Leçons de niveau 14

Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

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Racines de polynômes
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Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que :

  1. a une unique racine réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit tel que . Montrer que est somme de deux carrés de polynômes réels.

Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Première méthode : chercher à factoriser dans sous la forme .

Seconde méthode :

  1. Que dire de la décomposition de en facteurs irréductibles dans  ?
  2. Montrer l'identité .
  3. Conclure.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que pour tout , est divisible par .
  2. Pour quelles valeurs de l'entier le polynôme est-il divisible par  ?

Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .

  1. Montrer que le reste de la division euclidienne d'un polynôme par s'obtient en remplaçant par autant de fois que cela est possible dans le polynôme .
  2. Pour quelles valeurs de l'entier le polynôme divise-t-il le polynôme  ?
  3. Montrer que est divisible par .
  4. Pour quels triplets le polynôme est-il divisible par  ?

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que pour tout ,

.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.

Remarque : de façon équivalente, .

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

.

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Le polynôme a-t-il une racine double ?

Trouver un polynôme tel que et montrer que n'admet pas de racine multiple.

Soit . Déterminer , et de manière que soit divisible par . La racine 1 peut-elle être triple ?

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

Soit un polynôme non constant tel que .

  1. En donner des exemples.
  2. Si est une racine de , montrer que ou est une racine n-ième de 1 pour un certain n.

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

Calculer .

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer et en déduire une factorisation de .

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

Trouver tel que les racines de vérifient . Résoudre alors la ou les équation(s) obtenue(s).

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

  1. Décomposer le polynôme en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines et telles que .
  2. Quelles sont les valeurs de et  ?
  3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de dans .

Exercice 1-15[modifier | modifier le wikicode]

Décomposer le polynôme en produit d'irréductibles dans .