Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites

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Inversion locale, fonctions implicites
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Exercices no2
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Théorèmes utiles

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Différentiabilité
Exo suiv. :Recherches d'extrema
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Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que si et sont voisins de , on peut trouver tels que et .
  2. Soit , et soit une suite convergeant vers . Montrer que si pour tout , la suite stationne.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Donner l'allure de la courbe d'équation au voisinage des points et .
  2. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  3. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  4. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient un polynôme réel de degré et une racine simple de .
    En considérant l'application , montrer qu'il existe un voisinage de tel que tout polynôme ait une unique racine dans , que cette racine soit simple, et que l'application soit de classe C.
  2. Montrer que si a racines simples, il existe un voisinage de et fonctions C tels que pour tout , les réels soient distincts et soient des racines simples de .
  3. Que se passe-t-il pour les racines multiples ?

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que . Montrer que :

  1. l'application est injective ;
  2. toute suite dans dont l'image par converge est elle-même convergente ;
  3. l'ensemble est fermé et la bijection est continue ;
  4. est un difféomorphisme de sur lui-même si et seulement si  ;
  5. si alors est un homéomorphisme de sur lui-même .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par

.

Soit tel que

.

Montrez que dans un voisinage de , la relation définit une courbe image d'un intervalle contenant par une application de classe C.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient définie par et l'ensemble des tels que .
    1. Au voisinage de quels points la relation détermine-t-elle en fonction de  ? en fonction de  ?
    2. Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu'elle existe et écrire l'équation de la tangente à .
  2. Montrer que l'équation définit au voisinage de une fonction implicite de dont on calculera le développement limité à l'ordre en .
  3. Montrer que les équations définissent au voisinage de deux fonctions implicites avec , dont on calculera les différentielles en ce point.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'application définie par . Montrer à l'aide du théorème des fonctions implicites que l'application est différentiable et retrouver sa différentielle.