Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

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Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
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Chapitre no 22
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Automorphismes d'un groupe cyclique
Chap. suiv. :Produit semi-direct

Exercices :

Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
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Théorie des groupes/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, quelque peu trivial, nous allons voir essentiellement que si G est un groupe fini, si D(G) désigne le dérivé de G, si on connaît une décomposition du groupe abélien G/D(G) en produit direct de groupes cycliques (dans le cas où G est abélien, connaître une décomposition de G/D(G) en produit direct de groupes cycliques revient évidemment à connaître une telle décomposition de G), on peut expliciter facilement les homomorphismes de G dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes. Cela nous servira dans un chapitre ultérieur sur les caractères complexes des groupes finis.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration (triviale). Soient x, y des éléments de G. Nous avons

d'où, puisque f et g sont des homomorphismes,

Puisque le groupe d'arrivée est commutatif, cela peut s'écrire

autrement dit

ce qui prouve que est un homomorphisme de G dans A.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration (triviale). Notons G et A multiplicativement et notons la loi de composition définie point par point dans Hom(G, A) à partir de celle de A.
Soient f, g, h des éléments de Hom(G, A), soit x un élément de G. Alors applique x sur donc , ce qui prouve que la loi est associative.
Comme A est abélien, nous avons donc ce qui prouve que la loi est commutative.
Si e désigne l'homomorphisme trivial (constant de valeur 1) de G dans A, alors pour tout homomorphisme f de G dans A et pour tout élément x de G,

donc et, de même, , donc e est neutre pour la loi .

Si f est un élément de Hom(G, A), l'application est elle aussi un élément de Hom(G, A), car, pour tous x, y dans G,

puisque A est abélien.

De plus, nous avons, pour tout x dans G,

donc , ce qui prouve que pour tout élément f de Hom(G, A), est l'inverse de f pour la loi .

Quand nous parlerons du groupe Hom(G, A) (pour un groupe G et un groupe abélien A), il s'agira de la structure de groupe abélien qu'on vient de définir sur l'ensemble Hom(G, A).

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. On peut dire par exemple qu'en raison de la commutativité de A, la transformation de A est un endomorphisme. L'ensemble des éléments a de A tels que est le noyau de cet endomorphisme et est donc un sous-groupe de A.

Pour un groupe abélien G et un nombre naturel n, on notera le sous-groupe de G formé par les éléments x de G tels que (en notation multiplicative) .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. On notera G et A multiplicativement. Comme dans l'énoncé, soit g un générateur de G, c'est-à-dire un élément d'ordre n de G.
Pour alléger les notations, on écrira au lieu de .
Soit h un élément de . Alors h est un élément de A tel que , donc, d'après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, il existe un et un seul homomorphisme de G dans A qui applique g sur h.
Considérons l'application

qui à tout élément h de fait correspondre l'homomorphisme de G dans H qui applique g sur h. (Donc dépend de g.)
Prouvons que est un homomorphisme de groupes de dans Hom(G, A).
Si h, h' sont deux éléments de , est l'unique homomorphisme de G dans H qui applique g sur h h'. Or (où désigne la loi de groupe de Hom(G, A)) applique G sur h h', donc (unicité) , ce qui montre bien que est un homomorphisme de groupes de dans Hom(G, A).
Si f est un homomorphisme de G dans A, alors, puisque G est d'ordre n, f prend ses valeurs dans . Nous pouvons donc considérer l'application

(L'application dépend de g.)
Pour tout élément h de , est égal à et est donc la valeur de en g. Par définition de , la valeur de en g est h, donc , donc

(1) est la transformation identique de

D'autre part, pour tout f dans Hom(G, A), nous avons

,

d'où, par définition de ,

(2)

Par définition de , est l'unique homomorphisme de G dans A qui applique g sur f(g) et cet unique homomorphisme est évidemment f. Donc la relation (2) peut s'écrire

donc est la transformation identique de Hom(G, A).
Joint à (1), cela montre que les applications et sont des bijections réciproques l'une de l'autre, donc l'homomorphisme est un isomorphisme de sur Hom(G, A).

Notation. On notera le groupe multiplicatif du corps , c'est-à-dire le groupe obtenu en munissant l'ensemble des nombres complexes non nuls de la multiplication ordinaire dans .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Prouvons d'abord que est un homomorphisme.
On notera le produit dans et dans les par juxtaposition.
Si f et g sont des éléments de ,

est le r-uplet .

