Utilisateur:RM77/Cours de spé/Exos maths/Algèbre générale

1

1. Déterminer les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tq P' divise P.
2. Soit $P\in \mathbb {C} [X]$. Mq $P(P(X))-X$ est divisible par $P(X)-X$

Solution

1. Voir Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé.
2. Voir Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes.

 

2

1. Pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, montrer l’existence d'un unique polynôme réel $T_{n}$ (PN de Tchebychev de première espèce) tq : $\forall \theta \in \mathbb {R} \quad \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$.
2. Préciser la parité, le degré et les racines de $T_{n}$.
3. Décomposer ${\frac {1}{T_{n}}}$ en éléments simples.
4. Déterminer les coefficients du polynôme $U_{n}$ tq $\forall \theta \in \mathbb {R} \quad \sin((n+1)\theta )=U_{n}(\cos \theta )\sin \theta$. Étudier sa parité et former une équation différentielle du second ordre dont $U_{n}$ (PN de Tchebychev de seconde espèce) est solution.

Solution

Solution des questions 1, 2 et 4 : voir Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11 et Wikipédia : Polynôme de Tchebychev.

Solution de la question 3 : les racines de $T_{n}$ étant $x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}$ ($k\in \{1,2,\dots ,n\}$),

${\frac {1}{T_{n}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{X-x_{k}}}$ avec $a_{k}={\frac {1}{T'_{n}(x_{k})}}$.

Or $\forall \theta \in \mathbb {R} \quad -n\sin(n\theta )=-\sin \theta \,T'_{n}(\cos \theta )$ donc

$a_{k}={\frac {\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}}{n\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2}}}}={\frac {(-1)^{k+1}}{n}}\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}$

 

3

1. Soit $M(X)=X^{3}+2X^{2}+X+1$. Préciser les nombres de racines rationnelles, réelles ou complexes de M.
2. Soit a une racine complexe de M, $K_{a}=\{P(a)\mid P\in \mathbb {Q} [X]\}$ et $I_{a}=\{P\in \mathbb {Q} [X]\mid P(a)=0\}$. Mq est $I_{a}$ est un idéal de $\mathbb {Q} [X]$, et en donner un générateur unitaire. Mq $K_{a}$ est une $\mathbb {Q}$-algèbre, et préciser sa dimension. $K_{a}$ est-il un corps ?
3. Soient $b\in K_{a}$, et $u:z\mapsto bz$. Mq u est un endomorphisme du $\mathbb {Q}$-espace vectoriel $K_{a}$ ; est-il bijectif ?

Solution

1. Une rapide étude de variations montre que M n'a qu'une racine réelle, différente de 1 et –1 donc irrationnelle.
2. $K_{a}$ et $I_{a}$ sont l'image et le noyau du morphisme de $\mathbb {Q}$-algèbres $\mathbb {Q} [X]\to \mathbb {C} ,\;P\mapsto P(a)$, donc sont respectivement une $\mathbb {Q}$-algèbre et un idéal de $\mathbb {Q} [X]$. Un générateur de $I_{a}$ est M (irréductible d'après 1.). La dimension de $K_{a}\simeq \mathbb {Q} [X]/(M)$ est 3 (le degré de M). C'est un corps puisque M est irréductible.
3. u est un endomorphisme du $\mathbb {Q}$-espace vectoriel $K_{a}$ puisque $K_{a}$ est une $\mathbb {Q}$-algèbre. Si $b\neq 0$, u est bijectif puisque $K_{a}$ est un corps.

 

4

Montrer que $\mathbb {R} ^{*}\times \mathbb {R}$, muni de la loi $*$ définie par $(x,y)*(x',y')=\left(xx',{\frac {y}{x'}}+xy'\right)$, est un groupe.

Solution

Voir Théorie des groupes/Exercices/Produit semi-direct#Problème 9.

 

5

Soit $(G,*)$ un groupe, e son élément neutre. On suppose que tout $x\in G,x^{2}=e$.

1. Mq G commutatif
2. Soit H un sous groupe de G différent de G et a dans G\H. Mq $H\cap aH$ est vide et que $H\cup aH$ est un sous groupe de G.
3. Mq si G est fini, son cardinal est une puissance de 2.

Solution

1. Voir Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions#Problème 5 (Quand tous les carrés sont égaux à 1.).
2. Voir Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe et Théorie des groupes/Produit de groupes.
3. Voir Théorie des groupes/Exercices/Produit de groupes#Problème 4.

 

6

1. On note $\tau _{i,j}$ la transposition de $S_{n}$ échangeant i et j ($i,j\in [\![1,n]\!],i\neq j$). Mq $\forall \sigma \in S_{n},\sigma \circ \tau _{i,j}\circ \sigma ^{-1}=\tau _{\sigma (i),\sigma (j)}$
2. En déduire que pour $n\geq 3$, $C=\{u\in S_{n}\mid \forall v\in S_{n}\quad u\circ v=v\circ u\}$ (centre du groupe symétrique $S_{n}$) est réduit à $id_{[[1,n]]}$.

