Leçons de niveau 14

Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes

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Arithmétique des polynômes
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Exercices no3
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Arithmétique des polynômes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Polynôme dérivé
Exo suiv. :Polynômes à coefficients entiers
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Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que est divisible par .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Calculer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, .
  2. Donner, dans , la décomposition de et de en produit de facteurs irréductibles.
  3. Calculer .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer le PGCD et le PPCM des polynômes :
    1. et  ;
    2. et .
  2. Déterminer vérifiant .

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . On suppose que le reste de la division de par est . Quel est le reste de la division de par  ?

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Décomposer dans et les polynômes , et .
  2. En déduire , , et .

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Déterminer suivant les valeurs de le pgcd de et .

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer de degré minimal tel que soit divisible par et par .

Exercice 3-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que . Montrer que puis, que .

Exercice 3-10[modifier | modifier le wikicode]

On considère les polynômes .

  1. Calculer, pour tout  : .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que .
  4. Montrer que (si et) seulement si est impair.
  5. Quelles sont les racines complexes de  ?

Exercice 3-11[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux entiers positifs.

  1. Déduire de la division euclidienne de par celle de par .
  2. Déduire du pgcd de et celui de et .
  3. Quel est le pgcd de et  ?

Exercice 3-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Montrer .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que .
  4. Calculer pour . Le retrouver par l'algorithme d'Euclide.