- Déterminer les polynômes
tq P' divise P.
- Soit
. Mq
est divisible par 
- Pour tout
, montrer l’existence d'un unique polynôme réel
(PN de Tchebychev de première espèce) tq :
.
- Préciser la parité, le degré et les racines de
.
- Décomposer
en éléments simples.
- Déterminer les coefficients du polynôme
tq
. Étudier sa parité et former une équation différentielle du second ordre dont
(PN de Tchebychev de seconde espèce) est solution.
Solution
Solution des questions 1, 2 et 4 : voir Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11 et Wikipédia : Polynôme de Tchebychev.
Solution de la question 3 : les racines de
étant
(
),
avec
.
Or
donc
- Soit
. Préciser les nombres de racines rationnelles, réelles ou complexes de M.
- Soit a une racine complexe de M,
et
. Mq est
est un idéal de
, et en donner un générateur unitaire. Mq
est une
-algèbre, et préciser sa dimension.
est-il un corps ?
- Soient
, et
. Mq u est un endomorphisme du
-espace vectoriel
; est-il bijectif ?
Montrer que
, muni de la loi
définie par
, est un groupe.
Soit
un groupe, e son élément neutre. On suppose que tout
.
- Mq G commutatif
- Soit H un sous groupe de G différent de G et a dans G\H. Mq
est vide et que
est un sous groupe de G.
- Mq si G est fini, son cardinal est une puissance de 2.
- On note
la transposition de
échangeant i et j (
). Mq 
- En déduire que pour
,
(centre du groupe symétrique
) est réduit à
.
Soit E un ensemble. On note
la différence symétrique.
Mq
est un anneau commutatif.
Solution
est naturellement isomorphe à l'anneau des applications de E dans l'anneau
.
Soit
un anneau.
- Un élément
est dit nilpotent s'il existe
tq
. Montrer qu'alors
et
sont inversibles.
- Mq si a et b sont nilpotents et commutent, alors ab et a+b sont aussi nilpotents.
Soit
un anneau intègre fini.
- Soit
et
définie pour tout
par
. Mq
injective.
- En déduire que
est un corps.
- Résoudre
dans
.
- Trouver les entiers
tq :
.
- Résoudre (dans
)
, puis (dans
)
.
Solution
- Un générateur du groupe multiplicatif de
(cyclique d'ordre 18) est 3, or
. Les solutions sont donc les puissances de
:
.
- Voir Arithmétique/Exercices/Congruences#Exercice 9-10.
et
donc
. Les solutions de
sont donc :
, avec
. Par conséquent, une solution de
est
, les autres étant
, avec
. Mais une résolution directe, comme dans la question précédente (donc sans résoudre d'abord l'identité de Bézout), donnerait
plus rapidement.
Soit
un nombre premier.
- Soit
. Mq
(petit théorème de Fermat)
- Mq
(théorème de Wilson).
- Soient
. Mq si
, alors
.
Soit
, et pour
.
- Mq
est un morphisme surjectif de
sur
. Quel est son noyau ?
- Soient
. Mq
où
. En déduire le pgcd des polynômes
et
.
- Déterminer tous les endomorphismes de
.
- Déterminer tous les automorphismes de
.
- Soit
. Mq V est un sous-groupe de
. Est-il égal à
?
- Quels sont les sous-groupes finis de
?
Solution
donc
est clairement un morphisme surjectif, de noyau
.
- Soient
tels que
. Alors,
donc
. L'inclusion réciproque est immédiate. Par conséquent,
.
- Pour cette question de cours, voir Théorie des groupes/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes.
- Idem.
- V sous-groupe : voir Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions#Problème 4 (Sous-groupe réunion de deux sous-groupes ?), question 2.
.
- Les
.
On note classiquement
et
.
- Mq
est un anneau (anneau des entiers de Gauss) et
un corps.
- Mq
est inversible dans
ssi
. En déduire le groupe des éléments inversibles de
.
- Déterminer les automorphismes du corps
(pour cela, on vérifiera que si s est un automorphisme de
, s laisse
invariant, et l'on cherchera ce que peut valoir
).
- Mq si
, il existe
tq
.
En déduire que
(on pourra considérer
).
En déduire que l'anneau
est principal.
- Faire une étude analogue avec
et
.
Soient
.
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de
par
et par
.
Trouver les polynômes
tq
.
Mq
divise
.
Soit
tel que
. Montrer qu'il existe
tels que
.
On pourra chercher à factoriser
dans
sous la forme
.
- Pour tout
, montrer l'existence d'un polynôme
tel que 
- Préciser le degré, les racines de
, et la somme des racines.
- Montrer que
.
- Calculer
. Calculer de même
.
Soient
n entiers deux à deux distincts. Montrer que dans
, le polynôme
est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont
.
Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à –1 modulo 4.