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Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude

Leçons de niveau 15
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Espaces de Banach - Complétude
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Chapitre no 5
Leçon : Espaces vectoriels normés
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Dans toute la suite, (E, ∥ ∥) est un espace vectoriel normé (e.v.n.).

Suites de Cauchy

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La notion générale de suite de Cauchy à valeurs dans un espace métrique se particularise à un e.v.n., avec la définition suivante :


Voici deux propriétés vraies dans tout espace métrique :


Espace de Banach

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Pour toute série convergente à valeurs dans E, on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :

,

mais ce majorant peut être .

Une série à valeurs dans E est dite « absolument convergente » si elle vérifie : .

Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où E est de dimension finie — si E est un e.v.n. quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans E ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :

Dans un espace de Banach, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du théorème des fermés emboîtés, du critère de Cauchy pour une fonction et du théorème du point fixe de Picard-Banach.