point.

La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction si , prolongée par , est différentiable en avec et , cependant la fonction n'a pas de limite en .

Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis[modifier | modifier le wikicode]

L'expression « accroissement fini » provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux dx et les accroissements « finis » x1 - x0.

On rappelle le théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles : Si une fonction continue est dérivable sur , alors il existe tel que .

Le segment de départ est ici supposé réel, mais on peut très facilement étendre ensuite le résultat à un segment d'un espace vectoriel normé, en le paramétrant et en appliquant le théorème de composition ci-dessus. L'égalité obtenue s'écrit alors : .

Augmenter la dimension de l'espace d'arrivée est en revanche impossible, comme le montre l'exemple de l'exercice 11.

On conserve cependant la propriété suivante :

Début d’un théorème


Fin du théorème


On en déduit immédiatement, en cascade, trois corollaires :








Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


En effet, le cas général se déduit du cas , or plus généralement (si sont, comme , des espaces vectoriels normés) :

Début d'un lemme


Fin du lemme


Application deux fois différentiable, différentielle seconde[modifier | modifier le wikicode]

Soit f : U E F une fonction différentiable en un point a U. Il se peut que la fonction x dfx soit définie dans un voisinage V U avec a V et différentiable en a. Sa différentielle d(dfa)a se note alors d2fa et s’appelle la différentielle seconde ou d'ordre 2 de f en a : dfa+h = dfa +d2fa(h) +‖h‖E ε(h) avec . Il faut noter que d2fa (E, (E, F)) autrement dit, pour tout h E on a d2fa(h) (E, F). L'application (h, k) d2fa(h)(k) est linéaire à la fois en h et en k. Les espaces (E, (E, F)) et (E, E; F) (l'espace des applications bilinéaires continues de E × E dans F) sont isomorphes si bien que d2fa s'identifie à un élément de (E, E; F). En effet, l’application L : (E, (E, F)) (E, E; F)) définie par L(f)(h, k) = f(h)(k) est une application linéaire bijective, sa réciproque L-1 : (E, E; F)) (E, (E, F)) étant définie par L-1(g)(h)(k) = g(h, k). On notera donc par abus d'écriture d2fa(h)(k) = d2fa(h, k).