Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Produit direct et somme restreinte

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Produit direct et somme restreinte
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Chapitre no 9
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Action de groupe
Chap. suiv. :Théorèmes de Sylow

Exercices :

Produit de groupes
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Théorie des groupes/Produit direct et somme restreinte
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Sauf mention contraire, les lois de groupe seront notées multiplicativement. Quand il sera question de plusieurs groupes, il nous arrivera de désigner leurs éléments neutres par le même symbole 1, ce qui, en pratique, ne prête pas à confusion.

Produit direct de deux groupes[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur une loi de composition composante par composante :

,

le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans . On vérifie facilement que cette loi de composition munit d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct (ou simplement produit) des groupes et et noté . Si et désignent respectivement les éléments neutres de et de , l'élément neutre de est . Le symétrique d'un élément de est l'élément .

L'application définit un isomorphisme de sur (« commutativité » du produit direct) et l’application définit un isomorphisme de sur (« associativité » du produit direct).

Produit direct d'une famille de groupes[modifier | modifier le wikicode]

La définition qui précède se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes.


Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe.

Remarque. Les notations ne sont pas tout à fait fixées. L'emploi ci-dessus du symbole est conforme à Bourbaki[1], à J.J. Rotman[2], à D.S. Dummit et R.M. Foote[3] etc. Kurzweil et Stellmacher[4] notent ou encore ou encore le produit direct d'une famille finie de groupes. Ils n'emploient le symbole que pour désigner des opérations internes à un groupe[5]. W.R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, pp. 14-15 (exemples 11 et 12), désigne par le produit direct d'une famille de groupes.

Somme restreinte d'une famille de groupes[modifier | modifier le wikicode]

Dans le produit direct , considérons les éléments possédant la propriété suivante : l’ensemble des éléments i de I tels que (où 1 désigne le neutre de ) est fini. Ces éléments de , appelés familles de support fini, forment un sous-groupe de .


Si l’ensemble I est fini, la somme restreinte et le produit coïncident. Dans la suite de ce chapitre, nous ne nous intéresserons plus au produit, mais seulement à la somme restreinte d'une famille de groupes.

Soient une famille de groupes et S sa somme restreinte. Pour chaque élément i de I, désignons par l’application de dans S qui à l'élément x de fait correspondre la famille dont la i-ème valeur est x et les autres valeurs 1. Nous définissons ainsi un homomorphisme injectif de dans S. Cet homomorphisme est appelé i-ème inclusion canonique de dans S. L'image de par est isomorphe à et on l'identifie souvent à , disant par exemple que est un sous-groupe de S. Pour la clarté de ce premier exposé, nous éviterons cet abus de langage.

On vérifie facilement que les sous-groupes de S sont distingués et qu’ils ont deux à deux des intersections réduites à l'élément neutre de S.

Soient i et j deux éléments distincts de I. Tout élément de commute avec tout élément de . En effet, les produits et sont tous deux égaux à la famille dont la i-ème composante est x, la j-ème composante y et dont les autres composantes sont égales à 1. (L'hypothèse est essentielle dans le cas où les ne sont pas supposés commutatifs.)

De façon générale, si G est un groupe, si est une famille finie d'éléments de G qui commutent deux à deux, on peut définir le produit de cette famille d'éléments de G sans se préoccuper d'un ordre dans l’ensemble J, car, vu la commutativité, le produit est indépendant de l’ordre choisi. Il est clair qu'on peut de même définir le produit d'une famille même infinie d'éléments de G qui commutent deux à deux si l’ensemble des i tels que est fini. Avec cette définition, tout élément de S est le produit de la famille d'éléments de S. En particulier, les engendrent S.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Si tous les groupes sont abéliens alors leur somme directe l'est aussi, et le théorème ci-dessus fournit la propriété universelle de la somme directe :

Propriété universelle de la somme directe. Soient une famille de groupes abéliens, K un groupe abélien et une famille d'homomorphismes. Il existe un et un seul homomorphisme f de dans K tel que, pour tout élément j de I, , où désigne, comme plus haut, la j-ième inclusion canonique.

