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Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites

Leçons de niveau 15
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Inversion locale, fonctions implicites
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Exercices no2
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Théorèmes utiles

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Différentiabilité
Exo suiv. :Recherches d'extrema
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Inversion locale, fonctions implicites
Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



  1. Montrer que l'application est un C1-difféomorphisme de l'ouvert sur le plan privé de la demi-droite . Si , donner les formules de passage entre les dérivées partielles de et celles de .
  2. Soit le plan privé de l'origine, et . Montrer que est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de mais n'est pas un difféomorphisme global.
  3. Soit l'application de dans définie par . Trouver un ouvert connexe maximal tel que soit un difféomorphisme de sur .
  4. Soit l'application de dans définie par . Montrer que est de classe C1 et que est inversible pour tout , mais que n'est pas un difféomorphisme de sur .

Soit .

  1. Justifier que est de classe C1, calculer sa différentielle et voir que est inversible pour tout .
  2. Montrer que est injective et en déduire que c'est un C1-difféomorphisme de sur . Justifier que est un ouvert.
  3. Montrer que (définie sur ) est lipschitzienne (quelle que soit la norme choisie sur ).
  4. En déduire que est un difféomorphisme de sur .
  5. Soit . Calculer .

Généralisation : soit différentiable. On suppose qu'il existe tel que pour tout

(*) .
  1. Justifier que est injective.
  2. Montrer que pour tous , (on pourra prendre dans (*) puis faire tendre vers ).
  3. Soit . Montrer que .
  4. En déduire que la fonction admet un minimum global sur . En calculant son gradient en ce point de minimum, montrer qu'il existe tel que .
  5. Conclure que est surjective de sur .
  6. Application : soit dérivable. On suppose qu'il existe tel que . On définit alors la fonction . Montrer que et en déduire que (et donc d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, si bien que d'après tout ce qui précède, est bijective).

Soient et la matrice unité dans . En considérant , montrer qu'il existe tel que toute matrice vérifiant admette une racine carrée.

  1. Montrer que si et sont voisins de , on peut trouver tels que et .
  2. Soit , et soit une suite convergeant vers . Montrer que si pour tout , la suite stationne.
  1. Donner l'allure de la courbe d'équation au voisinage des points et .
  2. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  3. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  4. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  1. Soient un polynôme réel de degré et une racine simple de .
    En considérant l'application , montrer qu'il existe un voisinage de tel que tout polynôme ait une unique racine dans , que cette racine soit simple, et que l'application soit de classe C.
  2. Montrer que si a racines simples, il existe un voisinage de et fonctions C tels que pour tout , les réels soient distincts et soient des racines simples de .
  3. Que se passe-t-il pour les racines multiples ?

Soient tels que . Montrer que :

  1. l'application est injective ;
  2. toute suite dans dont l'image par converge est elle-même convergente ;
  3. l'ensemble est fermé et la bijection est continue ;
  4. est un difféomorphisme de sur lui-même si et seulement si  ;
  5. si alors est un homéomorphisme de sur lui-même .

Soit définie par

.

Soit tel que

.

Montrez que dans un voisinage de , la relation définit une courbe image d'un intervalle contenant par une application de classe C.

descriptif indisponible
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  1. Soient définie par et l'ensemble des tels que .
    1. Au voisinage de quels points la relation détermine-t-elle en fonction de  ? en fonction de  ?
    2. Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu'elle existe et écrire l'équation de la tangente à .
  2. Montrer que l'équation définit au voisinage de une fonction implicite de dont on calculera le développement limité à l'ordre en .
  3. Montrer que les équations définissent au voisinage de deux fonctions implicites avec , dont on calculera les différentielles en ce point.

On considère l'application définie par . Montrer à l'aide du théorème des fonctions implicites que l'application est différentiable et retrouver sa différentielle.

Soit l'application .

  1. Démontrer que la relation définit au voisinage du point une application implicite de classe C1.
  2. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de au point .

Soient un e.v.n. de dimension finie et de classe C1. On suppose que est une isométrie locale, c'est-à-dire que pour tous .

  1. Montrer que tout possède un voisinage sur lequel est injective et que pour tous .
  2. En déduire que est affine au voisinage de .
  3. En déduire que est (globalement) affine.