Solution

1. Voir Théorie des groupes/Groupes symétriques finis#Effet d'une conjugaison sur un cycle.
2. Voir Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis#Problème 1.

 

7

Soit E un ensemble. On note $\Delta$ la différence symétrique.

Mq $({\mathcal {P}}(E),\Delta ,\cap )$ est un anneau commutatif.

Solution

$({\mathcal {P}}(E),\Delta ,\cap )$ est naturellement isomorphe à l'anneau des applications de E dans l'anneau $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,+,\times )$.

 

8

Soit $(A,+,.)$ un anneau.

1. Un élément $a\in A$ est dit nilpotent s'il existe $n\in \mathbb {N} ^{*}$ tq $a^{n}=0$. Montrer qu'alors $1-a$ et $1+a$ sont inversibles.
2. Mq si a et b sont nilpotents et commutent, alors ab et a+b sont aussi nilpotents.

Solution

1. Voir Wikipédia : Élément nilpotent.
2. Voir Wikipédia : Nilradical.

 

9

Soit $(A,+,.)$ un anneau intègre fini.

1. Soit $a\in A\setminus \{0\}$ et $f_{a}:A\to A$ définie pour tout $x\in A$ par $f_{a}(x)=ax$. Mq $f_{a}$ injective.
2. En déduire que $(A,+,.)$ est un corps.

Solution

Voir Anneau (mathématiques)/Définitions#Anneau intègre et Wikipédia : Anneau intègre, § Anneaux intègres finis.

 

10

1. Résoudre $x^{3}=1$ dans $\mathbb {Z} /19\mathbb {Z}$.
2. Trouver les entiers $x$ tq : $x\equiv 5{\bmod {8}}{\text{ et }}x\equiv 1{\bmod {27}}$.
3. Résoudre (dans $\mathbb {Z} ^{2}$) $88u+27v=1$, puis (dans $\mathbb {Z}$) $x\equiv 2{\bmod {88}}{\text{ et }}x\equiv 1{\bmod {27}}$.

Solution

1. Un générateur du groupe multiplicatif de $\mathbb {Z} /19\mathbb {Z}$ (cyclique d'ordre 18) est 3, or $3^{6}\equiv 7{\bmod {19}}$. Les solutions sont donc les puissances de $7{\bmod {19}}$ : $1,7,-8$.
2. Voir Arithmétique/Exercices/Congruences#Exercice 9-10.
3. $88=27\times 3+7$ et $27=7\times 4-1$ donc $1=7\times 4-27=(88-27\times 3)\times 4-27=88\times 4-27\times 13$. Les solutions de $88u+27v=1$ sont donc : $(u,v)=(u_{0}-27k,v_{0}+88k)$, avec $u_{0}=4,v_{0}=-13,k\in \mathbb {Z}$. Par conséquent, une solution de $x\equiv 2{\bmod {88}}{\text{ et }}x\equiv 1{\bmod {27}}$ est $x_{0}=88u_{0}+27v_{0}\times 2=-350$, les autres étant $x_{0}+27\times 88k$, avec $k\in \mathbb {Z}$. Mais une résolution directe, comme dans la question précédente (donc sans résoudre d'abord l'identité de Bézout), donnerait $x_{0}$ plus rapidement.

 

11

Soit $p$ un nombre premier.

1. Soit $a\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$. Mq $a^{p-1}=1$ (petit théorème de Fermat)
2. Mq $(p-1)!\equiv -1{\bmod {p}}$ (théorème de Wilson).
3. Soient $a,b\in \mathbb {Z}$. Mq si $a^{p}\equiv b^{p}{\bmod {p}}$, alors $a^{p}\equiv b^{p}{\bmod {p^{2}}}$.

Solution

1. Voir Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire ou
   Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-3.
2. Voir Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques#Exercice 4-5.
3. Voir Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-3.

 

12

Soit $\mathbb {U} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$, et pour $n\in \mathbb {N} ^{*},\,U_{n}=\{z\in \mathbb {C} \mid z^{n}=1\}$.

1. Mq $\phi :z\mapsto {\frac {z}{\bar {z}}}$ est un morphisme surjectif de $(\mathbb {C} ^{*},.)$ sur $(\mathbb {U} ,.)$. Quel est son noyau ?
2. Soient $n,m\in \mathbb {N} ^{*}$. Mq $U_{n}\cap U_{m}=U_{d}$ où $d=\operatorname {pgcd} (n,m)$. En déduire le pgcd des polynômes $X^{n}-1$ et $X^{m}-1$.
3. Déterminer tous les endomorphismes de $(U_{n},.)$.
4. Déterminer tous les automorphismes de $(U_{n},.)$.
5. Soit $V=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}U_{n}$. Mq V est un sous-groupe de $\mathbb {U}$. Est-il égal à $\mathbb {U}$ ?
6. Quels sont les sous-groupes finis de $(\mathbb {C} ^{*},.)$ ?

