Aller au contenu

Arithmétique/Exercices/Congruences

Leçons de niveau 13
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Congruences
Image logo représentative de la faculté
Exercices no9
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Divisibilité et congruences dans Z

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Numération
Exo suiv. :Nombres premiers
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Congruences
Arithmétique/Exercices/Congruences
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Quel est le reste de la division par 7 du nombre 3245 ?

Quel est le reste de la division par 19 du nombre 57383114 ?

Quel est le reste de la division par 7 du nombre 912341998 ?

  1. Démontrez que si l'on divise un entier n par 111, on trouve le même reste qu'en divisant 1000n par 111.
  2. Déduisez-en que les deux nombres 108 + 104 + 1 et 1010 + 105 + 1 sont divisibles par 111.

Quels sont les entiers n tels que n6 – 1 soit divisible par 9 ?

Soient n1, n2, n3, n4 et n5 cinq entiers relatifs vérifiant la relation :

.

Montrez qu'alors, au moins un de ces cinq entiers est un multiple de 7.

  1. Démontrer que si les entiers p et 8p – 1 sont premiers, alors 8p + 1 n'est pas premier. (Aide : On s'aidera des congruences modulo 3.)
  2. Démontrer que si p est premier et différent de 3, alors 8p2 + 1 est composé.

Trouvez tous les entiers relatifs vérifiant simultanément les trois congruences :

Déterminer le chiffre des unités de .

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des restes chinois ».
  1. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  2. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  3. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  4. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  5. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  6. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  7. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  8. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à ou et à .
  9. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à ou et à .
  1. Montrer que pour tout entier naturel , .
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?
  3. Soit un entier impair non divisible par . Montrer que .
  4. Donner le dernier chiffre de l'écriture en base de .

On pose . On note la somme des chiffres de , la somme des chiffres de et la somme des chiffres de . Déterminer . (Indication : calculer modulo un nombre bien choisi et par ailleurs, majorer .)

Liens externes

[modifier | modifier le wikicode]