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Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers

Leçons de niveau 14
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Polynômes à coefficients entiers
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Exercices no4
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Arithmétique des polynômes
Exo suiv. :Sommaire
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Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers
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On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.

Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .

  1. avec n impair ;
  2.  ;
  3. .

Soient un polynôme à coefficients entiers, et (, ) une racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible.

  1. Montrer que .
  2. En déduire que et .
  3. En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
  4. Déduire du 1. que et .
  5. Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts et tels que alors et .
  1. Le polynôme est-il irréductible dans  ? dans  ? dans  ?
  2. Et le polynôme  ?
  3. Et le polynôme  ?

Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans les polynômes suivants :

, , .

Soit .

  1. Montrer que est irréductible dans .
  2. Soient ses racines complexes. Calculer et en déduire que les racines de ne sont pas toutes réelles.
  3. Combien a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer et ).

Montrer que le polynôme  :

  1. n'est pas irréductible sur mais l'est sur  ;
  2. a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif.
  1. Le polynôme est-il irréductible sur  ? sur  ? sur  ?
  2. Montrer que a exactement deux racines réelles non rationnelles.
  3. Le polynôme est-il irréductible sur  ? sur  ?
  4. Le polynôme est-il irréductible sur  ? sur  ? sur  ?
  5. Montrer que le polynôme est irréductible dans .
  6. Montrer que le polynôme est irréductible dans .

Soient et (pour ), entiers relatifs distincts . On pose

puis, pour tout  :

est un nombre premier fixé.

  1. Montrer que pour assez grand, a exactement racines réelles.
  2. Montrer que est irréductible dans .