Leçons de niveau 16

Topologie générale/Espace métrique

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Espace métrique
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Chapitre no 9
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Suites
Chap. suiv. :Complétude

Exercices :

Espaces métriques
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Topologie générale/Espace métrique
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La notion d'espace métrique est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'espace topologique, plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.

Définition et exemples[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Boules[modifier | modifier le wikicode]



Début d'un lemme


Fin du lemme






Topologie[modifier | modifier le wikicode]

D'après le corollaire 2, les boules ouvertes de constituent une base d'une (unique) topologie sur .


On assimile souvent un espace métrique à son espace topologique. Tout espace métrique est séparé et même parfaitement normal.

Les ouverts de cette topologie sont, par définition, les réunions de boules ouvertes. Le corollaire 1 ci-dessus en donne une caractérisation.

Les boules ouvertes sont évidemment des ouverts, et l'on démontre facilement (exercice) que les boules fermées sont des fermés. Par conséquent, l'adhérence de est incluse dans et l'intérieur de contient (exercice).

Dans un espace vectoriel normé, pour tout , ces inclusions sont des égalités (exercice).

Panneau d’avertissement Dans un espace métrique quelconque, ces inclusions peuvent être strictes.

Considérer par exemple (exercice) les boules et la topologie associées à une distance discrète.

Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :


C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de dont le diamètre tend vers constitue une base de voisinages de .

Dans un espace topologique, nous avons vu que toute limite d'une sous-suite d'une suite est une valeur d'adhérence de . Dans un espace métrique, la réciproque est vraie :



Continuité uniforme[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple