Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe

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Classes modulo un sous-groupe
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Chapitre no 3
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes, premières notions
Chap. suiv. :Sous-groupe distingué et groupe quotient

Exercices :

Classes modulo un sous-groupe
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Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe
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Classes à gauche et classes à droite suivant un sous-groupe[modifier | modifier le wikicode]

Soient un groupe et un sous-groupe de . Le lecteur vérifiera que la relation est une relation d'équivalence (en et ) dans et que les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de de la forme parcourt . On appelle ces parties de les classes à gauche (de ) suivant , ou encore modulo .

De même, la relation est une relation d'équivalence dans et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de de la forme , où parcourt . On appelle ces parties de les classes à droite (de ) suivant , ou encore modulo .

La classe à gauche et la classe à droite suivant de l'élément neutre sont toutes deux égales à lui-même. De façon générale, la classe à gauche d'un élément de est égale à si et seulement si appartient à . Même chose pour la classe à droite.

Il est clair que si est commutatif, les classes à gauche suivant sont identiques aux classes à droite. Plus généralement, même si n’est pas commutatif, il se peut que les classes à gauche suivant un certain sous-groupe de soient identiques aux classes à droite. Un tel sous-groupe est dit normal, ou encore distingué, ou encore invariant. On y reviendra plus loin.

Nous noterons l’ensemble des classes à gauche d'un groupe modulo un sous-groupe de (c'est-à-dire : l'ensemble quotient de par la relation d'équivalence évoquée plus haut)[1].

Indice d'un sous-groupe[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Indice d'un sous-groupe ».

L'application est une bijection de l’ensemble des classes à gauche sur l’ensemble des classes à droite, donc l’ensemble des classes à gauche et l’ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de dans et noté , ou encore , ou encore .

Exemples : l'indice de dans lui-même est égal à  ; l'indice dans du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l’ordre de .

Toutes les classes à gauche (et toutes les classes à droite) suivant ont le même cardinal, à savoir l’ordre de . Comme la somme des cardinaux des classes d'une relation d'équivalence sur un ensemble est le cardinal de cet ensemble, nous avons donc :

.

Il en résulte que l’ordre de divise celui de , ce qui est banal si est infini, mais constitue dans le cas fini l'important

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemple :

  • Nous verrons plus loin qu’il existe des groupes finis d'ordre premier, dont l'exemple classique est le groupe additif , avec premier. (Il s'agit d'un groupe quotient, dont la définition est donnée plus bas.) En raison du théorème de Lagrange, les seuls sous-groupes possibles de ce groupe sont d'ordre ou . Autrement dit, ce groupe n'a pas de sous-groupe propre (c'est-à-dire : différent de lui-même) non trivial.

Remarques :

  • Comme noté, les groupes finis sont les seuls groupes pour lesquels le théorème de Lagrange est intéressant. Il peut alors s'énoncer comme suit : soit un groupe fini et un nombre naturel. S'il existe un sous-groupe d'ordre de , divise l’ordre de .

La réciproque du théorème ainsi formulé n’est pas vraie, en ce sens que si est un diviseur de l’ordre d'un groupe fini, ce groupe n'admet pas forcément de sous-groupe d'ordre  : nous verrons, par exemple, dans les exercices sur le chapitre Groupes alternés que le groupe alterné A4, qui est d'ordre 12, n' a pas de sous-groupe d'ordre 6. Par contre, nous montrerons plus loin que cette réciproque est vraie dans le cas des groupes abéliens. Dans le cas général, nous rencontrerons des réciproques partielles (théorèmes de Cauchy, de Sylow et de Hall).

  • La relation

montre aussi que l'indice divise .


Au lieu de « transversale à droite » (resp. « transversale à gauche »), nous dirons aussi « transversale droite » (resp. « transversale gauche »).

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Démontrons l'existence d'une transversale droite. Désignons par D l'ensemble des classes à droite de H dans G. Ces classes sont non vides, donc, d'après l'axiome du choix, il existe une application f de D dans G qui à toute classe à droite fait correspondre un élément de cette classe. (L'axiome du choix n'est pas nécessaire si l'ensemble D est fini, c'est-à-dire si H est d'indice fini dans G.) On vérifie facilement que l'image de f est une transversale droite de H dans G. (On a simplement adapté à un cas particulier la démonstration de ce théorème de théorie des ensembles : étant donné une partition P d'un ensemble E, il existe une partie de T de E telle que toute classe de la partition P comprenne un et un seul élément de T.)

