Leçons de niveau 14

Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes

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Arithmétique des polynômes
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Exercices no3
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Arithmétique des polynômes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Polynôme dérivé
Exo suiv. :Polynômes à coefficients entiers
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Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que est divisible par .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Calculer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, .
  2. Donner, dans , la décomposition de et de en produit de facteurs irréductibles.
  3. Calculer .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer le PGCD et le PPCM des polynômes :
    1. et  ;
    2. et .
  2. Déterminer vérifiant .
  1. Quel est le pgcd des polynômes et  ?
  2. Trouver des polynômes tels que .
  3. Mêmes questions avec et .

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . On suppose que le reste de la division (euclidienne) de par est . Quel est le reste de la division de par  ?

Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?

Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?

Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?

En utilisant la dérivation, trouver le reste de la division euclidienne de par .

Trouver de même le reste de la division euclidienne de par .

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Décomposer dans et les polynômes , et .
  2. En déduire , , et .

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que est un anneau factoriel.
  2. Montrer que est irréductible dans .
  3. Calculer le pgcd de et .

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer de degré minimal tel que soit divisible par et par .

Exercice 3-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que . Montrer que puis, que .

Exercice 3-10[modifier | modifier le wikicode]

On considère les polynômes .

  1. Calculer, pour tout  : .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que .
  4. Montrer que (si et) seulement si est impair.
  5. Quelles sont les racines complexes de  ?

Exercice 3-11[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux entiers positifs.

  1. Déduire de la division euclidienne de par celle de par .
  2. Déduire du pgcd de et celui de et .
  3. Quel est le pgcd de et  ?
  4. Quel est le pgcd de et  ?
  5. Trouver deux polynômes tels que .

Exercice 3-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Montrer .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que .
  4. Calculer pour . Le retrouver par l'algorithme d'Euclide.

Exercice 3-13[modifier | modifier le wikicode]

  1. Effectuer la division euclidienne de par .
  2. En déduire et .
  3. Effectuer la division euclidienne de par .

Exercice 3-14[modifier | modifier le wikicode]

  1. Effectuer la division euclidienne de par .
  2. En déduire une décomposition de en un produit de deux polynômes du second degré.
  3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de dans .

Exercice 3-15[modifier | modifier le wikicode]

Soit un corps algébriquement clos. Répertorier les idéaux premiers de .

Exercice 3-16[modifier | modifier le wikicode]

  1. Quels sont les facteurs irréductibles de et de dans , dans , dans  ?
  2. Soit un entier non nul. Montrer que est irréductible dans .

Exercice 3-17[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient A un anneau factoriel, p un élément premier de A, et . On suppose que l'image de P dans (A/pA)[X] est irréductible et de même degré que P. Montrer qu'alors, P est irréductible sur le corps des fractions de A.
  2. Donner un exemple montrant que l'hypothèse sur les degrés est indispensable.
  3. Montrer que le polynôme est irréductible sur .

Exercice 3-18[modifier | modifier le wikicode]

Soient un corps et , de degré . Montrer que tout polynôme s'écrit de façon unique

avec de degré .

Exercice 3-19[modifier | modifier le wikicode]

Soient , et tels que pour tout entier , . Montrer que est égal à ou .

Plus généralement, soient des complexes non nuls distincts, et tels que pour tout entier , . Montrer que tous les polynômes sont nuls.

Lien externe[modifier | modifier le wikicode]

V. Gritsenko et J.-F. Barraud, « Anneaux de polynômes I », sur exo7