Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions

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On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle.

Définition : Suite de fonctions

Une suite de fonctions est une suite $(f_{n})$ à valeurs dans $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ (l'ensemble des fonctions d'une variable réelle), c'est-à-dire qu'elle associe à chaque entier naturel $n$ la fonction $f_{n}$ :

$(f_{n}):{\begin{array}{lcl}\mathbb {N} &\rightarrow &\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\\n&\mapsto &f_{n}\end{array}}$

Début de l'exemple

Exemple

Voici la représentation graphique pour quelques valeurs de $n$ de la suite de fonctions $(f_{n})$ définie par $f_{n}(x)=\sin ^{n}x\;\forall n\in \mathbb {N}$ sur l'intervalle $[0;\pi ]$ .

Fin de l'exemple

Convergence simple

Définition : Convergence simple d'une suite de fonctions

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions définies sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$.

On dit que $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction $f$ si pour chaque réel $x$ de ${\mathcal {D}}$, la suite numérique $(f_{n}(x))$ converge vers le réel $f(x)$.

Dans le « langage des $\varepsilon$ », cela donne :

$\forall x\in {\mathcal {D}}\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists n_{\varepsilon ,x}\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad n\geq n_{\varepsilon ,x}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$.

Cela signifie qu'on se fixe une valeur de $x\in {\mathcal {D}}$ et qu'on étudie la convergence d'une suite « paramétrée par $x$ » qui est la suite $(f_{n}(x))$ .

Début de l'exemple

Exemple

La figure ci-dessus permet de penser que la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction $f$ définie sur $[0,\pi ]$ par :

$f:x\mapsto {\begin{cases}0,\mathrm {\;si\;} x\neq {\frac {\pi }{2}}\\1,\mathrm {\;si\;} x={\frac {\pi }{2}}\end{cases}}$

Pour le démontrer, il suffit de remarquer que $\forall x\in [0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}\right\}\quad |\sin x|<1$. On a donc dans ce cas affaire à une suite $(f_{n}(x))$ géométrique de raison $\sin x$ qui converge donc vers $0$. La suite $(f_{n}({\frac {\pi }{2}}))$ est constante et converge vers $1$.

Fin de l'exemple

On remarque dans cet exemple que la convergence simple ne permet pas de maîtriser les propriétés analytiques de la fonction limite : la suite de fonctions ici considérée est une suite de fonctions continues mais la fonction limite présente une discontinuité en ${\frac {\pi }{2}}$ . C'est ce qui motive l’introduction de la notion de convergence uniforme.

Convergence uniforme

Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu "uniformément" (c'est-à-dire "à la même vitesse") sur tout le domaine de définition ${\mathcal {D}}$. Ce n’est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une "bosse" en ${\frac {\pi }{2}}$ qui "persiste" lors du passage à la limite.

Définition : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions définies sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$.

• On dit que $(f_{n})$ converge uniformément vers la fonction $f$ si :

  $\forall \varepsilon >0\quad \exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad n\geq n_{\varepsilon }\Rightarrow \forall x\in {\mathcal {D}}\quad |f_{n}(x)-f(x)|\leq \varepsilon$.

• Cela équivaut à dire que la suite de terme général $\|f_{n}-f\|_{\infty }=\sup _{x\in {\mathcal {D}}}|f_{n}(x)-f(x)|$ converge vers $0$, c'est-à-dire :

  $\forall \varepsilon >0\quad \exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad n\geq n_{\varepsilon }\Rightarrow \|f_{n}-f\|_{\infty }<\varepsilon$.

On abrègera « convergence simple » en « CVS » et « convergence uniforme » en « CVU ».

Remarque Sur l'espace ${\mathcal {C}}^{0}({\mathcal {D}})$, (où ${\mathcal {D}}$ est un compact), la norme « infinie » ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit :

${\|f\|}_{\infty }=\sup _{t\in {\mathcal {D}}}|f(t)|$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit la suite de fonctions $f_{n}:x\mapsto \mathrm {e} ^{-nx}$ définies sur $\left[1,+\infty \right[$.

Montrer que cette suite converge uniformément vers la fonction nulle.

Solution

Pour tout réel $x\geq 1$, on a $0<f_{n}(x)\leq f_{n}(1)=\mathrm {e} ^{-n}$. Donc

$\|f_{n}-f\|_{\infty }=\mathrm {e} ^{-n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}0$.

On en déduit le résultat voulu :

$(f_{n}){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}0$.

