Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Connexité

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Connexité
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Exercices no5
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Connexité

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Espaces complets
Exo suiv. :Dénombrabilité
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Topologie générale/Exercices/Connexité
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Connexité[modifier | modifier le wikicode]

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Dans , soit un sous-espace affine de dimension . Quel est le nombre de composantes connexes de  ?

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Une application f d'un espace topologique X dans un ensemble Y est dite localement constante si tout point de X possède un voisinage sur lequel f est constante.

  1. Soient un ouvert de et dérivable et de dérivée nulle. Montrer que est localement constante.
  2. Montrer que si une application est localement constante alors elle est constante sur chaque composante connexe de .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux parties d'un espace topologique .

  1. Montrer que si et sont fermés dans et si et sont connexes, alors et sont connexes.
  2. Trouver un contre-exemple pour ou non fermé.
  3. Montrer que si et sont connexes et si est non vide, alors est connexe.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace connexe et localement connexe. Soient et deux fermés de non vides et disjoints. Montrer qu'il existe une composante connexe de dont l'adhérence rencontre à la fois et .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient un intervalle réel et une injection continue. On pose et .

  1. Montrer que est un intervalle.
  2. En déduire que est monotone.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit . Montrer qu'il existe deux fonctions continues distinctes dont le graphe est inclus dans Z et contient .
  2. Soient un espace topologique quelconque, un espace séparé, une application continue, son graphe et un point de ce graphe.
    On suppose que G est ouvert dans une certaine partie Z de V×F (pour la topologie induite sur Z). Montrer qu'alors, sur tout connexe de V contenant , est la seule application continue dont le graphe est inclus dans Z et contient .

Connexité par arcs[modifier | modifier le wikicode]

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Courbe sinus du topologue ».

Soit le graphe de l’application  : . Montrer que est connexe mais pas connexe par arcs.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que le groupe topologique SO(3) des matrices de rotation en dimension 3 est connexe par arcs.

Remarque : il en résulte évidemment que le groupe orthogonal O(3) a deux composantes connexes par arcs : SO(3) et son complémentaire.

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit un ouvert connexe de .

  1. Montrer que est connexe par arcs polygonaux.
  2. Soit une droite de . Montrer que est connexe.

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que pour deux points distincts quelconques et du plan, il existe une famille de chemins dans le plan de à , polygonaux, et tels que les soient disjoints deux à deux.
  2. En déduire que pour toute partie au plus dénombrable du plan, est connexe par arcs polygonaux.
  3. Montrer de même que est connexe par arcs C.