Leçons de niveau 15

Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions

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Suites de fonctions
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Chapitre no 1
Leçon : Suites et séries de fonctions
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Chap. suiv. :Séries de fonctions

Exercices :

Suites de fonctions
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Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions
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On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Convergence simple[modifier | modifier le wikicode]


Cela signifie qu'on se fixe une valeur de et qu'on étudie la convergence d'une suite « paramétrée par  » qui est la suite .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On remarque dans cet exemple que la convergence simple ne permet pas de maîtriser les propriétés analytiques de la fonction limite : la suite de fonctions ici considérée est une suite de fonctions continues mais la fonction limite présente une discontinuité en . C'est ce qui motive l’introduction de la notion de convergence uniforme.

Convergence uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu "uniformément" (c'est-à-dire "à la même vitesse") sur tout le domaine de définition . Ce n’est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une "bosse" en qui "persiste" lors du passage à la limite.


On abrègera « convergence simple » en « CVS » et « convergence uniforme » en « CVU ».

Remarque Sur l'espace , (où est un compact), la norme « infinie » ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit :

.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Propriétés des suites de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés de la convergence simple[modifier | modifier le wikicode]

La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :

(démonstration et exemple à faire)

Propriétés de la convergence uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d’abord :

Début d’un théorème
Fin du théorème

La réciproque est fausse (voyez le premier exemple ci-dessus).


Début d’un théorème
Fin du théorème

La démonstration repose de façon cruciale sur la convergence des suites de Cauchy dans . Pour un énoncé plus général — dans lequel le critère de Cauchy pour les suites est étendu aux fonctions — voir « Corollaire : théorème d'interversion des limites » dans la leçon de topologie (de niveau 16).

La contraposée de ce corollaire est pariculièrement utile : si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors cette convergence n'est pas uniforme.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème

(Si les sont continues, le sera donc également.)

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème

C'est un corollaire du théorème précédent, grâce au théorème fondamental de l'analyse.


Avertissement :

Sur un intervalle non borné, la convergence uniforme d'une suite de fonctions n'implique pas la convergence de la suite de leurs intégrales.

Exemple : soit une fonction bornée, intégrable et d'intégrale non nulle. Posons .

Alors, mais .


Enfin, on a le

Début d’un théorème
Fin du théorème