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Choisissons un système de représentants des classes à gauche de suivant , c'est-à-dire une famille d'éléments de telle que, pour toute classe à gauche de suivant , il existe un et un seul pour lequel appartienne à cette classe ; donc . De même, choisissons une famille d'éléments de telle que, pour toute classe à gauche de suivant , il existe un et un seul pour lequel appartienne à cette classe ; donc . Prouvons que la famille est un système de représentants des classes à gauche de suivant .

Soit un élément de . Puisque les forment un système de représentants des classes à gauche de suivant , il existe et tels que .

Puisque les forment un système de représentants des classes à gauche de suivant , il existe et tels que .

On a alors , ce qui montre que pour tout élément de , il existe un couple tel que soit de la forme avec . Un tel couple est unique, car si en est un autre, il existe tel que , d'où

,

d'où tout d’abord (puisque appartiennent à ) , d'où, par hypothèse sur les ,  ; dès lors, (1) donne avec  : par hypothèse sur les , .

Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que la famille est un système de représentants des classes à gauche de suivant . L'indice de dans est donc

, ce qui démontre l'énoncé.

(Remarque : en prenant pour dans la formule des indices le sous-groupe réduit à l'élément neutre, nous retrouvons l'égalité . Nous aurions donc pu ne pas démontrer cette égalité séparément et la déduire de la formule des indices.)

Sous-groupe d'indice fini d'un groupe de type fini[modifier | modifier le wikicode]

Cette section peut être omise en première lecture. On y démontre un lemme qui servira à prouver le théorème de Nielsen-Schreier dans un futur chapitre sur les groupes libres. On démontre aussi un théorème (tout sous-groupe d'indice fini d'un groupe de type fini est un groupe de type fini) qui intervient dans une des démonstrations d'un théorème de Schur[2].


Soient un sous-groupe d'un groupe et une transversale droite de dans . Pour tout élément de , il existe un et un seul élément de tel que soit de la forme avec dans .

Posons . Nous définissons ainsi une application de dans (dépendant évidemment de ). Cette application est une surjection. En effet, si est un élément de , choisissons un élément de T ; alors est image par de l'élément de .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Si p désigne la surjection de G sur H que nous avons considérée juste avant l'énoncé, = p(tx). Il s'agit donc de prouver que

(thèse 1) l'ensemble des p(tx), où t parcourt T et où x parcourt X, est une partie génératrice du groupe H.

Considérons d'abord l’ensemble B des éléments de la forme p(tx), où t parcourt T et où x parcourt X ∪ X-1, et prouvons que tout élément de H est un produit d'éléments de B.

Pour tout élément g de G, il existe un nombre naturel n et des éléments x1, ... , xn de X ∪ X-1 tels que g = x1 ... xn (ceci parce que X est une partie génératrice de G). Puisque p est une surjection de G dans H, il en résulte que tout élément de H est de la forme p(x1 ... xn) où x1, ... , xn sont des éléments de X ∪ X-1. Donc, pour prouver que tout élément de H est un produit d'éléments de B, il suffit de prouver que tout élément de la forme p(x1 ... xn) où x1, ... , xn sont des éléments de X, est un produit d'éléments de B. Nous allons le prouver par récurrence sur n.

Pour n = 0, cela revient à dire que p(1) est un produit d'éléments de B. Or, puisque T comprend 1, il est clair que p(1) = 1, donc p(1) est le produit de la famille vide d'éléments de B. Supposons maintenant que n est un nombre naturel ≥ 1 tel que tout élément de la forme p(x1 ... xn-1), où x1, ... , xn-1 sont des éléments de X, est un produit d'éléments de B, et prouvons qu’il en est de même avec n au lieu de n – 1. Nous avons x1 ... xn-1 = p(x1 ... xn-1) t pour un certain t ∈ T, d'où x1 ... xn = p(x1 ... xn-1) t xn. Nous avons t xn = p(t xn) t' pour un certain t' ∈ T, d'où x1 ... xn = p(x1 ... xn-1) p(t xn) t', ce qui montre que p(x1 ... xn) = p(x1 ... xn-1) p(t xn). Comme p(t xn) appartient à B et que, par hypothèse de récurrence, p(x1 ... xn-1) est un produit d'éléments de B, il en résulte que p(x1 ... xn) est un produit d'éléments de B. Ceci est donc démontré par récurrence pour tout nombre naturel n. Comme nous l'avons vu, cela prouve que tout élément de H est produit d'éléments de B.