Solution

1. $\phi (r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })=e^{2\mathrm {i} \theta }$ donc $\phi$ est clairement un morphisme surjectif, de noyau $\mathbb {R} ^{*}$.
2. Soient $u,v\in \mathbb {Z}$ tels que $d=um+vn$. Alors, $z^{d}=(z^{m})^{u}(z^{n})^{v}$ donc $U_{n}\cap U_{m}\subset U_{d}$. L'inclusion réciproque est immédiate. Par conséquent, $\operatorname {pgcd} (X^{n}-1,X^{m}-1)=X^{d}-1$.
3. Pour cette question de cours, voir Théorie des groupes/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes.
4. Idem.
5. V sous-groupe : voir Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions#Problème 4 (Sous-groupe réunion de deux sous-groupes ?), question 2.
   $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi {\sqrt {2}}}\mathbb {U} \setminus V$.
6. Les $U_{n}$.

 

13

On note classiquement $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]=\{a+\mathrm {i} b\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ et $\mathbb {Q} (\mathrm {i} )=\{a+\mathrm {i} b\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$.

1. Mq $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ est un anneau (anneau des entiers de Gauss) et $\mathbb {Q} (\mathrm {i} )$ un corps.
2. Mq $z\in \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ est inversible dans $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ ssi $|z|^{2}=1$. En déduire le groupe des éléments inversibles de $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$.
3. Déterminer les automorphismes du corps $\mathbb {Q} (\mathrm {i} )$ (pour cela, on vérifiera que si s est un automorphisme de $\mathbb {Q} (\mathrm {i} )$, s laisse $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ invariant, et l'on cherchera ce que peut valoir $s(\mathrm {i} )$).
4. Mq si $q\in \mathbb {Q}$, il existe $u\in \mathbb {Z}$ tq $|q-u|\leq {\frac {1}{2}}$.
   En déduire que $\forall (z,z')\in \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]^{2},z'\neq 0\quad \exists (u,v)\in \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]^{2}\quad z=uz'+v,|v|^{2}<|z'|^{2}$ (on pourra considérer $Z={\frac {z}{z'}}\in \mathbb {Q} (\mathrm {i} )$).
   En déduire que l'anneau $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ est principal.
5. Faire une étude analogue avec $\mathbb {Z} [\mathrm {j} ]=\{a+\mathrm {j} b\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ et $\mathbb {Q} (\mathrm {j} )=\{a+\mathrm {j} b\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$.

Solution

Voir Wikipédia : Entier de Gauss et Entier d'Eisenstein.

 

14

Soient $\alpha \in \mathbb {R} ,\,n\in \mathbb {N} ,\,P_{n}=\left(\cos \alpha +X\sin \alpha \right)^{n}$.

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de $P_{n}$ par $(X^{2}+1)^{2}$ et par $X^{2}+1$.

Solution

Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-5

 

15

Trouver les polynômes $P\in \mathbb {R} [X]$ tq $XP(X+1)=(X+4)P(X)$.

Solution

Voir Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-3.

 

16

Mq $(X^{2}+X+1)^{2}$ divise $(X+1)^{6n+1}-X^{6n+1}-1$.

Solution

Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-6

 

17

Soit $P\in \mathbb {R} [X]$ tel que $\forall x\in \mathbb {R} ,\,P(x)\geq 0$. Montrer qu'il existe $A,B\in \mathbb {R} [X]$ tels que $P=A^{2}+B^{2}$.

On pourra chercher à factoriser $P$ dans $\mathbb {C} [X]$ sous la forme $P=Q{\bar {Q}}$.

Solution

Voir Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-5.

 

18

1. Pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, montrer l'existence d'un polynôme $P_{n}$ tel que $\forall \theta \in \mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \quad \sin \left((2n+1)\theta \right)=P_{n}(\cot ^{2}\theta )\sin ^{2n+1}\theta$
2. Préciser le degré, les racines de $P_{n}$, et la somme des racines.
3. Montrer que $\forall \theta \in \left]0,\pi /2\right[\quad \cot ^{2}\theta \leq {\frac {1}{\theta ^{2}}}\leq 1+\cot ^{2}\theta$.
4. Calculer $\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k^{2}}}$. Calculer de même $\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k^{4}}}$.

Solution

Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-8

 

19

Soient $a_{1},\dots ,a_{n}$ n entiers deux à deux distincts. Montrer que dans $\mathbb {Z} [X]$, le polynôme $P(X)=1+\prod _{i=1}^{n}(X-a_{i})^{2}$ est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont $\pm 1,\pm P$.

Solution

Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers#Exercice 4-2.

 

20

Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à –1 modulo 4.

Solution

Voir Wikipédia : Nombre premier pythagoricien.