Leçons de niveau 14

Sommation/Exercices/Formule du binôme

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Formule du binôme
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Exercices no5
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Formule du binôme

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Sommation double
Exo suiv. :Sommation de combinaisons
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Sommation/Exercices/Formule du binôme
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient .

  1. Démontrer la formule des lignes :
    .
  2. En déduire la formule :
    .

Une autre méthode est proposée dans l'exercice 5-5 (voir infra). Pour une preuve moins calculatoire, voir l'exercice 2-8 ou Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1.

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer les sommes suivantes :

.

En déduire les sommes suivantes :

.

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la somme suivante :

.

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

En vous basant sur l'identité polynomiale :

,

démontrez la formule de Vandermonde :

.

(Pour une preuve moins calculatoire, voir Sommation/Définition et premiers calculs#Établissement des formules à l'aide des dénombrements.)

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

En développant l’expression (1+x+x)n de deux façons différentes, redémontrer la formule (voir supra) :

.

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant la formule du binôme, ses dérivées ou ses primitives, calculer :

.

(Pour une autre méthode pour les questions a), c), d) et e), voir Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-2.)

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

En évaluant de deux façons le coefficient du monôme x2n dans le développement de (x2-1)2n, prouver que :

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout n ∈ ℕ* :

a) démontrer l'identité polynomiale :

 ;

b) en déduire que :

.

Exercice 5-9[modifier | modifier le wikicode]

En développant, grâce à la formule du binôme, le polynôme (où est une constante et une variable) et en dérivant les deux membres de l'égalité ainsi obtenue, montrer que la formule du binôme est invariante par dérivation. En déduire qu'elle est aussi invariante par intégration. Que peut-on en conclure ?

Exercice 5-10[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

.