Utilisateur:RM77/Cours de spé/Exos maths/Algèbre générale

1

1. Déterminer les polynômes $P\in ℂ[X]$ tq P' divise P.
2. Soit $P\in ℂ[X]$. Mq $P(P(X))-X$ est divisible par $P(X)-X$

Solution

1. Voir Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé.
2. Voir Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes.

 

2

1. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, montrer l’existence d'un unique polynôme réel $T_n$ (PN de Tchebychev de première espèce) tq : $\mathrm{\forall }\theta \in ℝ\cos (n\theta )=T_n(\cos \theta )$.
2. Préciser la parité, le degré et les racines de $T_n$.
3. Décomposer $\frac{1}{T_n}$ en éléments simples.
4. Déterminer les coefficients du polynôme $U_n$ tq $\mathrm{\forall }\theta \in ℝ\sin ((n+1)\theta )=U_n(\cos \theta )\sin \theta$. Étudier sa parité et former une équation différentielle du second ordre dont $U_n$ (PN de Tchebychev de seconde espèce) est solution.

Solution

Solution des questions 1, 2 et 4 : voir Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11 et Wikipédia : Polynôme de Tchebychev.

Solution de la question 3 : les racines de $T_n$ étant $x_k=\cos \frac{(2k-1)\pi }{2n}$ ($k\in \{1,2,\dots ,n\}$),

$\frac{1}{T_n}=\sum _{k=1}^n\frac{a_k}{X-x_k}$ avec $a_k=\frac{1}{T{\text{'}}_n(x_k)}$.

Or $\mathrm{\forall }\theta \in ℝ-n\sin (n\theta )=-\sin \theta T{\text{'}}_n(\cos \theta )$ donc

$a_k=\frac{\sin \frac{(2k-1)\pi }{2n}}{n\sin \frac{(2k-1)\pi }{2}}=\frac{(-1{)}^{k+1}}{n}\sin \frac{(2k-1)\pi }{2n}$

 

3

1. Soit $M(X)=X^3+2X^2+X+1$. Préciser les nombres de racines rationnelles, réelles ou complexes de M.
2. Soit a une racine complexe de M, $K_a=\{P(a)\mid P\in \mathbb{Q}[X]\}$ et $I_a=\{P\in \mathbb{Q}[X]\mid P(a)=0\}$. Mq est $I_a$ est un idéal de $\mathbb{Q}[X]$, et en donner un générateur unitaire. Mq $K_a$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre, et préciser sa dimension. $K_a$ est-il un corps ?
3. Soient $b\in K_a$, et $u:z\mapsto bz$. Mq u est un endomorphisme du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $K_a$ ; est-il bijectif ?

Solution

1. Une rapide étude de variations montre que M n'a qu'une racine réelle, différente de 1 et –1 donc irrationnelle.
2. $K_a$ et $I_a$ sont l'image et le noyau du morphisme de $\mathbb{Q}$-algèbres $\mathbb{Q}[X]\to ℂ,P\mapsto P(a)$, donc sont respectivement une $\mathbb{Q}$-algèbre et un idéal de $\mathbb{Q}[X]$. Un générateur de $I_a$ est M (irréductible d'après 1.). La dimension de $K_a\simeq \mathbb{Q}[X]/(M)$ est 3 (le degré de M). C'est un corps puisque M est irréductible.
3. u est un endomorphisme du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $K_a$ puisque $K_a$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre. Si $b\ne 0$, u est bijectif puisque $K_a$ est un corps.

 

4

Montrer que ${ℝ}^{\ast }\times ℝ$, muni de la loi $\ast$ définie par $(x,y)\ast (x^{\prime },y^{\prime })=(x{x}^{\prime },\frac{y}{x^{\prime }}+x{y}^{\prime })$, est un groupe.

Solution

Voir Théorie des groupes/Exercices/Produit semi-direct#Problème 9.

 

5

Soit $(G,\ast )$ un groupe, e son élément neutre. On suppose que tout $x\in G,x^2=e$.

1. Mq G commutatif
2. Soit H un sous groupe de G différent de G et a dans G\H. Mq $H\cap aH$ est vide et que $H\cup aH$ est un sous groupe de G.
3. Mq si G est fini, son cardinal est une puissance de 2.

Solution

1. Voir Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions#Problème 5 (Quand tous les carrés sont égaux à 1.).
2. Voir Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe et Théorie des groupes/Produit de groupes.
3. Voir Théorie des groupes/Exercices/Produit de groupes#Problème 4.

