Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé

Exercice 2-1

Trouver tous les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tels que $P$ est divisible par $P'$.

Solution

On constate rapidement que le polynôme nul est solution et que les polynômes constants non nuls ne le sont pas.

Si un polynôme $P$ de degré $n\geq 1$ est divisible par $P'$ alors (par comparaison des degrés et coefficients dominants de $P$ et $P'$) il existe $\alpha \in \mathbb {C}$ tel que $P(X)={\frac {X-\alpha }{n}}P'(X)$, d'où $\left({P \over (X-\alpha )^{n}}\right)'=0$, donc $\lambda (X-\alpha )^{n}$. Réciproquement, tout polynôme de cette forme est divisible par son polynôme dérivé.

Autre méthode si $n\geq 2$ (le cas $n=1$ étant trivial) : soient $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}$ les racines de $P'$ dans $\mathbb {C}$, de multiplicités $n_{1},\dots ,n_{k}$ avec $\sum n_{i}=n-1$. Alors les $\alpha _{i}$ sont racines de $P$ avec multiplicités $n_{i}+1$, donc $n\geq \sum (n_{i}+1)=n-1+k$, donc $k=1$ et $n_{1}=n-1$ donc $P'$ est de la forme $n\lambda (X-\alpha )^{n-1}$, donc $P=\lambda (X-\alpha )^{n}+c$, et $c=P(a)=0$ puisque $P'(a)=0$.

 

Exercice 2-2

Trouver tous les $(A,B)\in (\mathbb {C} [X])^{2}$ tels que $A=B'B''$ et $B=A'A''$.

Solution

Ces deux polynômes doivent être de degrés respectifs $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha =\beta -1+\beta -2=2\beta -3$ et $\beta =2\alpha -3$ donc $\alpha =\beta =-\infty$ ou $3$, c'est-à-dire $A=B=0$ ou $A=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ et $B=a'X^{3}+b'X^{2}+c'X+d'$ avec $aa'\neq 0$. Dans ce cas, l'équation $A=(3a'X^{2}+2b'X+c')(6a'X+2b')$ se traduit par $a=18a'^{2},b=18a'b',c=4b'^{2}+6a'c',d=2b'c'$. De même, $B=A'A''$ se traduit par $a'=18a^{2},b'=18ab,c'=4b^{2}+6ac,d'=2bc$.

On a $a=18a'^{2}$ et $a'=18a^{2}$ (avec $aa'\neq 0$) si et seulement si $a={\frac {\omega }{18}}$ et $a={\frac {\omega ^{2}}{18}}$ avec $\omega \in \{1,\mathrm {j} ,\mathrm {j} ^{2}\}$. Le reste du système équivaut alors, de proche en proche, à : $b'=\omega b,c=6\omega ^{2}b^{2},c'=6b^{2},d=12\omega b^{3},d'=12\omega ^{2}b^{3}$, d'où $A={\frac {\omega }{18}}X^{3}+bX^{2}+6\omega ^{2}b^{2}X+12\omega b^{3}$ et $B={\frac {\omega ^{2}}{18}}X^{3}+\omega bX^{2}+6b^{2}X+12\omega ^{2}b^{3}$.

 

Exercice 2-3

Montrer qu'il n'est pas possible que $\operatorname {e} ^{x}={P(x) \over Q(x)}$ sur un intervalle réel ouvert non vide, où $P$ et $Q$ sont deux polynômes.

Solution

$P=\operatorname {e} ^{x}Q\Rightarrow QP'=Q\operatorname {e} ^{x}(Q+Q')=P(Q+Q')\Rightarrow PQ=QP'-PQ'$. Si $P,Q$ sont non nuls, de degrés $p,q$, ceci donne $p+q\leq p+q-1$ : absurde.

 

Exercice 2-4

Soit $P\in \mathbb {C} [X]$.

1. Montrer que s'il existe $S\in \mathbb {C} [X]$ tel que $P=S^{2}$ alors $P$ divise $P'^{2}$.
2. Si $\deg P=4$, démontrer la réciproque.

Solution

1. $P=S^{2}\Rightarrow P'=2SS'\Rightarrow P'^{2}=4S^{2}S'^{2}=P\times 4S'^{2}$.
2. Si $P\mid P'^{2}$, toute racine de $P$ est au moins double. Il y en a $4$ au total, donc deux doubles ou une quadruple. Dans les deux cas, $P=S^{2}$.

 

Exercice 2-5

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une application dérivable. Montrer que $f$ est polynomiale de degré $<n$ si et seulement si

$\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\quad \sum _{J\subset \{1,\dots ,n\}}(-1)^{|J|}f\left(\sum _{j\in J}x_{j}\right)=0$.

(Indication : pour l'implication $\Rightarrow$, on pourra considérer l'application $\Delta _{u}:P(X)\mapsto P(X)-P(X+u)$ et calculer de deux façons différentes $(\Delta _{x_{n}}\circ \dots \circ \Delta _{x_{1}})(P)$ lorsque $P$ est un polynôme de degré $<n$. Pour l'implication réciproque, raisonner par récurrence et utiliser la dérivabilité.)

Solution

$\Delta _{x}$ fait baisser de 1 le degré polynomial, donc si $P$ est un polynôme de degré $<n$, $\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\quad \sum _{J\subset \{1,\dots ,n\}}(-1)^{|J|}f\left(\sum _{j\in J}x_{j}\right)=(\Delta _{x_{n}}\circ \dots \circ \Delta _{x_{1}})(P)(0)=0(0)=0$, donc $P$ vérifie la propriété ${\cal {P}}_{n}$ de l'énoncé.

Montrons la réciproque.

• Soit $f$ vérifiant ${\cal {P}}_{1}$, alors $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)=f(0)$ donc $f$ est constante ; c'est donc bien un polynôme de degré $<1$.
• Supposons l'implication vraie pour $n$, et soit $f$ vérifiant ${\cal {P}}_{n+1}$. Pour montrer que $f$ est polynomiale de degré $<n+1$, il suffit de montrer que $f'$ vérifie ${\cal {P}}_{n}$, ce qui s'obtient en dérivant ${\cal {P}}_{n+1}$ par rapport à $x_{n+1}$.

D'ailleurs, on montre aussi facilement que si $f'$ vérifie ${\cal {P}}_{n}$ alors $f$ vérifie ${\cal {P}}_{n+1}$, car la fonction qui entre en jeu dans ${\cal {P}}_{n+1}$ est nulle pour $x_{n+1}=0$. Cette remarque fournit une méthode pour prouver directement l'équivalence par récurrence.