Leçons de niveau 15

Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta

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Séries de Fourier et fonction zêta
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Exercices no9
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Séries de Fourier et fonction zêta

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Sommations de séries entières
Exo suiv. :Sommaire
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Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta
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Exercice 9-1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

.

Exercice 9-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour tout entier , exprimer les deux sommes suivantes en fonction de  :
    .
  2. À l'aide de l'exercice précédent, en déduire les valeurs de
    .

Exercice 9-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer .
  2. En déduire les valeurs de .

Exercice 9-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer .
  2. En déduire les valeurs de .

Exercice 9-5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer .
  2. En déduire les valeurs de .

Exercice 9-6[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la somme suivante :

.

Exercice 9-7[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction zêta de Hurwitz ».

a) Pour tous réels et , on pose :

(série convergente, par comparaison avec la série de Riemann ).

Montrer que

,

désigne la fonction Gamma.

b) En déduire la valeur de l'intégrale suivante :

Exercice 9-8[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour tout , montrer l'existence d'un polynôme tel que
  2. Préciser le degré, les racines de , et la somme des racines.
  3. Montrer que .
  4. Calculer . Calculer de même .

Exercice 9-9[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Constante d'Apéry ».

Soient .

Démontrer que