 

6

1. On note ${\tau }_{i,j}$ la transposition de $S_n$ échangeant i et j ($i,j\in [[1,n]],i\ne j$). Mq $\mathrm{\forall }\sigma \in S_n,\sigma \circ {\tau }_{i,j}\circ {\sigma }^{-1}={\tau }_{\sigma (i),\sigma (j)}$
2. En déduire que pour $n\ge 3$, $C=\{u\in S_n\mid \mathrm{\forall }v\in S_{n}u\circ v=v\circ u\}$ (centre du groupe symétrique $S_n$) est réduit à $i{d}_{[[1,n]]}$.

Solution

1. Voir Théorie des groupes/Groupes symétriques finis#Effet d'une conjugaison sur un cycle.
2. Voir Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis#Problème 1.

 

7

Soit E un ensemble. On note $\mathrm{\Delta }$ la différence symétrique.

Mq $(𝒫(E),\mathrm{\Delta },\cap )$ est un anneau commutatif.

Solution

$(𝒫(E),\mathrm{\Delta },\cap )$ est naturellement isomorphe à l'anneau des applications de E dans l'anneau $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+,\times )$.

 

8

Soit $(A,+,.)$ un anneau.

1. Un élément $a\in A$ est dit nilpotent s'il existe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tq $a^n=0$. Montrer qu'alors $1-a$ et $1+a$ sont inversibles.
2. Mq si a et b sont nilpotents et commutent, alors ab et a+b sont aussi nilpotents.

Solution

1. Voir Wikipédia : Élément nilpotent.
2. Voir Wikipédia : Nilradical.

 

9

Soit $(A,+,.)$ un anneau intègre fini.

1. Soit $a\in A\setminus \{0\}$ et $f_a:A\to A$ définie pour tout $x\in A$ par $f_a(x)=ax$. Mq $f_a$ injective.
2. En déduire que $(A,+,.)$ est un corps.

Solution

Voir Anneau (mathématiques)/Définitions#Anneau intègre et Wikipédia : Anneau intègre, § Anneaux intègres finis.

 

10

1. Résoudre $x^3=1$ dans $\mathbb{Z}/19\mathbb{Z}$.
2. Trouver les entiers $x$ tq : $x\equiv 5mod8\text{ et }x\equiv 1mod27$.
3. Résoudre (dans ${\mathbb{Z}}^2$) $88u+27v=1$, puis (dans $\mathbb{Z}$) $x\equiv 2mod88\text{ et }x\equiv 1mod27$.

Solution

1. Un générateur du groupe multiplicatif de $\mathbb{Z}/19\mathbb{Z}$ (cyclique d'ordre 18) est 3, or $3^6\equiv 7mod19$. Les solutions sont donc les puissances de $7mod19$ : $1,7,-8$.
2. Voir Arithmétique/Exercices/Congruences#Exercice 9-10.
3. $88=27\times 3+7$ et $27=7\times 4-1$ donc $1=7\times 4-27=(88-27\times 3)\times 4-27=88\times 4-27\times 13$. Les solutions de $88u+27v=1$ sont donc : $(u,v)=(u_0-27k,v_0+88k)$, avec $u_0=4,v_0=-13,k\in \mathbb{Z}$. Par conséquent, une solution de $x\equiv 2mod88\text{ et }x\equiv 1mod27$ est $x_0=88u_0+27v_0\times 2=-350$, les autres étant $x_0+27\times 88k$, avec $k\in \mathbb{Z}$. Mais une résolution directe, comme dans la question précédente (donc sans résoudre d'abord l'identité de Bézout), donnerait $x_0$ plus rapidement.

 

11

Soit $p$ un nombre premier.

1. Soit $a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\ast }$. Mq $a^{p-1}=1$ (petit théorème de Fermat)
2. Mq $(p-1)!\equiv -1modp$ (théorème de Wilson).
3. Soient $a,b\in \mathbb{Z}$. Mq si $a^p\equiv b^{p}modp$, alors $a^p\equiv b^{p}mod{p}^2$.

Solution

1. Voir Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire ou
   Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-3.
2. Voir Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques#Exercice 4-5.
3. Voir Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-3.

 

12

Soit $𝕌=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$, et pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast },U_n=\{z\in ℂ\mid z^n=1\}$.

1. Mq $\varphi :z\mapsto \frac{z}{\overline{z}}$ est un morphisme surjectif de $({ℂ}^{\ast },.)$ sur $(𝕌,.)$. Quel est son noyau ?
2. Soient $n,m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Mq $U_n\cap U_m=U_d$ où $d=\mathrm{pgcd}(n,m)$. En déduire le pgcd des polynômes $X^n-1$ et $X^m-1$.
3. Déterminer tous les endomorphismes de $(U_n,.)$.
4. Déterminer tous les automorphismes de $(U_n,.)$.
5. Soit $V=\bigcup _{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{U}_n$. Mq V est un sous-groupe de $𝕌$. Est-il égal à $𝕌$ ?
6. Quels sont les sous-groupes finis de $({ℂ}^{\ast },.)$ ?

