Leçons de niveau 14

Anneau (mathématiques)/Anneau principal

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Anneau principal
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Chapitre no 4
Leçon : Anneau (mathématiques)
Chap. préc. :Idéal d’un anneau commutatif
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Anneau (mathématiques)/Anneau principal
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Anneau principal[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


On va généraliser à un anneau principal quelconque toutes les propriétés de vues dans la leçon « Arithmétique ». Ce sont aussi les propriétés de du chapitre « Arithmétique des polynômes » de la leçon sur les polynômes.

Dans la suite, désigne un anneau principal et une famille (finie ou infinie) d'éléments de .

PGCD, PPCM[modifier | modifier le wikicode]

Un élément est un diviseur commun aux si et seulement si , c'est-à-dire si l'idéal engendré par les est inclus dans . En notant un générateur de cet idéal, les diviseurs communs aux sont donc les diviseurs de . Cela nous mène à la définition suivante :




Attention à ne pas confondre la notion de « premiers entre eux dans leur ensemble » avec la notion de « premiers entre eux deux à deux ».



Par un raisonnement analogue à ce qui précède, les multiples communs des sont les multiples de tout générateur de l'idéal .





Arithmétique dans un anneau principal[modifier | modifier le wikicode]

Par définition, le pgcd des appartient à l'idéal qu'ils engendrent, autrement dit :


Par conséquent (puisque le seul idéal de A qui contient 1 est A) :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Par la même méthode que dans , on en déduit :

Début d’un théorème


Fin du théorème






Factorialité de A, décomposition primaire[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début d'un lemme


Fin du lemme


Dans les anneaux principaux, on dispose du théorème de factorisation primaire :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Cette décomposition d'un élément s’appelle sa décomposition primaire. Il s'agit de la généralisation aux anneaux principaux du théorème selon lequel tout entier > 1 est le produit d'une suite finie (non vide) de nombres premiers, unique à l’ordre près.

Remarque.
Si, pour chaque idéal engendré par un élément irréductible, on choisit un générateur parmi les représentants irréductibles possibles, et l'on note leur ensemble (par exemple, dans , on choisit le générateur positif et dans , on choisit le générateur unitaire), alors le théorème peut se reformuler ainsi :
Soit . Il existe un unique élément inversible et une unique application de dans à support fini (c'est-à-dire nulle en dehors d'une partie finie de ) telle que .
étant en général infini, le produit étendu sur doit s'entendre comme la valeur commune des produits étendus à toute partie finie contenant le support de , c'est-à-dire l’ensemble des tels que soit non nul.

Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin du lemme suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme


On peut enfin démontrer la factorialité de tout anneau principal ou, plus généralement, de tout anneau intègre vérifiant les deux propriétés suivantes :

  1. Toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire (version affaiblie de la noethérianité, qui assurera l'existence d'une factorisation) ;
  2. Tout élément irréductible est premier (lemme d'Euclide, qui garantira son unicité).