 

Fin de l'exemple

Propriétés des suites de fonctions

Propriétés de la convergence simple

La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :

Propriétés

Soit $(f_{n}){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVS}}f$ sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$ .
Si $\forall n\in \mathbb {N}$ la fonction $f_{n}$ est croissante sur ${\mathcal {D}}$ , alors la fonction limite $f$ est croissante sur ${\mathcal {D}}$ .
La propriété reste vraie en remplaçant "croissante" par "décroissante", "paire", "impaire" (pour la parité, le domaine ${\mathcal {D}}$ doit être symétrique par rapport à $0$ ).

(démonstration et exemple à faire)

Propriétés de la convergence uniforme

Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d’abord :

Début d’un théorème

Théorème

Toute suite de fonctions uniformément convergente est simplement convergente.

Fin du théorème

La réciproque est fausse (voyez le premier exemple ci-dessus).

Démonstration

Si $\forall \varepsilon >0,\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} |\forall x\in {\mathcal {D}},\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{\varepsilon ,}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ , alors $\forall x\in {\mathcal {D}},\forall \varepsilon >0,\exists n_{\varepsilon ,x}=n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} |\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{\varepsilon ,x}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$.
"En clair", si pour tout $\varepsilon >0$, je peux trouver un rang $n_{\varepsilon }$ tel que la convergence ait lieu indépendamment de $x$ alors, pour tout $x$, je peux trouver un rang $n_{\varepsilon ,x}=n_{\varepsilon }$ tel que la convergence ait lieu.

 

Début d’un théorème

Théorème d'interversion des limites

Soit $(f_{n}){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}f$ sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$ et soit $a$ un point adhérent à ${\mathcal {D}}$.

Si pour tout $n$, $\ell _{n}=\lim _{a}f_{n}$ existe, alors les deux limites $\lim _{a}f$ et $\lim _{n\to +\infty }\ell _{n}$ existent et sont égales, autrement dit :

$\lim _{x\to a}\left(\lim _{n\to +\infty }f_{n}(x)\right)=\lim _{n\to +\infty }\left(\lim _{x\to a}f_{n}(x)\right)$.

Fin du théorème

La démonstration repose de façon cruciale sur la convergence des suites de Cauchy dans $\mathbb {R}$. Pour un énoncé plus général — dans lequel le critère de Cauchy pour les suites est étendu aux fonctions — voir « Corollaire : théorème d'interversion des limites » dans la leçon de topologie (de niveau 16).

Démonstration

Par hypothèse, pour tout $\varepsilon >0$ :

• puisque $(f_{n}){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}f$ : $\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad n\geq n_{\varepsilon }\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \qquad (*)$ ;
• puisque $\lim _{a}f_{n}=\ell _{n}$ : $\forall n\in \mathbb {N} \quad \exists \eta _{\varepsilon ,n}>0\quad \forall x\in {\mathcal {D}}\quad |x-a|<\eta _{\varepsilon ,n}\Rightarrow |f_{n}(x)-\ell _{n}|<\varepsilon$.

Pour $p,q\geq n_{\varepsilon }$ fixés, on déduit de $(*)$ que $\forall x\in {\mathcal {D}}\quad |f_{p}(x)-f_{q}(x)|<2\varepsilon$ donc (par passage à la limite quand $x\to a$) $|\ell _{p}-\ell _{q}|\leq 2\varepsilon$.

Ceci prouve que la suite $(\ell _{n})$ est de Cauchy. Elle admet donc une limite $\ell$, qui vérifie (par passage à la limite quand $q\to +\infty$) : $\forall p\geq n_{\varepsilon }\quad |\ell _{p}-\ell |\leq 2\varepsilon$.

Soit $\delta _{\varepsilon }=\eta _{\varepsilon ,n_{\varepsilon }}$. Pour tout $x\in {\mathcal {D}}\cap \left]a-\delta _{\varepsilon },a+\delta _{\varepsilon }\right[$, on a :

$|f(x)-\ell |\leq |f(x)-f_{n_{\varepsilon }}(x)|+|f_{n_{\varepsilon }}(x)-\ell _{n_{\varepsilon }}|+|\ell _{n_{\varepsilon }}-\ell |<4\varepsilon$,

ce qui prouve que $\lim _{a}f=\ell$.

 

Corollaire

La limite d'une suite uniformément convergente de fonctions continues est continue.

La contraposée de ce corollaire est pariculièrement utile : si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors cette convergence n'est pas uniforme.

