Leçons de niveau 14

Sommation/Exercices/Formule du binôme

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Formule du binôme
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Exercices no5
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Formule du binôme

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Sommation double
Exo suiv. :Sommation de combinaisons
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Sommation/Exercices/Formule du binôme
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient .

  1. Démontrer la formule des lignes :
    .
  2. En déduire la formule :
    .

Une autre méthode est proposée dans l'exercice 5-5 (voir infra). Pour une preuve moins calculatoire, voir l'exercice 2-8 ou Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1.

Remarque : la formule de la question 2 donne en particulier :

  • pour  :  ;
  • pour  :  ;
  • pour  : .

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer :

.

En déduire :

.

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la somme suivante :

.

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que . En vous basant sur l'identité polynomiale :

,

redémontrez la formule de Vandermonde (chap. 1) :

,

dans laquelle l'indice k varie a priori dans , mais le terme correspondant de la somme n'est non nul que si .

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

En développant le polynôme de deux façons différentes, redémontrer la formule (voir supra) :

.

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant la formule du binôme, ses dérivées ou ses primitives, calculer :

.

Pour une autre méthode pour les questions a), c), d) et e), voir Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-2.

Pour une généralisation des résultats a) et b), voir l'exercice 5-1 ci-dessus.

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

En développant de deux façons le polynôme , prouver que pour tout entier ,

et en déduire que pour tout ,

.

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout entier  :

a) démontrer l'identité polynomiale :

 ;

b) en déduire :

 ;

c) retrouver ainsi le résultat de l'exercice 2-9 :

.

Exercice 5-9[modifier | modifier le wikicode]

En développant, grâce à la formule du binôme, le polynôme (où est une constante et une variable) et en dérivant les deux membres de l'égalité ainsi obtenue, montrer que la formule du binôme est invariante par dérivation. En déduire qu'elle est aussi invariante par intégration. Que peut-on en conclure ?

Exercice 5-10[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

.

Exercice 5-11[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Polynôme de Tchebychev ».
  1. En s'inspirant de « Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie#Formules de dé-linéarisation », construire, pour tout entier naturel , deux polynômes en deux variables, et , tels que (pour tout réel ) :
    et ,
  2. En déduire deux suites de polynômes en une variable, uniques et traditionnellement notés et , tels que
    et .
    Quel est leur degré ? Quels sont les polynômes , et  ?
  3. Calculer , , et .
  4. Calculer , , et .
  5. Déduire de la question 1 l'expression de comme fraction rationnelle en . Explicitez le résultat pour .
  6. Montrer que et en déduire que .