Rappelons que B désigne l’ensemble des éléments de la forme p(tx), où t parcourt T et où x parcourt X ∪ X-1. Désignons par A la partie de B formée par les éléments de la forme p(tx), où t parcourt T et où x parcourt X. Prouvons que A est une partie génératrice de H. Vu le précédent résultat, il suffit évidemment de prouver que B ⊆ A ∪ A-1 et pour cela, il suffit de prouver que pour tout élément x de X et tout élément t de T, p(tx-1) est l'inverse d'un élément de A. Or tx-1 = p(tx-1) t' pour un certain t' ∈ T, d'où, en multipliant à droite par x, t = p(tx-1) t' x. Mais t' x = p(t' x) t'' pour un certain t'' ∈ T, d'où t = p(tx-1) p(t' x) t''. D'après l'unicité de l'écriture d'un élément de G comme produit d'un élément de H par un élément de T, nous avons donc p(tx-1) p(t' x) = 1, donc p(tx-1) est bien l'inverse d'un élément de A, à savoir de p(t' x). Nous avons donc prouvé que B ⊆ A ∪ A-1 (et la démonstration montre même qu'on a l'égalité), ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que A est une partie génératrice de H. C'est notre thèse (1), donc l'énoncé est démontré.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Choisissons une transversale droite de dans . Si nous remplaçons dans l'unique élément de par 1, nous obtenons encore une transversale droite de H dans G. Nous pouvons donc supposer que T comprend l'élément 1. D'après le lemme qui précède, l'ensemble A des , où t parcourt T et où x parcourt X, est une partie génératrice du groupe H. L'application est une surjection de sur A, donc

Comme le cardinal de T est égal à l'indice de H dans G, l'énoncé en résulte.

En particulier :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarques. 1° La théorie des groupes libres nous permettra de démontrer l'énoncé plus fort que voici : si G est un groupe admettan une partie génératrice de cardinal fini m, si H est un sous-groupe d'indice fini j de G, alors H admet une partie génératrice de cardinal . Voir les exercices sur le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier.
2° Un sous-groupe d'un groupe de type fini n'est pas forcément de type fini. On en verra un exemple dans les exercices sur le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier.

Formule du produit[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Première démonstration. On prouve dans les exercices que

,

où E désigne l’ensemble des classes à gauche modulo K contenues dans HK.

HK est réunion disjointe de ces classes, donc . Dès lors, en multipliant les deux membres de (1) par , on obtient l'énoncé.

Seconde démonstration. Soit f l’application de H × K dans HK. Prouvons que pour tout élément z de HK, il y a exactement éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. Puisque z appartient à HK, il existe a dans H et b dans K tels que z = ab. Prouvons que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d-1b), où d parcourt . Si (x, y) est tel que f(x, y) = z, alors xy = ab, d'où a-1x = by-1. Si nous désignons par d la valeur commune de a-1x et de by-1, il est clair que d appartient à et que x = ad, y = d-1b. Nous avons donc prouvé que tout élément (x, y) de H × K tel que f(x, y) = z est un élément de la forme (ad, d-1b), où d appartient . Réciproquement, si d appartient à , il est clair que (a, d) est un élément de H × K et que f(ad, d-1b) = ab = z. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d-1b), où d parcourt . Il est clair que si d et d' sont deux éléments distincts de , les deux éléments (ad, d-1b) et (ad', d'-1b) de H × K sont distincts, donc les éléments de H × K de la forme (ad, d-1b), où d parcourt , sont en quantité . Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que pour tout élément z de HK, il y a exactement éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. La formule du produit résulte donc du principe des bergers.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Cette notation est employée par N. Bourbaki, Algèbre, Paris, 1970, ch. I, § 5, no 5, p. 56.
  2. J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 4e éd., tirage de 1999, lemme 7.56, p. 198
  3. J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 30.