Début de l'exemple

Exemple

On considère une fonction $f:[0,1]\to [0,1]$ strictement croissante telle que $f(1)=1$. Étudier la convergence (simple et uniforme) de la suite $(f^{n})$.

Solution

$(f^{n})$ converge simplement vers la fonction $f$ indicatrice de $\{1\}$, qui est discontinue. La convergence n’est donc pas uniforme. Remarquons qu'on a tout de même $\int _{0}^{1}f^{n}\to 0=\int _{0}^{1}f$. En effet, pour tout $\varepsilon >0$, $\int _{0}^{1-\varepsilon }f^{n}\to 0$ (par convergence uniforme sur $[0,1-\varepsilon ]$ ou simplement par majoration par $(1-\varepsilon )f^{n}(1-\varepsilon )$) et $\int _{1-\varepsilon }^{1}f^{n}\leq \varepsilon$.

 

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème d'interversion limite-dérivée

Soit $f_{n},g$ définies sur un intervalle ouvert ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$.

Si :

• $(f'_{n}){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}g$ sur ${\mathcal {D}}$ ;
• il existe un point $a\in {\mathcal {D}}$ tel que $\left(f_{n}\left(a\right)\right)$ converge ;

alors :

• la suite $\left(f_{n}\right)$ converge simplement vers une fonction $f$ définie sur ${\mathcal {D}}$ (la convergence est même uniforme sur tout sous-intervalle borné de ${\mathcal {D}}$) ;
• cette fonction $f$ est dérivable et $f'=g$, autrement dit :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\lim _{n\to +\infty }f_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f_{n}\right)$

.

Fin du théorème

(Si les $f'_{n}$ sont continues, $f'$ le sera donc également.)

Démonstration

Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Théorème de différentiation terme à terme

 

Début de l'exemple

Exemple

Pour $n\in \mathbb {N}$ et $x\in [0,\pi /2]$, on note $f_{n}(x)=n\cos ^{n}x\sin x$.

Montrer que la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement mais pas uniformément.

Solution

$f_{n}(0)=0$ et pour tout $x\in \left]0,\pi /2\right]$, $f_{n}(x)\to 0$ (par croissances comparées). Cependant, $\int _{0}^{\pi /2}f_{n}=\int _{1}^{0}nt^{n}\,(-\mathrm {d} t)={\frac {n}{n+1}}\to 1$. La convergence de $(f_{n})$ vers $0$ n'est donc pas uniforme sur $[0,\pi /2]$ (elle l'est seulement sur $[\varepsilon ,\pi /2]$ pour tout $\varepsilon >0$). C'est même pire et l'on peut d'ailleurs le redémontrer directement : $\forall x\in [0,\pi /2]\quad 0\leq f_{n}(x)\leq f_{n}\left(\arctan {\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)$ donc $\|f_{n}\|_{\infty }={\sqrt {n}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\sim {\sqrt {\frac {n}{\mathrm {e} }}}\to +\infty$.

 

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème d'interversion limite-intégrale

Soit $(f_{n}){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}f$ sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$ et soient $a<b\in {\mathcal {D}}$. On suppose de plus que $f_{n}$ est continue par morceaux sur $[a,b]\subset {\mathcal {D}}$ pour tout $n\in \mathbb {N}$.

Alors :

$\int _{a}^{b}\lim _{n\to +\infty }f_{n}(x)\;\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\;\mathrm {d} x$.

Fin du théorème

C'est un corollaire du théorème précédent, grâce au théorème fondamental de l'analyse.

Sur un intervalle non borné, la convergence uniforme d'une suite de fonctions n'implique pas la convergence de la suite de leurs intégrales.

Exemple : soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction bornée, intégrable et d'intégrale non nulle. Posons $f_{n}(x)={\frac {1}{n}}f\left({\frac {x}{n}}\right)$.

Alors, $\|f_{n}\|_{\infty }={\frac {1}{n}}\|f\|_{\infty }\to 0$ mais $\int _{-\infty }^{+\infty }f_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }f\neq 0$.

Enfin, on a le

Début d’un théorème

Théorème de convergence dominée (Lebesgue)

Si :

• $f_{n}$ est continue par morceaux sur $[a,b]$ pour tout $n\in \mathbb {N}$ ;
• la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $[a,b]$ ;
• il existe une fonction $g$ continue par morceaux sur $[a,b]$ telle que :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in [a,b]\quad |f_{n}(x)|\leq g(x)$ (hypothèse de domination) ;

alors

$\int _{a}^{b}\lim _{n\to +\infty }f_{n}(x)\;\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\;\mathrm {d} x$.

Fin du théorème