En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Suites et séries de fonctions : Suites de fonctions Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle.
Définition : Suite de fonctions
Une suite de fonctions est une suite à valeurs dans (l'ensemble des fonctions d'une variable réelle), c'est-à-dire qu'elle associe à chaque entier naturel la fonction :
Début de l'exemple
Exemple
Voici la représentation graphique pour quelques valeurs de de la suite de fonctions définie par sur l'intervalle .
Définition : Convergence simple d'une suite de fonctions
Soit une suite de fonctions définies sur .
On dit que converge simplement vers la fonction si pour chaque réel de , la suite numérique converge vers le réel .
Dans le « langage des », cela donne :
.
Cela signifie qu'on se fixe une valeur de et qu'on étudie la convergence d'une suite « paramétrée par » qui est la suite .
Début de l'exemple
Exemple
La figure ci-dessus permet de penser que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction définie sur par :
Pour le démontrer, il suffit de remarquer que . On a donc dans ce cas affaire à une suite géométrique de raison qui converge donc vers . La suite est constante et converge vers .
Fin de l'exemple
On remarque dans cet exemple que la convergence simple ne permet pas de maîtriser les propriétés analytiques de la fonction limite : la suite de fonctions ici considérée est une suite de fonctions continues mais la fonction limite présente une discontinuité en . C'est ce qui motive l’introduction de la notion de convergence uniforme.
Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu "uniformément" (c'est-à-dire "à la même vitesse") sur tout le domaine de définition . Ce n’est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une "bosse" en qui "persiste" lors du passage à la limite.
Définition : Convergence uniforme d'une suite de fonctions
La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :
Propriétés
Soit sur .
Si la fonction est croissante sur , alors la fonction limite est croissante sur .
La propriété reste vraie en remplaçant "croissante" par "décroissante", "paire", "impaire" (pour la parité, le domaine doit être symétrique par rapport à ).
Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d’abord :
Début d’un théorème
Théorème
Toute suite de fonctions uniformément convergente est simplement convergente.
Fin du théorème
La réciproque est fausse (voyez le premier exemple ci-dessus).
'Démonstration'
Si , alors .
"En clair", si pour tout , je peux trouver un rang tel que la convergence ait lieu indépendamment de alors, pour tout , je peux trouver un rang tel que la convergence ait lieu.
Pour fixés, on déduit de que donc (par passage à la limite quand ) .
Ceci prouve que la suite est de Cauchy. Elle admet donc une limite , qui vérifie (par passage à la limite quand ) : .
Soit . Pour tout , on a :
,
ce qui prouve que .
Corollaire
La limite d'une suite uniformément convergente de fonctions continues est continue.
La contraposée de ce corollaire est pariculièrement utile : si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors cette convergence n'est pas uniforme.
Début de l'exemple
Exemple
On considère une fonction strictement croissante telle que . Étudier la convergence (simple et uniforme) de la suite .
Solution
converge simplement vers la fonction indicatrice de , qui est discontinue. La convergence n’est donc pas uniforme. Remarquons qu'on a tout de même . En effet, pour tout , (par convergence uniforme sur ou simplement par majoration par ) et .
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Théorème d'interversion limite-dérivée
Soit définies sur un intervalle ouvert .
Si :
sur ;
il existe un point tel que converge ;
alors :
la suite converge simplement vers une fonction définie sur (la convergence est même uniforme sur tout sous-intervalle borné de ) ;
Montrer que la suite de fonctions converge simplement mais pas uniformément.
Solution
et pour tout , (par croissances comparées). Cependant, . La convergence de vers n'est donc pas uniforme sur (elle l'est seulement sur pour tout ). C'est même pire et l'on peut d'ailleurs le redémontrer directement : donc .
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Théorème d'interversion limite-intégrale
Soit sur et soient . On suppose de plus que est continue par morceaux sur pour tout .