Leçons de niveau 15

Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions

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Suites de fonctions
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Chapitre no 1
Leçon : Suites et séries de fonctions
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Chap. suiv. :Séries de fonctions

Exercices :

Suites de fonctions
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Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions
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On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle.




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Convergence simple[modifier | modifier le wikicode]



Cela signifie qu'on se fixe une valeur de et qu'on étudie la convergence d'une suite "paramétrée par " qui est la suite .

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


On remarque dans cet exemple que la convergence simple ne permet pas de maîtriser les propriétés analytiques de la fonction limite : la suite de fonctions ici considérée est une suite de fonctions continues mais la fonction limite présente une discontinuité en . C'est ce qui motive l’introduction de la notion de convergence uniforme.

Convergence uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu "uniformément" (c'est-à-dire "à la même vitesse") sur tout le domaine de définition .Ce n’est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une "bosse" en qui "persiste" lors du passage à la limite.




On abrègera « convergence simple » en « CVS » et « convergence uniforme » en « CVU ».

Remarque Sur l'espace , (où est un compact), la norme « infinie » ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit :

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Propriétés des suites de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés de la convergence simple[modifier | modifier le wikicode]

La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :



(démonstration et exemple à faire)

Propriétés de la convergence uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d’abord :

Début d’un théorème


Fin du théorème

La réciproque est fausse (voyez le premier exemple ci-dessus).


Début d’un théorème


Fin du théorème

La démonstration repose de façon cruciale sur la convergence des suites de Cauchy dans . Pour un énoncé plus général — dans lequel le critère de Cauchy pour les suites est étendu aux fonctions — voir « Corollaire : théorème d'interversion des limites » dans la leçon de topologie (de niveau 16).



La contraposée de ce corollaire est pariculièrement utile : si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors la convergence de la suite de fonctions n’est pas uniforme.

(exemples à faire)


Début d’un théorème


Fin du théorème

(Si les sont continues, le sera donc également.)

(démonstration et exemple à faire)


Début d’un théorème


Fin du théorème

C'est un corollaire du théorème précédent, grâce au théorème fondamental de l'analyse.

(exemple à faire)


Enfin, on a le :

Début d’un théorème


Fin du théorème