Leçons de niveau 16

Topologie générale/Connexité

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Connexité
Icône de la faculté
Chapitre no 11
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Complétude
Chap. suiv. :Compacité

Exercices :

Connexité
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Topologie générale : Connexité
Topologie générale/Connexité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de est connexe, mais la réunion de deux segments disjoints ne l'est pas.

Espaces et ensembles connexes[modifier | modifier le wikicode]

L'espace vert est connexe alors que l'espace bleu ne l'est pas.


Une autre condition équivalente est : est connexe si pour toute décomposition , où sont des ouverts disjoints, on a : ou est vide.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Début de l'exemple
Fin de l'exemple





La réunion d'espace connexes n’est pas généralement connexe : les intervalles et le sont mais leur réunion ne l'est pas.


Application définie sur un connexe[modifier | modifier le wikicode]





Composantes connexes et connexité locale[modifier | modifier le wikicode]

Composante connexe[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point d’un espace topologique l'est donc : c’est la plus grande partie connexe de contenant .


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On dit qu'un espace est totalement discontinu si la composante connexe de chacun de ses points est l’ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).


Connexité locale[modifier | modifier le wikicode]

Dans un espace topologique, V est un voisinage de p et contient un voisinage connexe de p (le disque vert fonçé).


Panneau d’avertissement Connexe n'implique pas localement connexe, et localement connexe n'implique pas connexe : cf. exemples ci-dessous.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Connexité par arcs[modifier | modifier le wikicode]

Définitions et premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]





Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Notion de composante connexe par arcs[modifier | modifier le wikicode]



La classe de est alors le plus grand connexe par arcs de (au sens de l'inclusion) contenant .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Référence[modifier | modifier le wikicode]

  1. O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev et V. M. Kharlamov, Elementary Topology, AMS, 2008 [lire en ligne], p. 87 et 123 .