Calcul différentiel/Jacobien

Leçons de niveau 15
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Jacobien
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. :Différentiabilité
Chap. suiv. :Théorèmes utiles
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Calcul différentiel : Jacobien
Calcul différentiel/Jacobien
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Le jacobien est une généralisation de la dérivée et du gradient pour les fonctions de plusieurs variables. Cette notion a de nombreuses applications, en mathématiques mais aussi en robotique et en biologie.

Gradient d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

La dérivée d'une fonction en un point donne l'équation de sa tangente.



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Jacobien et matrice jacobienne[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

On peut interpréter le jacobien d'une application en termes de « modification » des volumes. Lors d'une transformation, un volume élémentaire sera multiplié par la valeur absolue du jacobien de la transformation. En particulier, un jacobien identiquement égal à 1 conserve les volumes. On note cela de la manière suivante : .

Changement de variables[modifier | modifier le wikicode]

L'utilisation la plus courante du jacobien concerne le changement de variables dans les intégrales multiples.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Développements limités[modifier | modifier le wikicode]

Le jacobien permet d'effectuer l'équivalent des développements limités pour les fonctions réelles à l’ordre un. On a en effet :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On retrouve en quelque sorte l'interprétation « géométrique » que l’on avait pour la dérivée : la matrice jacobienne permet d'obtenir un objet « tangent » à la fonction.