Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude

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Espaces de Banach - Complétude
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Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Dimension finie - Compacité
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Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude
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Dans toute la suite, est un espace vectoriel normé (evn).

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un espace métrique se particularise à un evn, avec la définition suivante :



Voici une propriété vraie dans tout espace métrique et qu'on démontre comme dans  :






Pour toute série convergente à valeurs dans , on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :

,

mais ce majorant peut être .

Une série à valeurs dans est dite « absolument convergente » si elle vérifie : .

Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où est de dimension finie — si est un evn quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans  ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :



Théorèmes[modifier | modifier le wikicode]

Dans un espace de Banach, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du théorème des fermés emboîtés, du critère de Cauchy pour une fonction et du théorème du point fixe de Picard-Banach.