Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Limites et continuité

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Limites et continuité
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Chapitre no 2
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Définitions - Éléments de Topologie
Chap. suiv. :Connexité

Exercices :

Applications linéaires continues
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Espaces vectoriels normés/Limites et continuité
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L'objectif de ce chapitre est d'étendre les définitions de limites et de continuité vues en analyse réelle aux espaces vectoriels normés (evn). Les définitions et les propriétés seront similaires à celles vues dans , mis à part qu'on remplace la valeur absolue par la norme. Nous allons mettre en applications les notions topologiques vues dans le chapitre précédent pour définir les notions de limites et de continuité.

Dans toute la suite, et sont deux evn, est une partie de , et est une application de dans .

Limite d'une suite dans un e.v.n.[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Dans un premier temps voyons la définition de limite d'une suite dans un e.v.n.. De manière similaire aux limites d'une suite dans , on définit la limite d'une suite en termes de proximité à un point à partir d'un certain rang, mais ici la valeur absolue est remplacée par la norme.




La propriété suivante, qui peut paraître évidente pour le lecteur habitué au cas réel, est fondamentale.


Remarque 
  • Pour information, ce résultat n'est pas toujours vrai pour des espaces plus généraux, comme les espaces non séparés.

L'introduction de la notion de voisinage dans le chapitre précédent va nous permettre de donner une caractérisation équivalente de la limite qui est utilisée dans les généralisations de cette notion, et qui permet de simplifier parfois les raisonnements.


Comme nous sommes dans une espace vectoriel, il est important de connaître le comportement de la notion de limite vis-à-vis de la structure algébrique, et ici tout se passe bien car on constate la linéarité de la limite. La démonstration de ce résultat repose essentiellement sur l'inégalité triangulaire aussi elle est laissée en exercice pour le lecteur.


Applications à la topologie[modifier | modifier le wikicode]

La propriété suivante est une caractérisation séquentielle (i.e. avec des suites) de certaines notions de topologie, et va permettre de déterminer l'adhérence d'une partie de .


Concernant la densité, le corollaire direct suivant fournit le principal outil pour montrer qu'une partie est dense dans .


Remarque 
  • Cela confirme la remarque faite lors de la définition de la densité : une partie est dense dans si tous les points de peuvent être approchés par des points de .

Limite et continuité d'une fonction dans un e.v.n.[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]


Remarque 
  • Tout comme pour les fonctions définies sur , on peut se représenter la notion de limite en imaginant que l'on se rapproche d'un point. Cependant, sur , il n'y a que deux possibilités pour approcher un point : par valeurs supérieures ou inférieures. Ce n'est plus le cas dans les espaces de dimension (réelle) strictement plus grande que . On ne peut donc plus scinder un problème de limite en deux cas.
  • On peut également trouver le terme application bicontinue au lieu d'homéomorphisme dans certains textes.

Voyons maintenant d'autres caractérisations importantes de la continuité.


Remarque 
  • En pratique ce résultat est très utile pour montrer que des parties sont ouvertes ou fermées.

On a également la caractérisation séquentielle suivante pour la limite et la continuité d'une fonction qui est très utile en pratique, en particulier pour montrer qu'une application n'est pas continue.


Remarque 
  • On déduit immédiatemment de ce résultat l'unicité de la limite des fonctions, ainsi que la linéarité de la limite de fonction et de la continuité en utilisant la linéarité de la limite des suites. Plus précisément, si sont deux fonctions continues en un point , alors la fonction est continue.
  • Pour montrer qu'une application n'est pas continue en , il suffit de trouver une suite tel que la suite ne converge pas vers .


Une des opérations fondamentales sur les fonctions est la composition de deux fonctions, il est donc important de savoir si la composée de deux fonctions continues est encore continue. La propriété suivante nous assure que c'est bien le cas, et elle sera très pratique pour savoir si des fonctions sont continues en un point, ou sur une partie de .


Nous avons introduit dans les chapitre précédent la notion de normes équivalentes, et nous allons maintenant voir l'utilité de cette notion. En effet, les limites de suites et la continuité dépendent de la norme choisie aussi nous devons savoir si la continuité est conservée si l'on change de norme par une norme équivalente sur l'espace d'arrivée et/ou de départ. La proposition suivante va nous assurer que la continuité est préservée.



Remarque 
  • Cette propriété est particulièrement utile en pratique car pour montrer la continuité d'une application on peut choisir la norme qui nous arrange le plus parmi toutes les normes équivalentes à celle de départ. En particulier, nous allons voir qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes ce qui nous permettra de travailler avec la norme de notre choix.
  • Cette propriété est également valable pour la continuité uniforme, et le fait d'être lipschitzienne qui sont des notions que nous allons introduire dès maintenant mais que nous n'avons pas intégrer à l'énoncé pour ne pas alourdir outre mesure.

Continuité uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Voyons maintenant une notion plus subtile que la continuité simple : la continuité uniforme. Encore une fois, la définition est similaire à celle donnée pour les fonctions réelles à condition de remplacer les valeurs absolues par la normes.


Remarque 
  • On attire le lecteur sur l'inversion des quantificateurs par rapport à la définition de la continuité qui fait la subtilité de cette notion. Ici, le réel est valable pour tout contrairement à la continuité.
  • On voit ici que la continuité uniforme est une notion globale, alors que la continuité possède deux facettes : l'une locale et l'autre globale.
  • La continuité uniforme n'est pas une notion topologique : il n'existe pas de caractérisation à l'aide d'ouverts ou de voisinages.

La proposition suivante, qui découle immédiatemment de la définition, justifie en quelque sorte le vocabulaire utilisé. Il faut retenir que la continuité uniforme est plus forte que la continuité.


Pour terminer, on introduit une nouvelle classe de fonction que l'on appelle les fonctions lipschitziennes. Nous verrons qu'elles sont un cas particulier de fonction uniformément continue dont la caractérisation est souvent plus simple.




L'intérêt des fonctions K-lipschitzienne est que l'on a une idée de comment elle transforme les distances au sein de nos espaces comme nous l'assure la définition. En comparant les définitions, le lecteur devrait être convaincu qu'il est plus facile de démontrer qu'une fonction est lipschitzienne qu'uniformément continue, ce qui va être pratique au vu de la proposition suivante dont la démonstration sera également laissée en exercice.



Cas particulier des applications linéaires[modifier | modifier le wikicode]

En algèbre linéaire, les applications linéaires jouent un rôle fondamental. Il est donc logique de se demander comment elles se comportent vis-à-vis de la norme, c'est-à-dire si elles sont continues ou non. Il se trouve que pour les applications linéaires la continuité et le fait d'être K-lipschitzienne sont équivalentes ce qui simplifie l'étude. Nous verrons dans un chapitre ultérieur qu'en dimension finie toutes les applications linéaires sont continues, ce qui est faux en dimension infinie. Les différentes propriétés que nous allons voir s'utiliserons constamment en analyse fonctionnelle en particulier.


Début d’un théorème


Fin du théorème


D'après cette démonstration, la constante de Lipschitz de est alors égale à (le plus petit vérifiant la propriété 5) ainsi qu'à . On va ainsi pouvoir construire une norme sur l'espace vectoriel des applications linéaires continues comme le montre le théorême suivant.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque 
  • Il faut remarquer que par définition : .
  • Le lecteur prendra garde à ne pas confondre qui est l'espace des applications linéaires et qui est l'espace des applications linéaires continues.

Voyons maintenant comment cette norme se comporte vis-à-vis de la composition des applications linéaires :