Leçons de niveau 13

Arithmétique/Exercices/Congruences

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Congruences
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Exercices no9
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Divisibilité et congruences dans Z

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Numération
Exo suiv. :Nombres premiers
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Arithmétique/Exercices/Congruences
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Exercice 9-1[modifier | modifier le wikicode]

Quel est le reste de la division par 7 du nombre 3245 ?

Exercice 9-2[modifier | modifier le wikicode]

Quel est le reste de la division par 19 du nombre 57383114 ?

Exercice 9-3[modifier | modifier le wikicode]

Quel est le reste de la division par 7 du nombre 912341998 ?

Exercice 9-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrez que si l'on divise un entier n par 111, on trouve le même reste qu'en divisant 1000n par 111.
  2. Déduisez-en que les deux nombres 108 + 104 + 1 et 1010 + 105 + 1 sont divisibles par 111.

Exercice 9-5[modifier | modifier le wikicode]

Quels sont les entiers n tels que n6 – 1 soit divisible par 9 ?

Exercice 9-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient n1, n2, n3, n4 et n5 cinq entiers relatifs vérifiant la relation :

.

Montrez qu'alors, au moins un de ces cinq entiers est un multiple de 7.

Exercice 9-7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer que si les entiers p et 8p – 1 sont premiers, alors 8p + 1 n'est pas premier. (Aide : On s'aidera des congruences modulo 3.)
  2. Démontrer que si p est premier et différent de 3, alors 8p2 + 1 est composé.

Exercice 9-8[modifier | modifier le wikicode]

Trouvez tous les entiers relatifs vérifiant simultanément les trois congruences :

Exercice 9-9[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer le chiffre des unités de .

Exercice 9-10[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des restes chinois ».
  1. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  2. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  3. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  4. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  5. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  6. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .
  7. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à et à .