Dans le langage de la théorie des catégories, la propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens revient à dire que si est une famille de groupes abéliens, le groupe et, dans les notations ci-dessus, la famille d'homomorphismes constituent une somme (on dit aussi un « coproduit ») de la famille dans la catégorie des groupes abéliens[7]. Nous avons ainsi prouvé que les sommes existent dans la catégorie des groupes abéliens. Nous verrons dans un chapitre ultérieur (produit libre d'une famille de groupes) que les sommes existent aussi dans la catégorie des groupes[8].

Des remarques faites plus haut sur la structure de la somme restreinte externe nous suggèrent la définition suivante :


Il revient au même de dire que pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de commute avec chaque élément de et que tout élément de G peut s'écrire d'une et une seule façon , la famille étant une famille de support fini telle que pour tout i[9].

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Donnons encore deux autres caractérisations de la somme restreinte interne. Le lecteur pourra les démontrer à l'aide de la remarque qui précède et du fait (démontré dans Exercices/Sous-groupe distingué, groupe quotient) que si deux sous-groupes normaux ont une intersection réduite à l'élément neutre, tout élément de l'un commute avec tout élément de l'autre.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Cette dernière caractérisation est utile comme condition suffisante pour que G soit somme restreinte interne des Gi.

On vérifie facilement que la somme restreinte externe est somme restreinte interne de la famille (où, comme plus haut, désigne la i-ième inclusion canonique de dans la somme restreinte externe).

Si l’ensemble I est fini, on remplace souvent l’expression « somme restreinte interne » par « produit direct interne », ou « produit direct », ou « produit ». Plutôt que de dire qu'un groupe est produit direct d'un couple (H, K) de ses sous-groupes, on préfère dire qu’il est produit direct de H et de K, etc.

Soit G un groupe, somme restreinte interne d'une famille de sous-groupes. Pour tout élément j de I, on appelle j-ème projection de G sur Gj (relativement à la famille ) l’application de G dans Gj qui, pour tout élément x de G, applique x sur l'élément xj de Gj apparaissant dans l'unique expression de x sous la forme avec pour chaque i. Il est clair que cette projection est un homomorphisme de G sur Gj. Elle est d'ailleurs égale au composé désigne l'isomorphisme canonique de G sur et l'homomorphisme de (somme restreinte externe) sur Gj.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème

La démonstration, facile, est laissée au lecteur. Une version interne de ce théorème (si un groupe G est somme directe interne d'une famille de sous-groupes, si pour tout i, désigne un sous-groupe de , alors le sous-groupe engendré par les est somme directe interne des ) s'obtient comme cas particulier du théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration laissée au lecteur.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



D'après la « commutativité » et l'« associativité » de la somme restreinte, il est clair que si un groupe G est somme restreinte interne d'une famille (Hi)i de sous-groupes, chaque Hi est facteur direct de G.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Voici une version interne de ce théorème :

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarques.

  • Le corollaire qui précède nous servira dans l'étude des groupes nilpotents finis.
  • Dans la démonstration de ce corollaire, on aurait pu éviter le raisonnement par récurrence en utilisant le fait que si G est un groupe et K1, K2, ... , Kn des sous-groupes distingués finis de G, l'ordre de K1 K2 ... Kn divise le produit des ordres des Ki. (Voir « formule du produit » au chapitre Classes modulo un sous-groupe.)
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Algèbre, ch. 1, § 4, déf. 12, p. 43.
  2. An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, tirage 1999, p. 308.
  3. Abstract Algebra, Wiley, 2004, p. 157.
  4. The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 27.
  5. Ouvr. cité, p. 28.
  6. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, no 9, Paris, 1970, p. 46.
  7. Voir S. Lang, Algèbre, Paris, Dunod, 2004, pp. 39 et 137.
  8. S. Lang, Algèbre, Modèle:3e éd., Paris, Dunod, 2004, p. 74.
  9. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, nos 8 et 9 ; Paris, 1970, pp. 43-46.
  10. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4 ; Paris, 1970, p. 45.
  11. N. Bourbaki, Algèbre, I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, ch. 1, § 4, no 9, prop. 15, p. 46.