Pour tout i, , donc le dernier résultat s'écrit

,

d'où, par définition de la loi de composition dans la somme directe externe,

,
,

ce qui prouve que est un homomorphisme de sur la somme directe externe .
Prouvons maintenant que cet homomorphisme est bijectif.
Il s'agit de prouver que si est un r-uplet tel que, pour tout i, soit un homomorphisme de dans , il existe un et un seul homomorphisme f de G dans A qui, pour tout i coïncide avec fi dans G. Cela résulte de la « propriété universelle de la somme restreinte » démontrée au chapitre Produit de groupes. (On peut préciser que si un élément x de G se décompose en avec pour tout i, alors f applique x sur .)
Donc est un isomorphisme.
La caractérisation de l'isomorphisme réciproque résulte immédiatement du fait que, pour

,

l'homomorphisme doit, pour chaque i, coïncider avec fi dans Gi.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Une racine n-ième de l'unité est de valeur absolue 1, donc est de la forme pour un certain nombre réel (avec ).
Dire qu'un tel nombre est racine n-ième de l'unité revient à dire que , autrement dit , ce qui a lieu si et seulement si est de la forme avec . Donc les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres .
Pour deux entiers rationnels k, k', nous avons si et seulement , donc les racines de l'unité sont les n nombres distincts , où k parcourt 0, 1, ... , n-1. Elles forment donc un sous-groupe d'ordre n de , engendré par l'élément , ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. Le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans soient en nombre n exactement peut aussi se déduire des deux faits suivants : 1° le ploynôme se décompose en facteurs linéaires dans (« théorème fondamental de l'algèbre » ; 2° le polynôme , ayant pour dérivé, n'a clairement pas de racine double. Dès lors, le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans forment un groupe cyclique peut se déduire du théorème selon lequel tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique (chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique).

Notation. Pour un groupe G, on notera le groupe .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Pour un élément b de , désignons par l'unique homomorphisme de dans qui applique ai sur b. (On a rappelé l'existence de dans la démonstration de l'énoncé 4.)
D'après l'énoncé 4, définit un isomorphisme de sur .
Donc (chapitre Produit de groupes)

définit un isomorphisme de sur .
D'autre part, d'après l'énoncé 5, il existe un (et un seul) isomorphisme

tel que, pour tout ,

soit l'unique homomorphisme de G dans qui, pour tout i, coïncide avec sur .

Alors est un isomorphisme de sur tel que, pour tout élément de ,

soit l'unique homomorphisme de G dans qui, pour tout i, coïncide avec sur .

Mais l'unique homomorphisme de G dans qui, pour tout i, coïncide avec sur est l'unique homomorphisme de G dans qui, pour tout i, applique ai sur bi. Nous avons donc prouvé que
(1) pour tout élément de , il existe un et un seul homomorphisme de dans tel que, pour tout i,

 ;

(2) est un isomorphisme de sur qui applique l'élément de sur .
Cela démontre les deux premières assertions de l'énoncé.
Nous avons vu que est un isomorphisme du produit externe sur  ; retenons que

(3) est isomorphe à .

D'autre part, en faisant dans l'énoncé 4 et en tenant compte de l'énoncé 6, nous trouvons que est un groupe cyclique d'ordre , donc

(4) est isomorphe à .

D'après le chapitre Produit de groupes, il résulte de (4) que est isomorphe à la somme directe externe . Comme G est lui-même isomorphe à cette somme directe externe, il résulte de (1) que est isomorphe à G, ce qui achève la démonstration.

Remarques.
1° L'isomorphisme de G sur G* fourni par l'énoncé 7 dépend d'une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques et du choix d'un générateur dans chacun de ces groupes cycliques. L'énoncé 7 ne fournit donc pas un isomorphisme « canonique » de G sur G*.
2° Si G est un groupe abélien fini, G* en est un lui aussi (par exemple parce qu'on vient de voir que G* est isomorphe à G). Nous pouvons donc remplacer G par G* dans la partie de l'énoncé 7 selon laquelle G* est isomorphe à G. Nous trouvons ainsi que G** est isomorphe à G. On verra même dans les exercices qu'on peut définir un isomorphisme « canonique » de G sur G**.
3° L'énoncé 7 montre en particulier que si G est un groupe abélien fini, on peut expliciter les homomorphismes de G dans de la façon suivante : on choisit une décomposition de G en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques ; désignant, pour tout i, l'ordre de , on fait parcourir par les r-uplets formant l'ensemble  ; à chacun de ces r-uplets, il correspond un unique homomorphisme de G dans qui applique sur , ... , sur  ; deux de ces r-uplets fournissent des homomorphismes distincts et on obtient ainsi tous les homomorphismes de G dans . C'est cette partie (assez pauvre et, en somme, triviale) de l'énoncé 7 que nous utiliserons dans un chapitre sur les caractères complexes des groupes finis.
4° Soient G un groupe (non forcément abélien) et A un groupe abélien, soit l'homomorphisme canonique de G sur G/D(G) ; nous avons vu au chapitre Commutateurs, groupe dérivé que définit une bijection de Hom(G/D(G), A) sur Hom(G, A). En particulier, si G est un groupe fini (non forcément abélien), définit une bijection de sur . Joint à la remarque précédente, cela permet de déterminer les homomorphismes de G dans à partir d'une décomposition du groupe abélien G/D(G) en somme directe de sous-groupes cycliques.