Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Limites et continuité

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Limites et continuité
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Chapitre no 2
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Définitions - Éléments de Topologie
Chap. suiv. :Espaces de Banach - Complétude

Exercices :

Applications linéaires continues
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Espaces vectoriels normés/Limites et continuité
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L'objectif de ce chapitre est d'étendre les définitions de limites et de continuité vues en analyse réelle aux espaces vectoriels normés (evn). Ce sont en fait les mêmes définitions et propriétés que dans , mis à part qu'on remplace la valeur absolue par la norme.

Dans toute la suite, et sont deux evn, est une partie de , et est une application de dans .

Notions purement topologiques[modifier | modifier le wikicode]

Les notions topologiques générales de limite et de continuité se transcrivent, dans un evn, de la manière suivante.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]




Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Comme dans tout espace topologique, on a :


Comme dans tout espace séparé, on a, dans un espace métrique (en particulier dans un evn) :


Propriétés métriques[modifier | modifier le wikicode]

Un evn étant un cas particulier d'espace métrique, il jouit des propriétés supplémentaires suivantes :

Caractérisations séquentielles[modifier | modifier le wikicode]


Continuité uniforme[modifier | modifier le wikicode]




Propriétés spécifiques aux evn[modifier | modifier le wikicode]

Ce n'est que dans cette dernière section que la structure vectorielle de et intervient.

Linéarité de la limite[modifier | modifier le wikicode]


Continuité des applications linéaires[modifier | modifier le wikicode]

Si est une application linéaire (donc définie sur ), la question de sa continuité est traitée par le théorème suivant.

Début d’un théorème


Fin du théorème


D'après cette démonstration, la constante de Lipschitz de est alors égale à (le plus petit vérifiant la propriété 5) ainsi qu'à .

On démontre alors :

Début d’un théorème


Fin du théorème