Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Produit de groupes

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Produit de groupes
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Exercices no9
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Produit de groupes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Action de groupe
Exo suiv. :Théorèmes de Sylow
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Théorie des groupes/Exercices/Produit de groupes
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Problème 1 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G et H deux groupes. Quel est le centre du groupe  ? Justifier.

Remarque. Il n'est pas beaucoup plus difficile de prouver que le centre de la somme restreinte (interne ou externe) d'une famille finie ou infinie de groupes est la somme restreinte des centres de ces groupes. On utilisera ce fait dans le chapitre Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et une famille de sous-groupes distingués de G telle que = 1. Prouver que G est isomorphe à un sous-groupe du produit . (Voir[1].)

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit une famille finie de groupes. Pour chaque i, soit une partie génératrice de . On suppose que pour chaque i, comprend l'élément neutre de .

a) Prouver que est une partie génératrice de .

Remarque : l'énoncé a) nous servira dans un exercice de la série Commutateurs, groupe dérivé.

b) Prouver par un exemple que l'énoncé a) n’est pas forcément vrai si on cesse de supposer que chaque comprend l'élément neutre de .

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini tel que x2 = 1 pour tout élément x de G. Prouver que G est un produit direct de groupes d'ordre 2.

Remarques. 1° Nous avons vu que dans les hypothèses de l'énoncé, G est commutatif. Dès lors, puisque, par hypothèse, x2 = 1 pour tout élément x de G, G se munit naturellement d'une structure d'espace vectoriel sur le corps à deux éléments. Comme tout espace vectoriel admet une base, on en tire facilement l'énoncé, et même que G, si on ne le suppose pas fini, est somme restreinte d'une famille de groupes d'ordre 2.
2° Plus généralement, si p est un nombre premier, si G est un groupe abélien (noté additivement) tel que, pour tout élément x de G, px = 0, alors G est le groupe additif d'un espace vectoriel V sur le corps à p éléments. D'après la théorie des espaces vectoriels, V admet une base, donc le groupe G est somme directe d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes d'ordre p. Voir le chapitre Groupes commutatifs finis, 1.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. En appliquant à la fonction le fait que l'image d'une fonction f est équipotente à l’ensemble des classes d'équivalence pour la relation d'équivalence (en x et y) « f(x) = f(y) » (définie dans l’ensemble de départ de f), prouver que l’ensemble HK a pour cardinal l'indice d'un certain sous-groupe (à préciser) du groupe produit . En déduire une nouvelle démonstration de la formule du produit.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe et (Gi)i∈I une famille de sous-groupes de G. On suppose que pour tout sous-groupe H de type fini de G, H est somme restreinte interne de la famille (H ⋂ Gi)i∈I. Prouver que G est somme restreinte interne de la famille (Gi)i∈I.

Remarque : l'énoncé a) nous servira dans l'étude des groupes nilpotents.

b) Donner un exemple de la situation suivante : G est un groupe, somme restreinte interne d'une famille (Gi)i∈I de sous-groupes, H est un sous-groupe de type fini de G et H n’est pas somme restreinte interne de la famille (H ⋂ Gi)i∈I. (Ceci montre que le point a) donne une condition suffisante mais non nécessaire pour que G soit somme restreinte interne de la famille (Gi)i∈I.)

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, exerc. 6; Paris, 1970, p. 124.