Solution

1. $\varphi (r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })=e^{2\mathrm{i}\theta }$ donc $\varphi$ est clairement un morphisme surjectif, de noyau ${ℝ}^{\ast }$.
2. Soient $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que $d=um+vn$. Alors, $z^d=(z^m{)}^u(z^n{)}^v$ donc $U_n\cap U_m\subset U_d$. L'inclusion réciproque est immédiate. Par conséquent, $\mathrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=X^d-1$.
3. Pour cette question de cours, voir Théorie des groupes/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes.
4. Idem.
5. V sous-groupe : voir Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions#Problème 4 (Sous-groupe réunion de deux sous-groupes ?), question 2.
   ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi \sqrt{2}}𝕌\setminus V$.
6. Les $U_n$.

 

13

On note classiquement $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]=\{a+\mathrm{i}b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ et $\mathbb{Q}(\mathrm{i})=\{a+\mathrm{i}b\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$.

1. Mq $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ est un anneau (anneau des entiers de Gauss) et $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ un corps.
2. Mq $z\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ est inversible dans $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ ssi $|z{|}^2=1$. En déduire le groupe des éléments inversibles de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$.
3. Déterminer les automorphismes du corps $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ (pour cela, on vérifiera que si s est un automorphisme de $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$, s laisse $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ invariant, et l'on cherchera ce que peut valoir $s(\mathrm{i})$).
4. Mq si $q\in \mathbb{Q}$, il existe $u\in \mathbb{Z}$ tq $|q-u|\le \frac{1}{2}$.
   En déduire que $\mathrm{\forall }(z,z^{\prime })\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}{]}^2,z^{\prime }\ne 0\mathrm{\exists }(u,v)\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}{]}^{2}z=u{z}^{\prime }+v,|v{|}^2<|z^{\prime }{|}^2$ (on pourra considérer $Z=\frac{z}{z^{\prime }}\in \mathbb{Q}(\mathrm{i})$).
   En déduire que l'anneau $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ est principal.
5. Faire une étude analogue avec $\mathbb{Z}[\mathrm{j}]=\{a+\mathrm{j}b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ et $\mathbb{Q}(\mathrm{j})=\{a+\mathrm{j}b\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$.

Solution

Voir Wikipédia : Entier de Gauss et Entier d'Eisenstein.

 

14

Soient $\alpha \in ℝ,n\in \mathbb{N},P_n={(\cos \alpha +X\sin \alpha )}^n$.

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de $P_n$ par $(X^2+1{)}^2$ et par $X^2+1$.

Solution

Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-5

 

15

Trouver les polynômes $P\in ℝ[X]$ tq $XP(X+1)=(X+4)P(X)$.

Solution

Voir Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-3.

 

16

Mq $(X^2+X+1{)}^2$ divise $(X+1{)}^{6n+1}-X^{6n+1}-1$.

Solution

Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-6

 

17

Soit $P\in ℝ[X]$ tel que $\mathrm{\forall }x\in ℝ,P(x)\ge 0$. Montrer qu'il existe $A,B\in ℝ[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.

On pourra chercher à factoriser $P$ dans $ℂ[X]$ sous la forme $P=Q\overline{Q}$.

Solution

Voir Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-5.

 

18

1. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, montrer l'existence d'un polynôme $P_n$ tel que $\mathrm{\forall }\theta \in ℝ\setminus \pi \mathbb{Z}\sin ((2n+1)\theta )=P_n({\cot }^2\theta ){\sin }^{2n+1}\theta$
2. Préciser le degré, les racines de $P_n$, et la somme des racines.
3. Montrer que $\mathrm{\forall }\theta \in ]0,\pi /2[{\cot }^2\theta \le \frac{1}{{\theta }^2}\le 1+{\cot }^2\theta$.
4. Calculer $\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^2}$. Calculer de même $\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^4}$.

Solution

Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-8

 

19

Soient $a_1,\dots ,a_n$ n entiers deux à deux distincts. Montrer que dans $\mathbb{Z}[X]$, le polynôme $P(X)=1+\prod _{i=1}^n(X-a_i{)}^2$ est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont $\pm 1,\pm P$.

Solution

Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers#Exercice 4-2.

 

20

Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à –1 modulo 4.

Solution

Voir Wikipédia : Nombre premier pythagoricien.