Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Jacobien

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Jacobien
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Chapitre no 3
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. : Différentiabilité
Chap. suiv. : Théorèmes utiles
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Calcul différentiel/Jacobien
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Le jacobien est une généralisation de la dérivée et du gradient pour les fonctions de plusieurs variables. Cette notion a de nombreuses applications, en mathématiques mais aussi en robotique et en biologie.

Gradient d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

La dérivée d'une fonction en un point donne l'équation de sa tangente.







Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Jacobien et matrice jacobienne[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple





Propriétés[modifier | modifier le wikicode]




Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


On peut interpréter le jacobien d'une application en termes de « modification » des volumes. Lors d'une transformation, un volume élémentaire sera multiplié par la valeur absolue du jacobien de la transformation. En particulier, un jacobien identiquement égal à 1 conserve les volumes. On note cela de la manière suivante :

Changements de variables[modifier | modifier le wikicode]

L'utilisation la plus courante du jacobien concerne les changement de variables dans les intégrales multiples.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Développements limités[modifier | modifier le wikicode]

Le jacobien permet d'effectuer l'équivalent des développements limités pour les fonctions réelles à l’ordre un. On a en effet :

Début d’un théorème


Fin du théorème


On retrouve en quelque sorte l'interprétation « géométrique » que l’on avait pour la dérivée : la matrice jacobienne permet d'obtenir un objet « tangent » à la fonction.