Utilisateur:RM77/Cours de spé/Exos maths/Algèbre générale

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1[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer les polynômes tq P' divise P.
  2. Soit . Mq est divisible par

2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour tout , montrer l’existence d'un unique polynôme réel (PN de Tchebychev de première espèce) tq : .
  2. Préciser la parité, le degré et les racines de .
  3. Décomposer en éléments simples.
  4. Déterminer les coefficients du polynôme tq . Étudier sa parité et former une équation différentielle du second ordre dont (PN de Tchebychev de seconde espèce) est solution.

3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit . Préciser les nombres de racines rationnelles, réelles ou complexes de M.
  2. Soit a une racine complexe de M, et . Mq est est un idéal de , et en donner un générateur unitaire. Mq est une -algèbre, et préciser sa dimension. est-il un corps ?
  3. Soient , et . Mq u est un endomorphisme du -espace vectoriel  ; est-il bijectif ?

4[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que , muni de la loi définie par , est un groupe.

5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un groupe, e son élément neutre. On suppose que tout .

  1. Mq G commutatif
  2. Soit H un sous groupe de G différent de G et a dans G\H. Mq est vide et que est un sous groupe de G.
  3. Mq si G est fini, son cardinal est une puissance de 2.

6[modifier | modifier le wikicode]

  1. On note la transposition de échangeant i et j (). Mq
  2. En déduire que pour , (centre du groupe symétrique ) est réduit à .

7[modifier | modifier le wikicode]

Soit E un ensemble. On note la différence symétrique.

Mq est un anneau commutatif.

8[modifier | modifier le wikicode]

Soit un anneau.

  1. Un élément est dit nilpotent s'il existe tq . Montrer qu'alors et sont inversibles.
  2. Mq si a et b sont nilpotents et commutent, alors ab et a+b sont aussi nilpotents.

9[modifier | modifier le wikicode]

Soit un anneau intègre fini.

  1. Soit et définie pour tout par . Mq injective.
  2. En déduire que est un corps.

10[modifier | modifier le wikicode]

  1. Résoudre dans .
  2. Trouver les entiers tq : .
  3. Résoudre (dans ) , puis (dans ) .

11[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier.

  1. Soit . Mq (petit théorème de Fermat)
  2. Mq (théorème de Wilson).
  3. Soient . Mq si , alors .

12[modifier | modifier le wikicode]

Soit , et pour .

  1. Mq est un morphisme surjectif de sur . Quel est son noyau ?
  2. Soient . Mq . En déduire le pgcd des polynômes et .
  3. Déterminer tous les endomorphismes de .
  4. Déterminer tous les automorphismes de .
  5. Soit . Mq V est un sous-groupe de . Est-il égal à  ?
  6. Quels sont les sous-groupes finis de  ?

13[modifier | modifier le wikicode]

On note classiquement et .

  1. Mq est un anneau (anneau des entiers de Gauss) et un corps.
  2. Mq est inversible dans ssi . En déduire le groupe des éléments inversibles de .
  3. Déterminer les automorphismes du corps (pour cela, on vérifiera que si s est un automorphisme de , s laisse invariant, et l'on cherchera ce que peut valoir ).
  4. Mq si , il existe tq .
    En déduire que (on pourra considérer ).
    En déduire que l'anneau est principal.
  5. Faire une étude analogue avec et .

14[modifier | modifier le wikicode]

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

15[modifier | modifier le wikicode]

Trouver les polynômes tq .

16[modifier | modifier le wikicode]

Mq divise .

17[modifier | modifier le wikicode]

Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .

On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .

18[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour tout , montrer l'existence d'un polynôme tel que
  2. Préciser le degré, les racines de , et la somme des racines.
  3. Montrer que .
  4. Calculer . Calculer de même .

19[modifier | modifier le wikicode]

Soient n entiers deux à deux distincts. Montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .

20[modifier | modifier le wikicode]

Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à –1 modulo 4.